Vitam vas na prednaske o kvadratickej rovnici.
Taka kvadraticka rovnica, to znie ako nieco
velmi zlozite.
Ked skutocne prvykrat uvidite kvadraticku rovnicu,
poviete si, nielenze to znie
zlozito, ale to a jzlozite je.
Nastastie vsak v priebehu tejto prednasky uvidite,
ze to v skutocnosti nie je take tazke.
V buducej prednaske vam ukazem,
ako to bolo odvodene.
Vo vseobecnosti ste sa uz naucili rozlozit
rovnicu druheho stupna.
Naucili ste sa, ze ak som mal, povedzme, x na druhu,
minus x, minus 6, rovna sa 0.
Ak by som mal taku rovnicu, x na druhu minus x minus x sa rovna
nula, mohli by ste ju rozlozit ako x minus 3 a
x plus 2 rovna sa 0.
Staci, ak x minus 3 sa rovna 0, alebo
x plus 2 sa rovna 0.
Takze x minus 3 sa rovna 0 alebo x plus 2 sa rovna 0.
Takze x sa rovna 3 alebo minus 2.
Graficke zobrazenie tohto by bolo, ak by som mal
funkciu f (x) sa rovna x na druhu minus x minus 6.
Tato os je f osi x.
Mozno ti je znamejsia os y, ale na ucely
nasho problemu na tom nezalezi.
Toto je os x.
Ak by som chcel znazornit tuto rovnicu, x na druhu minus x,
minus 6, vyzeralo by to asi takto.
Trochu ako -- toto je f (x) rovna sa minus 6.
Graf by vyzeral asi takto.
Pojde to smerom hore.
Vedz, ze to ide cez minus 6, pretoze ked sa x rovna 0,
f (x) sa rovna minus 6.
Takto ja viem, ze to ide cez tento bod.
Viem aj, ze ked f(x) sa rovna 0, tak f(x) sa rovna
0 pozdlz celej osi x. spravne?
Tu je 1.
Tu je 0.
Tu je minus 1.
Takze tu to je, kde f(x) sa rovna 0, na
celej tejto osi x, spravne?
Vieme, ze to sa rovna 0 v bodoch, kde x sa rovna 3 a
x sa rovna minus 2.
Toto je vlastne to, co sme tu riesili.
Mozno ked sme sa venovali problemom s rozlozenim,
neuvedomili sme si graficky, co robime.
Ale ak sme si povedali, ze f(x) sa rovna tejto funkcii,
prisudzujeme jej hodnotu nula.
Hovorime tomu funkcia. Kedy sa
tato funkcia rovna 0?
kedy?
Rovna sa nule v tychto bodoch, ano?
Pretoze tu sa f(x) rovna 0.
Ked sme toto vyriesili
rozlozenim, prisli sme na to, ze hodnoty x, ktore tvorili f(x),
sa rovnaju 0, co su tieto dva body.
Teraz trocha terminologie - nazyvaju sa
nulami, alebo aj korenmi f(x).
Trocha si to zopakujme.
Ak by som mal nieco ako f(x) sa rovna x na druhu plus
4 krat x plus 4, a opytal by som sa ta, kde su nuly ci
korene f(x)?
To je to iste, ako opytat sa ta: kde f(x)
pretina os x?
Pretina ju, ked f(x)
sa rovna 0, ano?
Ak teda myslime graf, ktory som predtym nakreslil.
Povedzme, ze f(x) sa rovna 0, potom mozeme
povedat, ze 0 sa rovna x na druhu plus 4 krat x plus 4.
Vieme, ze to mozeme rozlozit, teda x
plus 2 krat x plus 2.
Vieme, ze sa to rovna 0, ak sa x rovna minus 2.
x sa rovna minus 2.
No, toto je trocha preklep, takze x sa rovna minus 2.
Tak teraz uz vieme, ako najdeme korene, ked sa urcita
rovnica da lahko rozlozit.
Ale skusme rovnicu, ktoru nie je v skutocnosti
take lahke rozlozit.
Priklad: mame f(x) sa rovna minus 10 krat x
na druhu minus 9 krat x plus 1.
Ked sa na to pozriem, aj keby som to vydelil 10,
ostali by mi tu nejake zlomky.
Je velmi tazke predstavit si rozlozenie tejto kvadratickej rovnice.
Toto sa vlastne vola kvadraticka rovnica, alebo
druhostupnovy polynomial.
Skusime to vyriesit.
Pretoze chceme zistit, kedy sa to rovna 0.
Minus 10 krat x na druhu minus 9 krat x plus 1.
Chceme zistit, ake hodnoty musi mat x, aby
sa tato rovnica rovnala 0.
A tu mozme pouzit pomocku nazvanu vzorec kvadratickej rovnice.
Teraz vam dam jednu radu v matematike,
ktoru je dobre si zapamatat.
Korene kvadratickej rovnice sa vypocitaju podla daneho vzorca.
Kvadraticka rovnica ma vo vseobecnosti takyto tvar:
A krat x na druhu plus B krat x plus C sa rovna 0.
V nasom priklade je A minus 10,
B je minus 9, a C je 1.
Vzorec je: korene x sa rovnaju minus B plus alebo minus
druha odmocnina B na druhu minus 4 krat A krat C,
vsetko to delene 2 krat A.
Viem, ze to vyzera zlozito, ale cim viacej to budes pouzivat,
uvidis, ze to v skutocnosti nie je az take zle.
Je dobre si ten vzorec zapamatat.
Aplikujme tento vzorec na nasu rovnicu,
ktoru sme si napisali.
Takze - pozri sa, A je iba koeficient
clena x na druhu, ano?
takze A je koeficient clena x na druhú.
B je koeficient clena x. C je konštanta.
Takze aplikujme tento vzorec na nasu rovnicu.
Kolko je B?
B je minus 9.
Mozeme to vidiet tu.
B je minus 9, A je minus 10.
C je 1.
Ano?
Ak B je minus 9 - tak potom mame minus minus 9.
Plus alebo mínus druhá odmocnina minus 9 na druhú.
To je 81.
Mínus 4 krát A.
A je mínus 10.
Mínus 10 krát C, ktore je 1.
Viem, že je to chaoticke, ale dúfam, že to
chapes.
Všetko delene 2 krát A.
A je mínus 10, takze 2 krát A je potom mínus 20.
Tak si to zjednodušme.
minus minus 9, to je kladne 9.
Plus alebo mínus druhá odmocnina z 81.
Máme minus 4 krat A, ktore je minus 10 .
Tu je mínus 10.
Viem, že je to veľmi komplikované, je mi to luto,
krat C, teda krat 1.
minus 4 krat minus 10 je 40, kladne 40.
Kladne 40.
To vsetko vydelime minus 20. .
81 plus 40 je 121.
9 plus alebo mínus druhá odmocnina
zo 121 delene mínus 20.
Druhá odmocnina zo 121 je 11.
Pôjdem sem.
Dúfam, že nestratís prehľad o tom, čo robím.
9 plus alebo mínus 11, delene mínus 20.
9 plus 11 delene mínus 20, to je 9
plus 11 je 20, takže to je 20 delene mínus 20,
co sa rovná minus 1 .
Takže tu mame prvy koreň.
To je 9 plus - pretože to je plus alebo mínus.
A ten druhý koreň potom bude 9 mínus 11 delene minus 20,
co sa rovná mínus 2 delene mínus 20,
co sa rovná 1 lomene 10.
Tak toto je dalsi koren.
Ak by sme tuto rovnicu zobrazili na grafe, videli by sme, ze v
bodoch minus 1 a 1/10 naozaj pretína os x.
Alebo f ( x) sa rovna 0 v bodoch, kde x sa rovna
minus 1 alebo x sa rovná 1/10.
V časti 2 budu dalsie príklady, pretože si
myslím, ze ak niečo, tak možno som ta
tymto trocha doplietol.
Uvidíme sa teda v časti 2 s dalsimi
kvadratickymi rovnicami.
...