WEBVTT 00:00:01.010 --> 00:00:04.520 Porozmawiajmy o równaniach kwadratowych. 00:00:04.520 --> 00:00:06.730 Równanie kwadratowe, brzmi jak coś 00:00:06.730 --> 00:00:07.810 bardzo skomplikowanego. 00:00:07.810 --> 00:00:09.930 I kiedy pierwszy raz zobaczysz równanie kwadratowej, 00:00:09.930 --> 00:00:11.590 powiesz, no tak, to nie tylko brzmi jak coś 00:00:11.590 --> 00:00:13.110 skomplikowanego, ale jest skomplikowane. 00:00:13.110 --> 00:00:14.930 Mam nadzieję że słuchając przekonasz się 00:00:14.930 --> 00:00:16.580 że równania kwadratowe wcale nie są takie skomplikowane. 00:00:16.580 --> 00:00:19.040 W kolejnym wideo pokaże Ci 00:00:19.040 --> 00:00:21.300 jak to wszystko można obliczyć. 00:00:21.300 --> 00:00:24.810 Wiemy już jak rozłożyć na czynniki 00:00:24.810 --> 00:00:25.810 wielomian drugiego stopnia. 00:00:25.810 --> 00:00:30.910 Nauczyłeś się już, że jeśli mamy, na przykład, x kwadrat minus 00:00:30.910 --> 00:00:40.340 x minus 6 równa się zero. 00:00:40.340 --> 00:00:42.970 Jeśli mamy takie równanie, x kwadrat minus x minus 6 równa się 00:00:42.970 --> 00:00:48.720 zero, można je rozłożyć na dwa czynniki x minus 3 i 00:00:48.720 --> 00:00:52.210 x plus 2 równa się 0. 00:00:52.210 --> 00:00:54.955 Co oznacza że albo x minus 3 równa się zero, albo 00:00:54.955 --> 00:00:57.073 x plus 2 równa się zero. 00:00:57.073 --> 00:01:03.512 x minus 3 równa się 0 albo x plus 2 równa się 0. 00:01:03.512 --> 00:01:08.500 Czyli x równa się 3 albo minus 2. 00:01:08.500 --> 00:01:17.980 Jeśli chciałbym to narysować, jeśli mamy 00:01:17.980 --> 00:01:26.150 funkcję f od x, która równa się x kwadrat minus x minus 6. 00:01:26.150 --> 00:01:28.760 To jest oś f(x) 00:01:28.760 --> 00:01:32.670 Może bardziej przypomina Ci to oś y, ale dla 00:01:32.670 --> 00:01:34.780 naszych celów to wszystko jedno. 00:01:34.780 --> 00:01:36.270 A to jest oś x. 00:01:36.270 --> 00:01:40.430 Teraz, wykres funkcji f(x) = x kwadrat minus x, 00:01:40.430 --> 00:01:42.380 minus 6 będzie wyglądał mniej więcej tak. 00:01:42.380 --> 00:01:50.130 Ten punkt to f(x) równa się minus 6. 00:01:50.130 --> 00:01:52.900 A wykres wygląda mniej więcej tak. 00:01:52.900 --> 00:01:57.150 To będzie dalej szło do góry. 00:02:00.030 --> 00:02:03.150 Wykres przechodzi przez minus 6, dlatego że jeśli x równa się zero, 00:02:03.150 --> 00:02:05.110 f(x) równa się minus 6. 00:02:05.110 --> 00:02:07.800 Stąd wiem, że wykres funkcji f(x) musi przechodzić przez ten punkt. 00:02:07.800 --> 00:02:11.520 I wiem także że jeśli f(x) równa się zero, to znaczy f(x) jest równe 00:02:11.520 --> 00:02:14.960 0 na osi x, tak? 00:02:14.960 --> 00:02:16.600 Ponieważ tu jest 1. 00:02:16.600 --> 00:02:17.870 Tu jest zero. 00:02:17.870 --> 00:02:19.160 Tu jest minus 1. 00:02:19.160 --> 00:02:21.510 A f(x) równa się zeru wzdłuż 00:02:21.510 --> 00:02:23.420 osi x, prawda? 00:02:23.420 --> 00:02:29.210 I wiemy, że f(x) równa się 0 w punktach x równa sie 3 oraz 00:02:29.210 --> 00:02:32.330 x równa się minus 2. 00:02:32.330 --> 00:02:34.360 To jest rozwiązanie, jakie otrzymaliśmy. 00:02:34.360 --> 00:02:36.440 Prawdopodobnie, kiedy rozkładaliśmy to wyrażenie na czynniki, 00:02:36.440 --> 00:02:38.940 nie bardzo wyobrażaliśmy sobie co właściwie robimy. 00:02:38.940 --> 00:02:42.070 Kiedy powiedzieliśmy, że f(x) równa się tej funkcji 00:02:42.070 --> 00:02:43.270 i przyrównaliśmy ją do 0. 00:02:43.270 --> 00:02:44.820 Postawiliśmy pytanie, dla jakich wartości x 00:02:44.820 --> 00:02:48.220 ta funkcja równa się 0? 00:02:48.220 --> 00:02:49.390 Kiedy f(x) równa się 0? 00:02:49.390 --> 00:02:51.720 No cóż, równa się zeru w tych dwóch punktach, tak? 00:02:51.720 --> 00:02:55.360 W tych właśnie punktach f(x) równa się 0. 00:02:55.360 --> 00:02:57.490 A rozkładając f(x) na czynniki 00:02:57.490 --> 00:03:01.970 mogliśmy wyznaczyć wartości x, dla których f(x) 00:03:01.970 --> 00:03:04.160 będzie równe 0, dokładnie w tych dwóch punktach. 00:03:04.160 --> 00:03:06.740 Teraz trochę matematycznej terminologii, te punkty nazywają się 00:03:06.740 --> 00:03:09.860 miejscami zerowymi albo pierwiastkami f(x). 00:03:09.860 --> 00:03:12.470 Powtórzmy to jeszcze raz. 00:03:14.810 --> 00:03:23.700 Jeśli mamy równanie f(x) równa się x kwadrat dodać 00:03:23.700 --> 00:03:29.550 4x dodać 4 i problem polega na tym, żeby znaleźć miejsca zerowe, albo 00:03:29.550 --> 00:03:31.770 pierwiastki f(x). 00:03:31.770 --> 00:03:33.970 Oznacza to dokładnie to samo, gdybyśmy zapytali dla jakich x wykres funkcji f(x) 00:03:33.970 --> 00:03:36.300 przecina oś x? 00:03:36.300 --> 00:03:38.210 Wykres f(x) przecina oś x w punktach, w których f(x) 00:03:38.210 --> 00:03:39.440 równa się 0, nieprawdaż? 00:03:39.440 --> 00:03:42.120 Spójrzmy na ten wykres. 00:03:42.120 --> 00:03:45.720 Jeśli f(x) ma być równe zero, to to znaczy że 00:03:45.720 --> 00:03:51.860 0 równa się x kwadrat plus 4 x plus 4. 00:03:51.860 --> 00:03:53.940 A to możemy rozłożyć na czynniki, to będzie 00:03:53.940 --> 00:03:57.080 x plus 2 razy x plus 2. 00:03:57.080 --> 00:04:07.090 A to równa się zero jeśli x równa się minus 2. 00:04:07.090 --> 00:04:10.170 x równa się minus 2. 00:04:13.940 --> 00:04:18.270 Po prostu, x równa się minus 2. 00:04:18.270 --> 00:04:22.380 Umiemy znaleźć miejsca zerowe, pod warunkiem że 00:04:22.380 --> 00:04:24.560 łatwo jest rozłożyć wielomian na czynniki. 00:04:24.560 --> 00:04:27.500 Spróbujmy teraz rozwiązać równanie w przypadku 00:04:27.500 --> 00:04:28.850 kiedy nie jest wcale łatwo rozłożyć wielomian na czynniki. 00:04:28.850 --> 00:04:32.120 Niech f(x) równa się minus 10 x kwadrat 00:04:39.750 --> 00:04:45.380 minus 9 x plus . 00:04:45.380 --> 00:04:47.580 Nawet jeśli podzielimy to przez 10, 00:04:47.580 --> 00:04:48.650 dostaniemy tutaj ułamki. 00:04:48.650 --> 00:04:53.130 Więc dość trudno się domyśleć jak rozłożyć na czynniki to kwadratowe wyrażenie. 00:04:53.130 --> 00:04:54.860 Coś takiego nazywa się "równanie kwadratowe", 00:04:54.860 --> 00:04:57.580 albo "wielomian drugiego stopnia", albo "trójmian kwadratowy". 00:04:57.580 --> 00:04:59.600 I teraz chcemy rozwiązać to równanie. 00:04:59.600 --> 00:05:02.420 Czyli znaleźć, kiedy równa się 0. 00:05:02.420 --> 00:05:07.130 Minus 10 x kwadrat mius 9 x plus 1. 00:05:07.130 --> 00:05:09.090 Chcemy znaleźć takie wartości x, dla których 00:05:09.090 --> 00:05:11.260 to wyrażenie równa się zeru. 00:05:11.260 --> 00:05:13.730 Do tego można użyć gotowego narzędzia, które nazywa się wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. 00:05:13.730 --> 00:05:15.625 To jest jeden z niewielu wzorów w matematyce 00:05:15.625 --> 00:05:18.030 których warto nauczyć się na pamięć. 00:05:18.030 --> 00:05:21.330 Wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego mówi, 00:05:21.330 --> 00:05:24.810 że równają się one - powiedzmy, że równanie zapiszemy ogólnie jako 00:05:24.810 --> 00:05:31.900 A razy x kwadrat plus B razy x pluc C równa się 0. 00:05:31.900 --> 00:05:35.790 W naszym przykładzie, A równa się minus 10. 00:05:35.790 --> 00:05:39.940 B równa się minus 9, a C równa się 1. 00:05:39.940 --> 00:05:48.040 Wzór na pierwiastki wygląda tak: x równa się minus B plus lub minus 00:05:48.040 --> 00:05:58.060 pierwiastek kwadratowy z B kwadrat minus 4 razy A razy C, 00:05:58.060 --> 00:06:00.230 i to wszystko trzeba podzielić jeszcze przez 2 A. 00:06:00.230 --> 00:06:02.843 To wygląda skomplikowanie, ale jeśli trochę poćwiczycie, przekonacie się że 00:06:02.843 --> 00:06:04.400 nie jest tak źle. 00:06:04.400 --> 00:06:07.720 Więc warto te wzory zapamiętać. 00:06:07.720 --> 00:06:10.730 To teraz zastosujmy je do naszego przykładu 00:06:10.730 --> 00:06:12.670 tutaj na tablicy. 00:06:12.670 --> 00:06:15.260 Tak jak powiedziałem, A jest współczynnikiem 00:06:15.260 --> 00:06:18.610 przy x kwadrat, tak? 00:06:18.610 --> 00:06:20.300 A jest współczynnikiem przy wyrazie kwadratowym. 00:06:20.300 --> 00:06:23.570 B jest współczynnikiem przy x, przy wyrazie liniowym, a C jest wyrazem stałym. 00:06:23.570 --> 00:06:25.100 Zastosujmy to do naszego równania. 00:06:25.100 --> 00:06:26.250 Ile wynosi B? 00:06:26.250 --> 00:06:28.700 B równa się minus 9. 00:06:28.700 --> 00:06:29.970 Widać to stąd. 00:06:29.970 --> 00:06:33.980 B równa się minus 9, a równa się minus 10. 00:06:33.980 --> 00:06:34.970 C równa się 1. 00:06:34.970 --> 00:06:36.090 Prawda? 00:06:36.090 --> 00:06:42.350 Jeśli B równa się minus 9, mamy minus (minus 9). 00:06:42.350 --> 00:06:49.260 Plus albo minus pierwiastek kwadratowy z minus 9 do kwadratu. 00:06:49.260 --> 00:06:49.810 To będzie 81. 00:06:49.810 --> 00:06:53.140 Minus 4 razy A. 00:06:56.940 --> 00:06:59.760 A równa się minus 10. 00:06:59.760 --> 00:07:03.240 Czyli minus 10 razy C, ktore jest równe 1. 00:07:03.240 --> 00:07:05.110 Wygląda to trochę skomplikowanie, ale mam nadzieje 00:07:05.110 --> 00:07:06.470 że zrozumieliście o co chodzi. 00:07:06.470 --> 00:07:09.560 I to wszystko jeszcze trzeba podzielić przez 2 A. 00:07:09.560 --> 00:07:14.050 A równa się minus 10, a 2 razy A równa się minus 20. 00:07:14.050 --> 00:07:14.990 Teraz uprościmy to trochę. 00:07:14.990 --> 00:07:19.410 Minus razy minus 9 to będzie plus 9. 00:07:19.410 --> 00:07:26.460 Plus lub minus pierwiastek kwadratowy z 81. 00:07:26.460 --> 00:07:30.660 Minus 4 razy minus 10. 00:07:30.660 --> 00:07:31.870 Tu jest minus 10. 00:07:31.870 --> 00:07:33.280 Przepraszam za ten bałagan... 00:07:33.280 --> 00:07:34.380 i jeszcze razy 1. 00:07:34.380 --> 00:07:39.410 Razem may minus 4 razy minus 10, czyli 40, plus 40. 00:07:39.410 --> 00:07:41.040 Plus 40. 00:07:41.040 --> 00:07:46.070 I to wszystko podzielić przez minus 20. 00:07:46.070 --> 00:07:48.300 No tak, 81 dodać 20 równa się 121. 00:07:48.300 --> 00:07:52.330 Czyli tutaj mamy 9 plus lub minus pierwiastek kwadratowy 00:07:52.330 --> 00:07:58.290 z 121, podzielić przez minus 20. 00:07:58.290 --> 00:08:01.620 Pierwiastek kwadratowy z 121 równa się 11. 00:08:01.620 --> 00:08:03.170 Zapiszmy to tutaj. 00:08:03.170 --> 00:08:06.184 Mam nadzieję, że się nie zgubiliście. 00:08:06.184 --> 00:08:13.720 Teraz mamy 9 plus lub minus 11, i wszystko podzielić przez 20. 00:08:13.720 --> 00:08:19.090 Weźmy 9 plus 11 podzielić przez minus 20, 00:08:19.090 --> 00:08:22.540 9 plus 11 równa się 20, 20 podzielić przez minus 20. 00:08:22.540 --> 00:08:23.730 Równa się minus 1. 00:08:23.730 --> 00:08:24.900 To jest jeden z pierwiastków. 00:08:24.900 --> 00:08:28.260 Ten z plusem, ponieważ tutaj mamy plus lub minus. 00:08:28.260 --> 00:08:33.790 A drugi pierwiastek równa się 9 minus 11, podzielić przez minus 20. 00:08:33.790 --> 00:08:37.720 A to się równa minus 2 podzielić przez minus 20. 00:08:37.720 --> 00:08:40.700 Czyli 1/10. 00:08:40.700 --> 00:08:42.690 To jest drugi pierwiastek. 00:08:42.690 --> 00:08:48.950 Gdybyśmy chcieli to narysować, to wykres funkcji f(x) 00:08:48.950 --> 00:08:52.640 przecina oś x. 00:08:52.640 --> 00:08:57.770 W punktach, w których f(x) równa się 0, czyli tam, gdzie x równa się 00:08:57.770 --> 00:09:01.690 minus 1 lub x równa się 1/10. 00:09:01.690 --> 00:09:04.080 W kolejnej części zrobimy więcej przykładów. 00:09:04.080 --> 00:09:06.100 Boję się że póki co, możecie być trochę skonfundowani 00:09:06.100 --> 00:09:08.120 tym przykładem :). 00:09:08.120 --> 00:09:11.680 Do zobaczenia więc w kolejnym wideo 00:09:11.680 --> 00:09:12.150 o równaniu kwadratowym!