Välkommen till videon om att använda rotformeln.
Så, rotformeln, låter som något
väldigt komplicerat.
Och när du väl ser rotformeln,
känner du nog att det inte bara låter
komplicerat, utan är komplicerat.
Men förhoppningsvis inser du, under denna
video, att det inte är så svårt att använda.
Och i en framtida video ska jag visa dig
hur den är härledd.
Så, du har redan lärt dig att faktorisera
andragradsekvationer.
Du har lärt dig, om x i kvadrat minus x
minus 6 är 0.
Om vi har den här ekvationen. X^2 - x - 6 = 0
kan du faktorisera det som x - 3
och x + 2 lika med 0.
Vilket betyder att antingen x-3 = 0
eller x+2 = 0.
Så x-3 = 0 eller x+2 = 0.
Så, x = 3 eller x = -2.
En grafisk representation av detta vore, om vi har
funktionen f(x) = x^2 - x - 6.
Här är axeln som representerar f(x)
Du är kanske mer bekant med namnet y-axel, men för detta syftet,
för denna typ av problem, spelar det ingen roll.
Och detta är x-axeln.
Om vi ritar upp ekvationen, x^2 - x - 6
skulle det se ut ungefär så här.
Detta är f(x) = -6.
Och grafen ser ut ungefär så här.
Jag vet att den går genom -6, eftersom när x = 0
är f(x) = -6.
Så jag vet att den går genom den punkten.
Och jag vet att när f(x) = 0,
f(x) är lika med 0 på x-axeln, eller hur?
Här är 1.
Detta är 0.
Detta är -1.
Så här är där f(x) = 0,
längs den här x-axeln.
Och vi vet att f(x) är lika med 0 i x = 3 och
i x = -2.
Det är faktiskt vad vi löst ut här.
När vi gjorde faktoriseringsproblem förstod vi kanske inte
grafiskt vad vi gjorde.
Men om vi säger att f(x) är lika med den här funktionen,
sätter vi den lika med 0.
Så den här funktionen,
när är den lika med 0?
När är den lika med 0?
Jo, den är lika med 0 i dessa punkter.
Eftersom detta är där f(x) är lika med 0.
Vad vi gjorde när vi löste detta genom
faktorisering, var att vi tog reda på vilka x-värden som gav f(x) = 0,
vilket är dessa två punkter.
Och, för lite terminologi, dessa nollor kallas
också för rötterna till f(x).
Låt oss repetera det lite.
Om jag till exempel har funktionen
f(x) = x^2 + 4x + 4, och frågade, vilka är nollorna
eller rötterna till f(x).
Det är samma sak som att fråga,
var skär f(x) x-axeln?
Funktionen skär x-axeln när f(x)
är lika med 0, eller hur?
Tänk på grafen jag ritade.
Säg att om f(x) är lika med noll, kan vi
säga, 0 = x^2 + 4x + 4.
Och vi vet, genom att faktorisera, att det
blir (x + 2)*(x + 2).
Så ser vi att detta är lika med noll vid x = -2.
x är lika med minus 2.
Så, nu vi vet vi hur vi hittar nollorna när
ekvationen är lätt att faktorisera.
Men låt oss titta på ett läge där ekvationen
inte är lika lätt att faktorisera.
Låt säga att vi har f(x) = -10x^2 - 9x + 1
Även om jag delar med 10 kommer
jag få ett par bråk här.
Och det är svårt att se hur man faktoriserar den här andragradsekvationen.
Detta är en andragradsekvation,
eller polynom av andra graden.
Vi vill försöka lösa detta.
Vi vill hitta när det är lika med noll.
-10x^2 - 9x + 1
Vi vill hitta vilka värden på x som får
den här ekvationen lika med noll.
Här kan vi använda ett verktyg som kallas rotformeln.
Och jag ska nu ge er en av de få saker inom matematik
som är bra att memorera.
Rotformeln säger att rötterna till en andragradsekvation
är lika med, låt säga att ekvationen är
Ax^2 + Bx + C = 0
I vårt exempel, är A=-10
B = -9, och C = 1
Formeln är: rötterna x är lika med -B plus minus
kvadratroten ur B^2 minus 4 gånger A gånger C,
allt delat med 2A.
Jag vet att det ser komplicerat ut, men ju mer du använder det
kommer du inse att den inte är så dum.
Och detta är bra att memorera.
Så, låt oss använda rotformeln på ekvationen
vi skrev ner innan.
Jag sa att A är koefficient
till x-termen, eller hur?
A är koefficient till x^2-termen,
B är koefficient till x-termen, och C är en konstant.
Låt oss applicera rotformeln.
Vad är B?
B är -9
Vi ser det här,
B är -9, A är -10
C är 1
Eller hur?
Så, om B är -9, får vi minus -9
plus minus roten ur -9^2
Det är 81.
Minus 4*A, A är -10
-10 gånger C, C är 1
Det är lite rörigt, men jag hoppas
att ni förstår.
Och allt det delat på 2A.
A är -10, så 2 gånger A är -20.
Låt oss förenkla detta.
Minus gånger -9, det är 9.
Plus minus roten ur 81
Vi har -4 gånger -10
Det står -10 här.
Jag vet att det är rörigt, ursäkta det.
Detta gånger 1.
Så -4 gånger -10 är 40
Positiva 40.
Och sedan allt det delat med -20.
Ja, 81 + 40 är 121.
Och här 9 plus minus
roten ur 121 delat med -20.
Roten ur 121 är 11.
Vi flyttar oss hit bort.
Hoppas ni inte tappar lösningsgången.
Så, 9 plus minus 11, delat med -20.
Om vi tar 9 PLUS 11 delat med -20, det blir
9 + 11 är 20, så detta är 20 delat med -20.
Vilket är lika med -1
Så det är en rot.
Roten till 9+.
Och den andra roten är 9 MINUS 11, delat med -20
vilket blir -2 / -20.
Vilket är 1 / 10.
Där har vi vår andra rot.
Så, om vi ska rita upp denna ekvationen, skulle vi se att
den skär x-axeln.
Eller, f(x) = 0 vid punkterna där x = -1
och x = 1/10
Jag kommer göra fler exempel i del 2
för jag tror jag kan ha förvirrat er
med detta exemplet.
Så, vi ses i del två om att använda rotformeln.