İkinci dereceden denklem videosuna hoşgeldiniz
ikinci dereceden denklem kulağa
karmaşık gelebilir
Hatta denklemi ilk gördüğünüzde,
kulağa karmaşık gelen bu denklemler
gerçekten çok karmaşıkmış diyceksiniz
ama umarım ki bu sunum
boyunca öyle olmadığını anlayacaksınız
ve gelecek sunumlarda bu denklemlerin nereden türediğini
size göstereceğim
Bu zamana kadar bu denklemlerin nasıl
çözüleceğini gördünüz
Öğrendiklerimize göre, x'in karesi eksi
x eksi 6 eşittir 0
Bu denklem üzerinden gidersek, x kare eksi x eksi x eşittir
sıfır, ve sizde bunu x eksi 3 ve
x artı 2 eşittir 0 olarak çözümleyebilirsiniz.
Bu da demektir ki x eksi 3, 0'a yada
x artı 2, 0'a eşittir.
Yani x eksi 3, 0'a ya da x artı 2, 0'a eşit.
Buna göre de, x, 3'e yada -2'ye eşittir.
Bu denklemin grafiksel görünümü ise, denklemi
f'in x'i, x kare eksi x eksi 6 ya eşittir olarak alırsak ortaya çıkar.
Yani bu eksen f(x) ekseni olur.
y ekseni size daha tanıdık gelmiş olabilir, ancak bu türde
bir problem için, bu çok ta farketmeyecektir.
Bu da x ekseni.
Eğer ki ben bunu grafiksel olarak çizersem, x kare eksi x
eksi 6, grafik şu şekilde gözükür
Birde - bu f'in x'i, -6 ya eşittir.
grafiği şöyle bişey olur:
Gittikçe yukarı yükselir.
ve grafik -6 dan geçer, çünkü x, 0'a eşit olduğunda
f'in x'i, -6 ya eşit olur.
Bu sebepten dolayı grafiğin bu noktadan geçtiğini anlayabiliyorum.
Ve biliyorum ki f'in x'i, 0'a eşit, yani f'in x'i
x ekseninde 0'a eşit. Değil mi?
Çünkü bu 1.
Bu da 0.
Bu da -1.
Yani burası f'in x'inin 0'a eşit olduğu yer,
x ekseni ile birlikte, değil mi?
Ve biliyoruz ki x'in, 3'e veya -2'ye eşit olduğu bölgelerde,
denklem 0'a eşit.
İşte bu da tam burda çözdüğümüz şey.
Belkide bu tür problemleri yaparken,
yaptıklarımızın grafiksel olarak farkında değildik.
Ama eğer f'in x'inin bu fonksyona eşit olduğunu söylersek
biz bunu 0'a eşitlemiş oluyoruz.
Yani diyoruz ki, bu fonksyon
ne zaman 0'a eşit olur?
Ne zaman 0'a eşit olur?
Gördüğümüz gibi, bu noktalarda 0'a eşit değil mi?
Çünkü burası f'in x'inin, 0'a eşit olduğu yer.
Ve bunu çarpanlarına ayırarak çözerken yaptığımız şey ise
f'in x'ini, 0'a eşitleyen sayıların
bu iki nokta olduğunu farketmemizdi.
Ve kısa bir terim, bu noktalara,
f'in x'inin "kök"leri denir.
Şimdi biraz tekrar yapalım.
Eğer, f'in x'i, x kare artı
4x artı 4 gibi bir denklemim olsaydı, ve size
bu denklemin köklerini sorsaydım,
Bu f'in x'inin, x eksenini hangi noktalarda
keser demekle aynı şeydir.
ve denklemler, x eksenini, f'in x'i
0'a eşitken keser, değil mi?
Eğer benim az önce çizdiğim grafiği düşünürseniz.
Diyelim ki, f'in x'i, 0'a eşit, buna göre
hemen diyebiliriz ki, 0, x kare artı 4x artı 4 e eşittir.
ve biliyoruz ki, bunu x artı 2 çarpı x artı iki
olarak çarpanlarına ayırabiliriz.
Ve biliyoruz ki bu denklemde de x eksi 2, 0'a eşit.
x ise -2'ye eşit.
Evet bu biraz -- x, -2'ye eşittir.
Şimdi, denklemin köklerini bulmayı
köklerine ayırmak kolay olduğu zaman biliyoruz.
Ancak şimdi de, çarpanlarına ayrılması zor olan bir denklem
üzerinde çalışalım.
Diyelim ki, f'in x'i, -10x kare, eksi 9x artı 1
e eşit.
Ben buna baktığım zaman, her ne kadar da 10 a bölsem bile
kesirli sayılar çıkacağını görüyorum.
ve bu denklemi ikinci dereceden çarpanlarına ayırmak çok güç.
Asıl bunlar, ikinci dereceden denklemler
ya da ikinci dereceden çok terimliler.
Konuya geri dönersek -- Biz bu denklemi çözmek istiyoruz.
Çünkü ne zaman sonucunun 0'a eşit olacağını merak ediyoruz.
-10x kare, eksi 9x artı 1.
Bu denklemi 0'a eşitleyecek
x değerini bulmaya çalışacağız.
İşte tam burda, ikinci dereceden denklem dediğimiz bir araç kullanacağız.
ve şiimdi size, matematikte çok nadir ezberlenmesi gereken
şeylerden bir tanesini anlatacağım.
İkinci dereceden denklem der ki, denklemin kökleri eşittir:
--ve diyelim ki bu denklem
ax kare, artı bx artı c eşittir 0,
bu örnekte a, -10'a eşit.
b, -9'a ve c'de 1'e eşit.
Bunun formülü ise: x kökleri eşittir, -b artı ya da eksi
b kare'nin kare kökü, eksi 4 çarpı a çarpı c,
ve bunların hepsi bölü 2a.
Biliyorum, bu karmaşık gözüküyor, ancak siz bunu kullandıkça,
o kadar da kötü olmadığını anlayacaksınız.
ve bu da ezberlemek için güzel bir fikir.
Mesela, bu denklemi, şimdi yazdığımız
bu denkleme uygulayalım.
Şimdi söyledim -- ve bakın, buradaki a sadece x üzerindeki
katsayı, değil mi?
a, x kare terimindeki katsayıdır.
b ise, x terimindeki katsayıdır, ve c sabittir.
Hadi bunu bu denkleme uygulayalım.
b nedir?
b, -9
Burda görebiliriz.
b, -9, a ise -10
c de 1
Değil mi?
Eğer b, -9'sa -- diyelim ki -9.
Artı ya da eksi, -9'un karesinin karekökü.
Bu da 81'e eşit.
Eksi 4 çarpı a.
a, -10'a eşit.
-10 kere c, yani 1.
Biliyorum bu çok karışık bir şey, ancak umuyorum ki
anlayabiliyorsunuzdur.
ve bunların hepsi, bölü 2a.
a, -10'a eşit, yani 2a'da -20.
Şimdi bunu sadeleştirelim.
Eksi çarpı -9, 9 eder.
Artı yada eksi 81'in karekökü.
Elimizde -4 çarpı -10 var.
Bu bir -10.
Biliyorum bu çok karmaşık oldu, bunun için
gerçekten çok özür dilerim, çarpı 1.
Yani -4 çarpı -10, 40 yapar, pozitif 40.
Pozitif 40.
ve bunların hepsi bölü -20.
Bildiğiniz gibi, 81 artı 40, 121.
Bu da 9 artı yada eksi 121'in
kare kökü üzeri -20.
121'in kare kökü 11.
Şimdi buraya gidelim.
Umuyorum ki, yaptığım şeyleri takip edebiliyorsunuzdur.
Şimdi, bu 9 artı yada eksi 11, üzeri -20.
ve eğer 9 artı 11 üzeri, -20 dersek bu 9,
artı 11, 20 eder ve bu da 20 bölü -20 eder.
Yani -1.
Bu köklerden birtanesi.
Bu, 9 artı -- çünkü bu artı yada eksi.
ve diğer kökt te, 9 eksi 11 üzeri -20.
Yani, -2 bölü -20.
Yani, 1 bölü 10.
Bu da denklemin ikinci kökü.
Eğer bu denklemin grafiğini çizersek, göreceğimiz şey,
köklerin x ekseni ile çakışacağı olacaktır.
Ya da f'in x'i, x'in -1 yada 1/10,
olduğu zamanlarda, 0'a eşit.
İkinci bölümde çok daha fazla örnek çözeceğim, çünkü
kafanızı bu video ile karıştırmış
olabileceğimi düşünüyorum.
O zaman, ikinci dereceden denklemleri kullanacağımız, videonun ikinci bölümünde
görüşürüz.
.