Üdvözlet a hatványozás azonosságainak első leckéjén.
Nézzünk akkor pár feladatot.
Tehát az lenne a kérdés--
ez egy picit vastagabb ceruza mint ahogy gondoltam,
de hagyjuk így hogy ne mutasson furcsán --
2 a harmadikon --
és a pont egy másik lehetőség a szorzás kifejezésére --
2 a harmadikon szorozva 2 az ötödiken,
hogy tudnánk ezt kiszámolni?
Inkább mégis csak vékonyabb ceruzára váltok, mert ez nem néz ki túl jól.
Tehát, 2 a harmadikon szorozva 2 az ötödiken.
Nos, egyféleképpen azt hiszem már meg tudnátok oldani ezt.
Kiszámolnátok hogy 2 a harmadikon az 8,
és ez a 2 az ötödiken 32.
Majd össze lehet szorozni őket.
És nyolcszor 32 az 240 plusz 16, az 256, igaz?
Csinálhatnánk így.
És logikus,
mivel nem nehéz kitalálni, mennyi 2 a harmadikon és 2 az ötödiken.
De ha ezek jóval nagyobb számok lennének, ez a módszer már kicsit nehezebbé válna.
Megmutatom, hogy a kitevők szabályait használva, tulajdonképpen összeszorozhatjuk a kitevőket
anélkül hogy túl sok számtant kellene végeznünk.
Amivel tulajdonképpen jóval nagyobb számokat tudunk kezelni mint amit mondjuk a matektudásunk megengedne.
Gondoljunk csak bele mit is jelent a 2 a harmadikon szorozva 2 az ötödiken.
2 a harmadikon az 2 szorozva 2 szorozva 2, igaz?
És ezt szorozzuk még 2 az ötödikennel.
Ami 2 szorozva 2 szorozva 2 szorozva 2 szorozva 2.
Mennyink is van akkor így?
Van 2 szorozva 2 szorozva 2,
szorozva,
2 szorozva 2 szorozva 2 szorozva 2 szorozva 2.
Csupán amit csinálunk, szorzunk,mennyiszer is?
Nos, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8-szor.
Vagyis ez nem más mint 2 a nyolcadikon.
Érdekes.
3 plusz 5 az egyenlő 8.
És ez logikus is, mivel 2 a harmadikon az 2 megszorozva önmagával háromszor,
az ötödiken pedig 2 önmagával szorozva ötször,
majd összeszorozzuk a kettőt,
vagyis a kettőt nyolcszor fogjuk szorozni.
Remélem elértem a célom és sikerült összezavarni benneteket.
Nézzük a következőt.
Legyen 7 a négyzeten szorozva 7 a negyediken.
Ez egy négyes.
Nos, ez 7 szorozva 7, igaz? Ez 7 a négyzeten,
szorozva és most jön a 7 a negyediken.
7 szorozva 7 szorozva 7 szorozva 7.
Így akkor szorozzuk a hetet önmagával hatszor,
ami egyenlő 7 a hatodikon.
Tehát általánosságban, ha azonos alapú hatványokat szorzunk,
összeadhatjuk a kitevőket.
7 a századikon szorozva 7 az ötvenediken --
és ez csak példa most --
Elég nehéz lenne számológép nélkül kiszámolni a 7 a századikon értékét.
És ugyanígy, a 7 az ötvenediken értékét is nehéz lenne számológép nélkül megadni.
De mondhatnánk hogy ez egyenlő 7 a századik plusz ötvenedik hatványon,
ami egyenlő 7 a százötvenediken.
Figyelmeztetni szeretnélek benneteket,
hogy biztosan szorzásról legyen szó.
Mert ha 7 a századikon plusz 7 az ötvenediken lenne,
akkor itt szinte semmit sem tehetnénk,
a szám egyszerűsítése érdekében.
Mutatok még egy ilyet.
Ha 2 a nyolcadikon szorozva 2 a huszadikon lenne.
Akkor tudjuk hogy összeadhatjuk a kitevőket.
Ami azt adja, hogy 2 a huszonnyolcadikon, igaz?
Mennyi lenne 2 a nyolcadikon plusz 2 a nyolcadikon?
Kicsit becsapós a kérdés.
Mint ahogy az előbb mondtam, összeadásnál nem sok mindent tudunk csinálni.
Nem igazán tudjuk egyszerűsíteni.
De van itt egy apró trükk, hiszen kettő darab 2 a nyolcadikonunk van, igaz?
Van itt egyszer 2 a nyolcadikon és kétszer 2 a nyolcadikon.
Ez így kétszer 2 a nyolcadikon, ugye?
Kétszer 2 a nyolcadikon.
2 a nyolcadikon plusz önmaga.
És kétszer 2 a nyolcadikon,
nos, ez ugyanannyi mint 2 az elsőn szorozva 2 a nyolcadikon.
És 2 az elsőn szorozva 2 a nyolcadikon, az előbbi szabályt használva, egyenlő 2 a kilencediken.
Gondoltam ezt megmutatom nektek.
És még a negatív kitevőkkel is működik.
Ha az lenne hogy 5 a mínusz századikon szorozva 3 a századikon
ohh bocsánat, szorozva 5 -- ennek is itt ötnek kell lenni.
Nem tudom hol járt az eszem.
5 a mínusz századikon szorozva 5 a százkettediken,
ennek eredménye 5 a négyzeten lenne, igaz?
Csak összeadom a mínusz százat és a plusz százkettőt.
Ez öt.
Bocsánat ezért az elírásért.
És ez természetesen 25.
Ez tehát a hatványozás első azonossága.
Mutatom is a következőt, ami igazából az előzőből következik.
Ha az lenne a kérdés, hogy mennyi 2 a kilencediken osztva 2 a tizediken --
Hoppá, ez lehet picit trükkös lesz.
De igazából ugyanaz a szabály játszik.
Mert melyik lenne a másik lehetőség e példa leírására?
Nos tudjuk hogy ez ugyanaz, mint 2 a kilencediken
szorozva 1 per 2 a tizediken, igaz?
És tudjuk mennyi 1 per 2 a tizediken.
Már át is írhatnánk ezt hogy 2 a kilencediken
szorozva 2 a mínusz tizediken, igaz?
És amit csináltunk itt, felcseréltük az 1 per 2 a tizedikent
amivel negatívra változott a kitevő.
És ezt azt hiszem tudjuk már a második leckéből.
És most már összeadhatjuk a kitevőket.
9 plusz mínusz 10 egyenlő, 2 a mínusz elsőn ,
vagy mondhatnánk ez egyenlő egy féllel, igaz?
Ez így érdekes.
Bármi is a lenti kitevő, betehetjük a számlálóba, mint ahogy itt is csináltuk,
de ugye negatívvá változik,
ami a második szabályhoz vezet bennünket,
egyszerűsítésként mondhatjuk, hogy ez egyenlő 2 a kilencediken mínusz tizediken,
ami egyenlő 2 a mínusz elsőn.
Menjünk tovább egy hasonlóval.
Mondjuk 10 a kétszázadikon osztva 10 az ötvenediken,
Nos ez egyenlő 10 a kétszázadikon mínusz ötvenediken, ami egyenlő 10 a százötvenediken.
Hasonlóképpen, ha lenne 7 a negyvenediken osztva 7 a mínusz ötödiken,
Ez egyenlő lenne 7 a negyvenediken mínusz mínusz ötödiken.
Vagyis ez 7 a negyvenötödiken.
Na most gondoljuk át hogy ez valóban logikus-e?
Nos, átírhattuk volna ezt az egyenletet úgy, hogy
7 a negyvenediken szorozva 7 az ötödiken, igaz?
Vehettük volna hogy 1 per 7 a mínusz ötödiken majd majd átírhattuk volna 7 az ötödikenre,
és ez is csak azt adta volna hogy 7 a negyvenötödiken.
Vagyis a második kitevőkről szóló szabályban nincs szinte semmi eltérő az elsőhöz képest.
Ha a hatvány a nevezőben van,
és természetesen, azonos alapúnak kell lennie, amivel osztunk,
kivonhatjuk a számlálóban lévő kitevőből.
Ha mindkettő a számlálóban van,
mint ebben az esetben: 7 a negyvenediken szorozva 7 az ötödiken --
itt tulajdonképpen nincs is számláló, egymással szorozzuk a kettőt,
és természetesen az alapnak ugyanannak kell lennie --
és akkor összeadhatóak a kitevők.
Ehhez még egy változatot adunk, de ez tulajdonképpen ugyanaz,
de ez egy kicsit becsapós feladat.
Mennyi 2 a kilencediken szorozva 4 a századikon?
Lehet jobb lenne ha ezt még nem tanítanám most.
Várnunk kell amíg a következő szabály sorra kerül.
De egy kicsit azért csak belemegyek.
Ez ugyanannyi mint 2 a kilencediken szorozva 2 a négyzeten és ez még a századikon.
És a szabály amit most meg fogunk tanulni, hogy ha van egy számunk valamilyen kitevőn,
és még ez is egy további kitevőre van emelve,
akkor tulajdonképpen összeszorozhatjuk a kitevőket.
Tehát ez így 2 a kilencediken szorozva 2 a kétszázadikon.
És az első szabály szerint,
ez így 2 a kétszázkilencediken.
A következőkben ezt részletesebben is tárgyaljuk.
Lehet most csak jól összezavartalak benneteket.
De nézzétek meg a következő videót
és úgy gondolom ez után már boldogulni fogtok első leckés kitevőkkel.
Jó szórakozást hozzá!
Üdvözlet a kitevők első leckéjén. Kezdjük pár feladattal.
Tehát az lenne a kérdés-- ez egy picit vastagabb ceruza mint ahogy gondoltam,
de hagyjuk így hogy ne mutasson furcsán --
2 a harmadikon és a pont egy másik lehetőség a szorzás kifejezésére.
háromszor
2 az ötödiken, ami
hogy tudnánk ezt kiszámolni?
hadd használjak egy vékonyabb ceruzát
ez nem néz ki valami jól
tehát 2 harmadikon szorozva 2 az ötödiken
nos ez az egyik lehetőség ahogy csinálhatjuk --
kiszámolhatjuk mennyi 2 a nyolcadikon
és ez a 2 az ötödiken egyenlő 32
majd összeszorozhatjuk
és ez