Сега ще представя свойствата на степените.
Нека започнем с няколко задачи.
Ако те попитам колко е две...
това стана малко по-дебело отколкото исках,
но нека да остане така, за да не изглежда странно...
две на трета по...
точката е един от начините за представяне на умножение...
ако те попитам колко е две на трета степен по две на пета степен,
как ще го решиш?
Всъщност, нека да използвам по-тънък химикал, защото това не изглежда добре.
И така, две на трета по две на пета.
Мисля, че знам един от начините, които ще използваш.
Можеш да пресметнеш, че две на трета е осем,
и че две на пета е 32.
След което можеш да ги умножиш.
8 по 32 е 240, плюс 16 е равно на 256, нали?
Можеш да използваш този начин.
И това е разумно, защото
не е толкова трудно да намериш колко е 2 на трета или колко е 2 на пета.
Но ако тези числа са малко по-големи, този начин би бил доста по-труден за използване.
Затова ще ти покажа как чрез свойствата на степените се умножават степени,
без да се налага да се пресмята толкова.
Можеш да се справиш с числа много по-големи, с които обикновени знания по математика няма да ти помогнат.
Нека видим какво означава 2 на трета степен по две на пета степен.
2 на трета степен е 2 по 2 по 2, нали?
След което това го умножаваме по 2 на 5 степен.
Това е 2 по 2 по 2 по 2 по 2.
Колко получаваме?
Имаме 2 по 2 по 2,
по,
2 по 2 по 2 по 2 по 2.
Това, което правим е умножаваме две колко пъти?
Един, два, три, четири, пет, шест, седем, осем.
Това е същото като 2 на осма степен.
Интересно.
3 плюс 5 е равно на 8.
Това е така, защото 2 на трета степен е същото като умножаване на 2 три пъти по себе си,
а на 5-та степен е като умножение на 2 пет пъти по себе си,
след което умножаваме тези две числа,
ще умножим две осем пъти.
Надявам се, че съм постигнал целта си да те объркам.
Нека решим още една.
Да кажем седем на квадрат по седем на четвърта степен.
Това е 4.
Това е равно на седем по седем, това е седем на квадрат.
По седем на четвърта степен: 7 по 7 по 7 по 7.
Значи сега умножаваме седем шест пъти по себе си,
значи това е седем на шеста степен.
Принципно, когато умножаваме степени с една и съща основа, това е много важно,
можем просто да съберем степените.
Така седем на степен 100 по седем на степен 50...
това е само един пример...
Много трудно е за смятане без компютър колко е 7 на степен 100.
Както е много трудно да се сметне без компютър колко е седем на степен 50.
Но можем да кажем, че това е равно на седем на степен 100 + 50,
което е равно на седем на степен 150.
Тук искам да те предупредя:
увери се, че имаш умножение!
Защото ако имаме 7^100 + 7^50,
тук всъщност няма какво да направим.
Не мога да опростя това число.
Ще ти дам друг пример.
Ако имаме 2 на 8 степен по 2 на 20 степен...
Тук знаем, че можем да съберем тези степенни показатели.
Това прави 2 на степен 28, нали?
А колко ще бъде 2 на 8-ма степен плюс 2 на 8-ма степен?
Това е заблуждаващ въпрос.
Току-що казах, че при събиране не можем да направим нищо.
Не можем да го опростим.
Но тук има една хитринка, защото имаме два пъти две на осма степен, нали?
Имаме веднъж две на осма степен и втори път две на осма степен.
Това е същото като два пъти 2 на осма степен.
Два пъти две на осма степен.
Просто събираме 2^8 със себе си.
И две по 2^8 е...
е същото като 2 на първа степен по две на осма степен, нали?
И тогава 2^1 по 2^8, по същото правило, дава 2 на девета степен.
Считам, че трябваше да ти го покажа.
Това работи дори с отрицателни степенни показатели.
Ако имаме например 5 на степен –100 по 3... да кажем на степен 100...
о, извинявам се, тук също трябва да е пет.
Не знам какво прави умът ми.
Пет на степен –100 по пет на степен 102,
това е равно на пет на квадрат, нали?
Просто пресмятам –100 + 102.
Това тук е пет.
Извинявам се за тази грешка.
И това е разбира се 25.
Това е първото свойство на степените.
Сега ще ти покажа и друго,
което един вид произлиза от същото.
Ако те попитам колко е 2^9 върху 2^10...
Това изглежда малко объркващо.
Но това се оказва същото свойство.
По какъв друг начин можем да запишем това?
Това е същото като 2 на девета степен
по едно върху две на десета степен.
Знаем колко е 1 върху 2^10.
Можем да преработим това като 2^9
умножено по 2^(–10).
Просто взех 1 върху 2 на десета степен
и представих степенния показател като отрицателно число.
Мисля, че това вече го знаеш.
И сега просто събираме степенните показатели.
9 плюс (–10) и получаваме 2 на степен –1.
Можем да го представим като 1/2, нали?
Това е доста интересно.
Какъвто и да е степенният показател в знаменателя, го поставяш в числителя, както направихме тук,
но обръщаш знака му.
Така стигаме до второто свойство на степените,
което накратко ни казва, че това е равно на 2 на степен (9 – 10),
което е равно на 2 на степен –1.
Да решим още един такъв пример.
Ако имаме 10 на степен 200 върху 10 на степен 50,
тогава степенният показател е 200 – 50, което е просто 10 на степен 150.
Подобно, ако имам 7 на степен 40 върху 7 на степен –5,
то тогава ще имаме 7 на степен 40 минус –5.
Значи е равно на 7 на степен 45.
Да видим – това логично ли е?
Можем да преработим този израз като
7 на степен 40 по 7 на степен 5, нали?
Можем да вземем това 1 върху 7 на степен –5 и да го представим като 7 на степен 5.
И тогава естествено тук ще получим 7 на степен 45.
Значи второто свойство на степените всъщност не е по-различно от първото.
Ако степенният показател в знаменателя –
като естествено трябва да имаме същата основа, когато делим,
просто го изваждаме от степенния показател в числителя.
Когато и двата са в числителя,
тогава: 7 на степен 40 по 7 на степен 5...
тук всъщност няма числител, но ако ги умножим едно по друго,
като имаме една и съща основа, естествено...
тогава събираме степенните показатели.
Сега ще покажа и една разновидност на това, което по същество е същото нещо,
но е малко заплетено.
Колко е две на степен 9 по четири на степен 100?
Може би не трябва да ти показвам това сега.
Ще трябва да почакаш, докато ти покажа следващото правило.
Но малко ще ти подскажа.
Това е същото като 2 на девета степен по 2 на квадрат на степен 100.
Свойството, което ще ти покажа сега, е, че когато имаш нещо в степенния показател,
и това нещо е повдигнато на степен,
всъщност умножаваш тези две числа.
Значи това ще бъде две на степен 9 по две на степен 200.
И по първото свойство, което учихме,
това ще бъде две на степен 209.
В следващото видео ще разгледаме същата тема, но по-подробно.
Може би малко те обърках.
Гледай следващото видео
и след това смятам, че ще ти е лесно да се справиш със свойствата на степенуването.
Забавлявай се!