0:00:01.010,0:00:04.520
Välkommen till videon om [br]att använda rotformeln.

0:00:04.520,0:00:06.730
Så, rotformeln, låter som något

0:00:06.730,0:00:07.810
väldigt komplicerat.

0:00:07.810,0:00:09.930
Och när du väl ser rotformeln,

0:00:09.930,0:00:11.590
känner du nog att det [br]inte bara låter

0:00:11.590,0:00:13.110
komplicerat, utan är komplicerat.

0:00:13.110,0:00:14.930
Men förhoppningsvis inser du,[br]under denna

0:00:14.930,0:00:16.580
video, att det inte är så svårt att använda.

0:00:16.580,0:00:19.040
Och i en framtida video ska jag visa dig

0:00:19.040,0:00:21.300
hur den är härledd.

0:00:21.300,0:00:24.810
Så, du har redan lärt dig att faktorisera

0:00:24.810,0:00:25.810
andragradsekvationer.

0:00:25.810,0:00:30.910
Du har lärt dig, om x i kvadrat[br]minus x

0:00:30.910,0:00:40.340
minus 6 är 0.

0:00:40.340,0:00:42.970
Om vi har den här ekvationen.[br]X^2 - x - 6 = 0

0:00:42.970,0:00:48.720
kan du faktorisera det som[br]x - 3

0:00:48.720,0:00:52.210
och x + 2 lika med 0.

0:00:52.210,0:00:54.955
Vilket betyder att antingen x-3 = 0

0:00:54.955,0:00:57.073
eller x+2 = 0.

0:00:57.073,0:01:03.512
Så x-3 = 0[br]eller x+2 = 0.

0:01:03.512,0:01:08.500
Så, x = 3 eller x = -2.

0:01:08.500,0:01:17.980
En grafisk representation av[br]detta vore, om vi har

0:01:17.980,0:01:26.150
funktionen f(x) = x^2 - x - 6.

0:01:26.150,0:01:28.760
Här är axeln som representerar f(x)

0:01:28.760,0:01:32.670
Du är kanske mer bekant med namnet y-axel,[br]men för detta syftet,

0:01:32.670,0:01:34.780
för denna typ av problem,[br]spelar det ingen roll.

0:01:34.780,0:01:36.270
Och detta är x-axeln.

0:01:36.270,0:01:40.430
Om vi ritar upp ekvationen,[br]x^2 - x - 6

0:01:40.430,0:01:42.380
skulle det se ut ungefär så här.

0:01:42.380,0:01:50.130
Detta är f(x) = -6.

0:01:50.130,0:01:52.900
Och grafen ser ut ungefär så här.

0:01:52.900,0:01:57.150
Och grafen ser ut ungefär så här.

0:02:00.030,0:02:03.150
Jag vet att den går genom -6,[br]eftersom när x = 0

0:02:03.150,0:02:05.110
är f(x) = -6.

0:02:05.110,0:02:07.800
Så jag vet att den går genom den punkten.

0:02:07.800,0:02:11.520
Och jag vet att när f(x) = 0,

0:02:11.520,0:02:14.960
f(x) är lika med 0 på x-axeln, eller hur?

0:02:14.960,0:02:16.600
Här är 1.

0:02:16.600,0:02:17.870
Detta är 0.

0:02:17.870,0:02:19.160
Detta är -1.

0:02:19.160,0:02:21.510
Så här är där f(x) = 0,

0:02:21.510,0:02:23.420
längs den här x-axeln.

0:02:23.420,0:02:29.210
Och vi vet att f(x) är lika med 0 [br]i x = 3 och

0:02:29.210,0:02:32.330
i x = -2.

0:02:32.330,0:02:34.360
Det är faktiskt vad vi löst ut här.

0:02:34.360,0:02:36.440
När vi gjorde faktoriseringsproblem[br]förstod vi kanske inte

0:02:36.440,0:02:38.940
grafiskt vad vi gjorde.

0:02:38.940,0:02:42.070
Men om vi säger att f(x) är lika[br]med den här funktionen,

0:02:42.070,0:02:43.270
sätter vi den lika med 0.

0:02:43.270,0:02:44.820
Så den här funktionen,

0:02:44.820,0:02:48.220
när är den lika med 0?

0:02:48.220,0:02:49.390
När är den lika med 0?

0:02:49.390,0:02:51.720
Jo, den är lika med 0 i dessa punkter.

0:02:51.720,0:02:55.360
Eftersom detta är där f(x) är lika med 0.

0:02:55.360,0:02:57.490
Vad vi gjorde när vi löste detta genom

0:02:57.490,0:03:01.970
faktorisering, var att vi tog reda på[br]vilka x-värden som gav f(x) = 0,

0:03:01.970,0:03:04.160
vilket är dessa två punkter.

0:03:04.160,0:03:06.740
Och, för lite terminologi,[br]dessa nollor kallas

0:03:06.740,0:03:09.860
också för rötterna till f(x).

0:03:12.110,0:03:14.720
Låt oss repetera det lite.

0:03:14.810,0:03:18.150
Om jag till exempel har funktionen

0:03:18.150,0:03:29.550
f(x) = x^2 + 4x + 4,[br]och frågade, vilka är nollorna

0:03:29.550,0:03:31.770
eller rötterna till f(x).

0:03:31.770,0:03:33.970
Det är samma sak som att fråga,

0:03:33.970,0:03:36.300
var skär f(x) x-axeln?

0:03:36.300,0:03:38.210
Funktionen skär x-axeln när f(x)

0:03:38.210,0:03:39.440
är lika med 0, eller hur?

0:03:39.440,0:03:42.120
Tänk på grafen jag ritade.

0:03:42.120,0:03:45.720
Säg att om f(x) är lika med noll, kan vi

0:03:45.720,0:03:51.860
säga, 0 = x^2 + 4x + 4.

0:03:51.860,0:03:53.940
Och vi vet, genom att faktorisera, att det

0:03:53.940,0:03:57.080
blir (x + 2)*(x + 2).

0:03:57.080,0:04:07.090
Så ser vi att detta är lika med noll vid x = -2.

0:04:07.090,0:04:10.170
x är lika med minus 2.

0:04:13.740,0:04:18.070


0:04:18.270,0:04:22.380
Så, nu vi vet vi hur vi hittar nollorna när

0:04:22.380,0:04:24.560
ekvationen är lätt att faktorisera.

0:04:24.560,0:04:27.500
Men låt oss titta på ett läge där ekvationen

0:04:27.500,0:04:28.850
inte är lika lätt att faktorisera.

0:04:28.850,0:04:32.120


0:04:32.340,0:04:45.380
Låt säga att vi har f(x) = -10x^2 - 9x + 1

0:04:45.380,0:04:47.580
Även om jag delar med 10 kommer

0:04:47.580,0:04:48.650
jag få ett par bråk här.

0:04:48.650,0:04:53.130
Och det är svårt att se hur man faktoriserar[br]den här andragradsekvationen.

0:04:53.130,0:04:54.860
Detta är en andragradsekvation,

0:04:54.860,0:04:57.580
eller polynom av andra graden.

0:04:57.580,0:04:59.600
Vi vill försöka lösa detta.

0:04:59.600,0:05:02.420
Vi vill hitta när det är lika med noll.

0:05:02.420,0:05:07.130
-10x^2 - 9x + 1

0:05:07.130,0:05:09.090
Vi vill hitta vilka värden på x som får

0:05:09.090,0:05:11.260
den här ekvationen lika med noll.

0:05:11.260,0:05:13.730
Här kan vi använda ett verktyg som[br]kallas rotformeln.

0:05:13.730,0:05:15.625
Och jag ska nu ge er en av de få[br]saker inom matematik

0:05:15.625,0:05:18.030
som är bra att memorera.

0:05:18.030,0:05:21.330
Rotformeln säger att rötterna till en[br]andragradsekvation

0:05:21.330,0:05:24.810
är lika med, låt säga att ekvationen är

0:05:24.810,0:05:31.900
Ax^2 + Bx + C = 0

0:05:31.900,0:05:35.790
I vårt exempel, är A=-10

0:05:35.790,0:05:39.940
B = -9, och C = 1

0:05:39.940,0:05:48.040
Formeln är: rötterna x är lika med[br]-B plus minus

0:05:48.040,0:05:58.060
kvadratroten ur B^2 minus 4 [br]gånger A gånger C,

0:05:58.060,0:06:00.230
allt delat med 2A.

0:06:00.230,0:06:02.843
Jag vet att det ser komplicerat ut,[br]men ju mer du använder det

0:06:02.843,0:06:04.400
kommer du inse att den inte är så dum.

0:06:04.400,0:06:07.720
Och detta är bra att memorera.

0:06:07.720,0:06:10.730
Så, låt oss använda rotformeln på[br]ekvationen

0:06:10.730,0:06:12.670
vi skrev ner innan.

0:06:12.670,0:06:15.260
Jag sa att A är koefficient

0:06:15.260,0:06:18.610
till x-termen, eller hur?

0:06:18.610,0:06:20.300
A är koefficient till x^2-termen,

0:06:20.300,0:06:23.570
B är koefficient till x-termen, och[br]C är en konstant.

0:06:23.570,0:06:25.100
Låt oss applicera rotformeln.

0:06:25.100,0:06:26.250
Vad är B?

0:06:26.250,0:06:28.700
B är -9

0:06:28.700,0:06:29.970
Vi ser det här,

0:06:29.970,0:06:33.980
B är -9, A är -10

0:06:33.980,0:06:34.970
C är 1

0:06:34.970,0:06:36.090
Eller hur?

0:06:36.090,0:06:42.350
Så, om B är -9, får vi minus -9

0:06:42.350,0:06:49.260
plus minus roten ur -9^2

0:06:49.260,0:06:49.810


0:06:49.810,0:06:53.140
Det är 81.

0:06:53.600,0:06:59.760
Minus 4*A, A är -10

0:06:59.760,0:07:03.240
-10 gånger C, C är 1

0:07:03.240,0:07:05.110
Det är lite rörigt,[br]men jag hoppas

0:07:05.110,0:07:06.470
att ni förstår.

0:07:06.470,0:07:09.560
Och allt det delat på 2A.

0:07:09.560,0:07:14.050
A är -10, så 2 gånger A är -20.

0:07:14.050,0:07:14.990
Låt oss förenkla detta.

0:07:14.990,0:07:19.410
Minus gånger -9, det är 9.

0:07:19.410,0:07:26.460
Plus minus roten ur 81

0:07:26.460,0:07:30.660
Vi har -4 gånger -10

0:07:30.660,0:07:31.870
Det står -10 här.

0:07:31.870,0:07:33.280
Jag vet att det är rörigt, ursäkta det.

0:07:33.280,0:07:34.380
Detta gånger 1.

0:07:34.380,0:07:39.410
Så -4 gånger -10 är 40

0:07:39.410,0:07:41.040
Positiva 40.

0:07:41.040,0:07:46.070
Och sedan allt det delat med -20.

0:07:46.070,0:07:48.300
Ja, 81 + 40 är 121.

0:07:48.300,0:07:52.330
Och här 9 plus minus

0:07:52.330,0:07:58.290
roten ur 121 delat med -20.

0:07:58.290,0:08:01.620
Roten ur 121 är 11.

0:08:01.620,0:08:03.170
Vi flyttar oss hit bort.

0:08:03.170,0:08:06.184
Hoppas ni inte tappar lösningsgången.

0:08:06.184,0:08:13.720
Så, 9 plus minus 11, delat med -20.

0:08:13.720,0:08:19.090
Om vi tar 9 PLUS 11 delat med -20, [br]det blir

0:08:19.090,0:08:22.540
9 + 11 är 20, så detta är [br]20 delat med -20.

0:08:22.540,0:08:23.730
Vilket är lika med -1

0:08:23.730,0:08:24.900
Så det är en rot.

0:08:24.900,0:08:28.260
Roten till 9+.

0:08:28.260,0:08:33.790
Och den andra roten är 9 MINUS 11,[br]delat med -20

0:08:33.790,0:08:37.720
vilket blir -2 / -20.

0:08:37.720,0:08:40.700
Vilket är 1 / 10.

0:08:40.700,0:08:42.690
Där har vi vår andra rot.

0:08:42.690,0:08:48.950
Så, om vi ska rita upp denna ekvationen,[br]skulle vi se att

0:08:48.950,0:08:52.640
den skär x-axeln.

0:08:52.640,0:08:57.770
Eller, f(x) = 0 vid punkterna där x = -1

0:08:57.770,0:09:01.690
och x = 1/10

0:09:01.690,0:09:04.080
Jag kommer göra fler exempel i del 2

0:09:04.080,0:09:06.100
för jag tror jag kan ha förvirrat er

0:09:06.100,0:09:08.120
med detta exemplet.

0:09:08.120,0:09:11.680
Så, vi ses i del två [br]om att använda rotformeln.

0:09:11.680,0:09:12.150


0:09:12.150,0:09:14.083