Porozmawiajmy o równaniach kwadratowych.
Równanie kwadratowe, brzmi jak coś
bardzo skomplikowanego.
I kiedy pierwszy raz zobaczysz równanie kwadratowej,
powiesz, no tak, to nie tylko brzmi jak coś
skomplikowanego, ale jest skomplikowane.
Mam nadzieję że słuchając przekonasz się
że równania kwadratowe wcale nie są takie skomplikowane.
W kolejnym wideo pokaże Ci
jak to wszystko można obliczyć.
Wiemy już jak rozłożyć na czynniki
wielomian drugiego stopnia.
Nauczyłeś się już, że jeśli mamy, na przykład, x kwadrat minus
x minus 6 równa się zero.
Jeśli mamy takie równanie, x kwadrat minus x minus 6 równa się
zero, można je rozłożyć na dwa czynniki x minus 3 i
x plus 2 równa się 0.
Co oznacza że albo x minus 3 równa się zero, albo
x plus 2 równa się zero.
x minus 3 równa się 0 albo x plus 2 równa się 0.
Czyli x równa się 3 albo minus 2.
Jeśli chciałbym to narysować, jeśli mamy
funkcję f od x, która równa się x kwadrat minus x minus 6.
To jest oś f(x)
Może bardziej przypomina Ci to oś y, ale dla
naszych celów to wszystko jedno.
A to jest oś x.
Teraz, wykres funkcji f(x) = x kwadrat minus x,
minus 6 będzie wyglądał mniej więcej tak.
Ten punkt to f(x) równa się minus 6.
A wykres wygląda mniej więcej tak.
To będzie dalej szło do góry.
Wykres przechodzi przez minus 6, dlatego że jeśli x równa się zero,
f(x) równa się minus 6.
Stąd wiem, że wykres funkcji f(x) musi przechodzić przez ten punkt.
I wiem także że jeśli f(x) równa się zero, to znaczy f(x) jest równe
0 na osi x, tak?
Ponieważ tu jest 1.
Tu jest zero.
Tu jest minus 1.
A f(x) równa się zeru wzdłuż
osi x, prawda?
I wiemy, że f(x) równa się 0 w punktach x równa sie 3 oraz
x równa się minus 2.
To jest rozwiązanie, jakie otrzymaliśmy.
Prawdopodobnie, kiedy rozkładaliśmy to wyrażenie na czynniki,
nie bardzo wyobrażaliśmy sobie co właściwie robimy.
Kiedy powiedzieliśmy, że f(x) równa się tej funkcji
i przyrównaliśmy ją do 0.
Postawiliśmy pytanie, dla jakich wartości x
ta funkcja równa się 0?
Kiedy f(x) równa się 0?
No cóż, równa się zeru w tych dwóch punktach, tak?
W tych właśnie punktach f(x) równa się 0.
A rozkładając f(x) na czynniki
mogliśmy wyznaczyć wartości x, dla których f(x)
będzie równe 0, dokładnie w tych dwóch punktach.
Teraz trochę matematycznej terminologii, te punkty nazywają się
miejscami zerowymi albo pierwiastkami f(x).
Powtórzmy to jeszcze raz.
Jeśli mamy równanie f(x) równa się x kwadrat dodać
4x dodać 4 i problem polega na tym, żeby znaleźć miejsca zerowe, albo
pierwiastki f(x).
Oznacza to dokładnie to samo, gdybyśmy zapytali dla jakich x wykres funkcji f(x)
przecina oś x?
Wykres f(x) przecina oś x w punktach, w których f(x)
równa się 0, nieprawdaż?
Spójrzmy na ten wykres.
Jeśli f(x) ma być równe zero, to to znaczy że
0 równa się x kwadrat plus 4 x plus 4.
A to możemy rozłożyć na czynniki, to będzie
x plus 2 razy x plus 2.
A to równa się zero jeśli x równa się minus 2.
x równa się minus 2.
Po prostu, x równa się minus 2.
Umiemy znaleźć miejsca zerowe, pod warunkiem że
łatwo jest rozłożyć wielomian na czynniki.
Spróbujmy teraz rozwiązać równanie w przypadku
kiedy nie jest wcale łatwo rozłożyć wielomian na czynniki.
Niech f(x) równa się minus 10 x kwadrat
minus 9 x plus .
Nawet jeśli podzielimy to przez 10,
dostaniemy tutaj ułamki.
Więc dość trudno się domyśleć jak rozłożyć na czynniki to kwadratowe wyrażenie.
Coś takiego nazywa się "równanie kwadratowe",
albo "wielomian drugiego stopnia", albo "trójmian kwadratowy".
I teraz chcemy rozwiązać to równanie.
Czyli znaleźć, kiedy równa się 0.
Minus 10 x kwadrat mius 9 x plus 1.
Chcemy znaleźć takie wartości x, dla których
to wyrażenie równa się zeru.
Do tego można użyć gotowego narzędzia, które nazywa się wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego.
To jest jeden z niewielu wzorów w matematyce
których warto nauczyć się na pamięć.
Wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego mówi,
że równają się one - powiedzmy, że równanie zapiszemy ogólnie jako
A razy x kwadrat plus B razy x pluc C równa się 0.
W naszym przykładzie, A równa się minus 10.
B równa się minus 9, a C równa się 1.
Wzór na pierwiastki wygląda tak: x równa się minus B plus lub minus
pierwiastek kwadratowy z B kwadrat minus 4 razy A razy C,
i to wszystko trzeba podzielić jeszcze przez 2 A.
To wygląda skomplikowanie, ale jeśli trochę poćwiczycie, przekonacie się że
nie jest tak źle.
Więc warto te wzory zapamiętać.
To teraz zastosujmy je do naszego przykładu
tutaj na tablicy.
Tak jak powiedziałem, A jest współczynnikiem
przy x kwadrat, tak?
A jest współczynnikiem przy wyrazie kwadratowym.
B jest współczynnikiem przy x, przy wyrazie liniowym, a C jest wyrazem stałym.
Zastosujmy to do naszego równania.
Ile wynosi B?
B równa się minus 9.
Widać to stąd.
B równa się minus 9, a równa się minus 10.
C równa się 1.
Prawda?
Jeśli B równa się minus 9, mamy minus (minus 9).
Plus albo minus pierwiastek kwadratowy z minus 9 do kwadratu.
To będzie 81.
Minus 4 razy A.
A równa się minus 10.
Czyli minus 10 razy C, ktore jest równe 1.
Wygląda to trochę skomplikowanie, ale mam nadzieje
że zrozumieliście o co chodzi.
I to wszystko jeszcze trzeba podzielić przez 2 A.
A równa się minus 10, a 2 razy A równa się minus 20.
Teraz uprościmy to trochę.
Minus razy minus 9 to będzie plus 9.
Plus lub minus pierwiastek kwadratowy z 81.
Minus 4 razy minus 10.
Tu jest minus 10.
Przepraszam za ten bałagan...
i jeszcze razy 1.
Razem may minus 4 razy minus 10, czyli 40, plus 40.
Plus 40.
I to wszystko podzielić przez minus 20.
No tak, 81 dodać 20 równa się 121.
Czyli tutaj mamy 9 plus lub minus pierwiastek kwadratowy
z 121, podzielić przez minus 20.
Pierwiastek kwadratowy z 121 równa się 11.
Zapiszmy to tutaj.
Mam nadzieję, że się nie zgubiliście.
Teraz mamy 9 plus lub minus 11, i wszystko podzielić przez 20.
Weźmy 9 plus 11 podzielić przez minus 20,
9 plus 11 równa się 20, 20 podzielić przez minus 20.
Równa się minus 1.
To jest jeden z pierwiastków.
Ten z plusem, ponieważ tutaj mamy plus lub minus.
A drugi pierwiastek równa się 9 minus 11, podzielić przez minus 20.
A to się równa minus 2 podzielić przez minus 20.
Czyli 1/10.
To jest drugi pierwiastek.
Gdybyśmy chcieli to narysować, to wykres funkcji f(x)
przecina oś x.
W punktach, w których f(x) równa się 0, czyli tam, gdzie x równa się
minus 1 lub x równa się 1/10.
W kolejnej części zrobimy więcej przykładów.
Boję się że póki co, możecie być trochę skonfundowani
tym przykładem :).
Do zobaczenia więc w kolejnym wideo
o równaniu kwadratowym!