1
00:00:01,230 --> 00:00:05,600
Сега ще представя свойствата на степените.

2
00:00:05,600 --> 00:00:08,150
Нека започнем с няколко задачи.

3
00:00:08,150 --> 00:00:11,824
Ако те попитам колко е две...

4
00:00:11,824 --> 00:00:13,737
това стана малко по-дебело отколкото исках,

5
00:00:13,737 --> 00:00:15,942
но нека да остане така, за да не изглежда странно...

6
00:00:15,942 --> 00:00:19,414
две на трета по...

7
00:00:19,414 --> 00:00:21,745
точката е един от начините за 
представяне на умножение...

8
00:00:21,745 --> 00:00:26,861
ако те попитам колко е две на трета степен 
по две на пета степен,

9
00:00:26,861 --> 00:00:27,945
как ще го решиш?

10
00:00:27,945 --> 00:00:30,610
Всъщност, нека да използвам по-тънък химикал, защото това не изглежда добре.

11
00:00:30,610 --> 00:00:35,120
И така, две на трета по две на пета.

12
00:00:35,120 --> 00:00:37,610
Мисля, че знам един от начините, които ще използваш.

13
00:00:37,610 --> 00:00:42,088
Можеш да пресметнеш, че две на трета е осем,

14
00:00:42,088 --> 00:00:45,611
и че две на пета е 32.

15
00:00:45,611 --> 00:00:46,840
След което можеш да ги умножиш.

16
00:00:46,840 --> 00:00:54,010
8 по 32 е 240, плюс 16 е равно на 256, нали?

17
00:00:54,010 --> 00:00:55,422
Можеш да използваш този начин.

18
00:00:55,422 --> 00:00:56,365
И това е разумно, защото

19
00:00:56,365 --> 00:01:00,520
не е толкова трудно да намериш колко е 
2 на трета или колко е 2 на пета.

20
00:01:00,520 --> 00:01:04,781
Но ако тези числа са малко по-големи, този начин 
би бил доста по-труден за използване.

21
00:01:04,781 --> 00:01:11,628
Затова ще ти покажа как чрез свойствата 
на степените се умножават степени,

22
00:01:11,628 --> 00:01:15,115
без да се налага да се пресмята толкова.

23
00:01:15,115 --> 00:01:20,874
Можеш да се справиш с числа много по-големи, с които обикновени знания по математика няма да ти помогнат.

24
00:01:20,874 --> 00:01:24,798
Нека видим какво означава 2 на трета степен 
по две на пета степен.

25
00:01:24,798 --> 00:01:32,940
2 на трета степен е 2 по 2 по 2, нали?

26
00:01:32,940 --> 00:01:35,200
След което това го умножаваме по 2 на 5 степен.

27
00:01:35,200 --> 00:01:43,160
Това е 2 по 2 по 2 по 2 по 2.

28
00:01:43,160 --> 00:01:44,200
Колко получаваме?

29
00:01:44,200 --> 00:01:45,993
Имаме 2 по 2 по 2,

30
00:01:45,993 --> 00:01:47,102
по,

31
00:01:47,102 --> 00:01:49,780
2 по 2 по 2 по 2 по 2.

32
00:01:49,780 --> 00:01:52,640
Това, което правим е умножаваме две колко пъти?

33
00:01:52,640 --> 00:01:58,920
Един, два, три, четири, пет, шест, седем, осем.

34
00:01:58,920 --> 00:02:03,410
Това е същото като 2 на осма степен.

35
00:02:03,410 --> 00:02:05,050
Интересно.

36
00:02:05,050 --> 00:02:08,200
3 плюс 5 е равно на 8.

37
00:02:08,200 --> 00:02:13,852
Това е така, защото 2 на трета степен е същото като
умножаване на 2 три пъти по себе си,

38
00:02:13,852 --> 00:02:16,446
а на 5-та степен е като умножение 
на 2 пет пъти по себе си,

39
00:02:16,446 --> 00:02:17,540
след което умножаваме тези две числа,

40
00:02:17,540 --> 00:02:19,980
ще умножим две осем пъти.

41
00:02:19,980 --> 00:02:22,720
Надявам се, че съм постигнал целта си
да те объркам.

42
00:02:22,720 --> 00:02:27,693
Нека решим още една.

43
00:02:27,711 --> 00:02:33,761
Да кажем седем на квадрат по
седем на четвърта степен.

44
00:02:33,780 --> 00:02:36,965
Това е 4.

45
00:02:36,965 --> 00:02:42,190
Това е равно на седем по седем, 
това е седем на квадрат.

46
00:02:42,190 --> 00:02:50,290
По седем на четвърта степен:
7 по 7 по 7 по 7.

47
00:02:50,290 --> 00:02:53,672
Значи сега умножаваме седем
шест пъти по себе си,

48
00:02:53,672 --> 00:02:56,590
значи това е седем на шеста степен.

49
00:02:56,590 --> 00:03:02,699
Принципно, когато умножаваме степени
с една и съща основа, това е много важно,

50
00:03:02,699 --> 00:03:04,620
можем просто да съберем степените.

51
00:03:04,620 --> 00:03:13,397
Така седем на степен 100 по
седем на степен 50...

52
00:03:13,397 --> 00:03:15,440
това е само един пример...

53
00:03:15,440 --> 00:03:19,304
Много трудно е за смятане без
компютър колко е 7 на степен 100.

54
00:03:19,320 --> 00:03:24,052
Както е много трудно да се сметне
без компютър колко е седем на степен 50.

55
00:03:24,052 --> 00:03:32,730
Но можем да кажем, че това е равно
на седем на степен 100 + 50,

56
00:03:32,730 --> 00:03:37,790
което е равно на седем на степен 150.

57
00:03:37,790 --> 00:03:40,292
Тук искам да те предупредя:

58
00:03:40,292 --> 00:03:41,630
увери се, че имаш умножение!

59
00:03:41,630 --> 00:03:49,150
Защото ако имаме 7^100 + 7^50,

60
00:03:49,150 --> 00:03:50,590
тук всъщност няма какво да направим.

61
00:03:50,590 --> 00:03:54,440
Не мога да опростя това число.

62
00:03:54,440 --> 00:03:56,710
Ще ти дам друг пример.

63
00:03:56,710 --> 00:04:04,364
Ако имаме 2 на 8 степен 
по 2 на 20 степен...

64
00:04:04,364 --> 00:04:06,570
Тук знаем, че можем да съберем
тези степенни показатели.

65
00:04:06,570 --> 00:04:12,500
Това прави 2 на степен 28, нали?

66
00:04:12,500 --> 00:04:20,820
А колко ще бъде 2 на 8-ма степен
плюс 2 на 8-ма степен?

67
00:04:20,820 --> 00:04:22,890
Това е заблуждаващ въпрос.

68
00:04:22,890 --> 00:04:26,892
Току-що казах, че при събиране
не можем да направим нищо.

69
00:04:26,900 --> 00:04:28,530
Не можем да го опростим.

70
00:04:28,530 --> 00:04:32,962
Но тук има една хитринка, защото
имаме два пъти две на осма степен, нали?

71
00:04:32,980 --> 00:04:35,080
Имаме веднъж две на осма степен
и втори път две на осма степен.

72
00:04:35,080 --> 00:04:41,240
Това е същото като два пъти 2 на осма степен.

73
00:04:41,240 --> 00:04:42,073
Два пъти две на осма степен.

74
00:04:42,073 --> 00:04:44,940
Просто събираме 2^8 със себе си.

75
00:04:44,940 --> 00:04:46,430
И две по 2^8 е...

76
00:04:46,430 --> 00:04:53,170
е същото като 2 на първа степен
по две на осма степен, нали?

77
00:04:53,170 --> 00:04:59,008
И тогава 2^1 по 2^8, по същото правило,
дава 2 на девета степен.

78
00:04:59,008 --> 00:05:01,080
Считам, че трябваше да ти го покажа.

79
00:05:01,080 --> 00:05:03,280
Това работи дори с отрицателни
степенни показатели.

80
00:05:03,280 --> 00:05:15,348
Ако имаме например 5 на степен –100 по
3... да кажем на степен 100...

81
00:05:15,348 --> 00:05:18,370
о, извинявам се, тук също трябва да е пет.

82
00:05:18,370 --> 00:05:20,140
Не знам какво прави умът ми.

83
00:05:20,168 --> 00:05:24,688
Пет на степен –100 по пет на степен 102,

84
00:05:24,688 --> 00:05:27,890
това е равно на пет на квадрат, нали?

85
00:05:27,890 --> 00:05:30,930
Просто пресмятам –100 + 102.

86
00:05:30,930 --> 00:05:31,940
Това тук е пет.

87
00:05:31,940 --> 00:05:35,080
Извинявам се за тази грешка.

88
00:05:35,080 --> 00:05:37,860
И това е разбира се 25.

89
00:05:37,860 --> 00:05:39,210
Това е първото свойство на степените.

90
00:05:39,210 --> 00:05:40,206
Сега ще ти покажа и друго,

91
00:05:40,206 --> 00:05:43,900
което един вид произлиза от същото.

92
00:05:43,900 --> 00:05:54,111
Ако те попитам колко е 2^9
върху 2^10...

93
00:05:54,111 --> 00:05:56,940
Това изглежда малко объркващо.

94
00:05:56,940 --> 00:06:00,058
Но това се оказва същото свойство.

95
00:06:00,058 --> 00:06:03,110
По какъв друг начин можем
да запишем това?

96
00:06:03,110 --> 00:06:08,360
Това е същото като 2 на девета степен

97
00:06:08,360 --> 00:06:12,710
по едно върху две на десета степен.

98
00:06:12,710 --> 00:06:14,460
Знаем колко е 1 върху 2^10.

99
00:06:14,460 --> 00:06:17,392
Можем да преработим това като 2^9

100
00:06:17,392 --> 00:06:20,850
умножено по 2^(–10).

101
00:06:20,850 --> 00:06:25,101
Просто взех 1 върху 2 на десета степен

102
00:06:25,101 --> 00:06:26,990
и представих степенния показател
като отрицателно число.

103
00:06:26,990 --> 00:06:30,638
Мисля, че това вече го знаеш.

104
00:06:30,660 --> 00:06:33,090
И сега просто събираме
степенните показатели.

105
00:06:33,090 --> 00:06:38,868
9 плюс (–10) и получаваме 2 на степен –1.

106
00:06:38,868 --> 00:06:41,851
Можем да го представим като 1/2, нали?

107
00:06:41,851 --> 00:06:44,850
Това е доста интересно.

108
00:06:44,850 --> 00:06:49,418
Какъвто и да е степенният показател в знаменателя,
го поставяш в числителя, както направихме тук,

109
00:06:49,418 --> 00:06:50,800
но обръщаш знака му.

110
00:06:50,800 --> 00:06:52,852
Така стигаме до второто свойство
на степените,

111
00:06:52,852 --> 00:06:59,860
което накратко ни казва, че това е равно
на 2 на степен (9 – 10),

112
00:06:59,860 --> 00:07:02,190
което е равно на 2 на степен –1.

113
00:07:02,190 --> 00:07:05,160
Да решим още един такъв пример.

114
00:07:05,160 --> 00:07:16,123
Ако имаме 10 на степен 200 върху
10 на степен 50,

115
00:07:16,123 --> 00:07:23,640
тогава степенният показател е 200 – 50,
което е просто 10 на степен 150.

116
00:07:23,640 --> 00:07:33,855
Подобно, ако имам 7 на степен 40
върху 7 на степен –5,

117
00:07:33,855 --> 00:07:41,417
то тогава ще имаме 7 на степен
40 минус –5.

118
00:07:41,420 --> 00:07:46,230
Значи е равно на 7 на степен 45.

119
00:07:46,230 --> 00:07:48,310
Да видим – това логично ли е?

120
00:07:48,310 --> 00:07:53,388
Можем да преработим този израз като

121
00:07:53,388 --> 00:07:59,180
7 на степен 40 по 7 на степен 5, нали?

122
00:07:59,180 --> 00:08:05,021
Можем да вземем това 1 върху 7 на степен –5
и да го представим като 7 на степен 5.

123
00:08:05,021 --> 00:08:08,148
И тогава естествено тук ще получим 7
на степен 45.

124
00:08:08,160 --> 00:08:12,379
Значи второто свойство на степените 
всъщност не е по-различно от първото.

125
00:08:12,390 --> 00:08:14,272
Ако степенният показател в знаменателя –

126
00:08:14,272 --> 00:08:17,241
като естествено трябва да имаме
същата основа, когато делим,

127
00:08:17,241 --> 00:08:20,570
просто го изваждаме от 
степенния показател в числителя.

128
00:08:20,570 --> 00:08:22,575
Когато и двата са в числителя,

129
00:08:22,575 --> 00:08:25,811
тогава: 7 на степен 40 по
7 на степен 5...

130
00:08:25,811 --> 00:08:29,370
тук всъщност няма числител, но ако
ги умножим едно по друго,

131
00:08:29,370 --> 00:08:32,420
като имаме една и съща основа, естествено...

132
00:08:32,420 --> 00:08:35,690
тогава събираме степенните показатели.

133
00:08:35,690 --> 00:08:38,285
Сега ще покажа и една разновидност на това,
което по същество е същото нещо,

134
00:08:38,285 --> 00:08:40,360
но е малко заплетено.

135
00:08:40,360 --> 00:08:56,470
Колко е две на степен 9 по
четири на степен 100?

136
00:08:56,470 --> 00:08:57,882
Може би не трябва да ти показвам това сега.

137
00:08:57,882 --> 00:08:59,480
Ще трябва да почакаш, докато 
ти покажа следващото правило.

138
00:08:59,480 --> 00:09:01,900
Но малко ще ти подскажа.

139
00:09:01,900 --> 00:09:09,570
Това е същото като 2 на девета степен по
2 на квадрат на степен 100.

140
00:09:09,570 --> 00:09:13,812
Свойството, което ще ти покажа сега, е,
че когато имаш нещо в степенния показател,

141
00:09:13,812 --> 00:09:16,718
и това нещо е повдигнато на степен,

142
00:09:16,718 --> 00:09:18,930
всъщност умножаваш тези две числа.

143
00:09:18,930 --> 00:09:24,980
Значи това ще бъде две на степен 9
по две на степен 200.

144
00:09:24,980 --> 00:09:26,666
И по първото свойство, което учихме,

145
00:09:26,666 --> 00:09:29,760
това ще бъде две на степен 209.

146
00:09:29,760 --> 00:09:31,925
В следващото видео ще разгледаме същата тема, 
но по-подробно.

147
00:09:31,925 --> 00:09:34,650
Може би малко те обърках.

148
00:09:34,650 --> 00:09:35,835
Гледай следващото видео

149
00:09:35,835 --> 00:09:40,400
и след това смятам, че ще ти е лесно
да се справиш със свойствата на степенуването.

150
00:09:40,400 --> 00:09:42,545
Забавлявай се!