1
00:00:01,010 --> 00:00:04,520
Porozmawiajmy o równaniach kwadratowych.

2
00:00:04,520 --> 00:00:06,730
Równanie kwadratowe, brzmi jak coś

3
00:00:06,730 --> 00:00:07,810
bardzo skomplikowanego.

4
00:00:07,810 --> 00:00:09,930
I kiedy pierwszy raz zobaczysz równanie kwadratowej,

5
00:00:09,930 --> 00:00:11,590
powiesz, no tak, to nie tylko brzmi jak coś

6
00:00:11,590 --> 00:00:13,110
skomplikowanego, ale jest skomplikowane.

7
00:00:13,110 --> 00:00:14,930
Mam nadzieję że słuchając przekonasz się

8
00:00:14,930 --> 00:00:16,580
że równania kwadratowe wcale nie są takie skomplikowane.

9
00:00:16,580 --> 00:00:19,040
W kolejnym wideo pokaże Ci

10
00:00:19,040 --> 00:00:21,300
jak to wszystko można obliczyć.

11
00:00:21,300 --> 00:00:24,810
Wiemy już jak rozłożyć na czynniki

12
00:00:24,810 --> 00:00:25,810
wielomian drugiego stopnia.

13
00:00:25,810 --> 00:00:30,910
Nauczyłeś się już, że jeśli mamy, na przykład, x kwadrat minus

14
00:00:30,910 --> 00:00:40,340
x minus 6 równa się zero.

15
00:00:40,340 --> 00:00:42,970
Jeśli mamy takie równanie, x kwadrat minus x minus 6 równa się

16
00:00:42,970 --> 00:00:48,720
zero, można je rozłożyć na dwa czynniki x minus 3 i

17
00:00:48,720 --> 00:00:52,210
x plus 2 równa się 0.

18
00:00:52,210 --> 00:00:54,955
Co oznacza że albo x minus 3 równa się zero, albo

19
00:00:54,955 --> 00:00:57,073
x plus 2 równa się zero.

20
00:00:57,073 --> 00:01:03,512
x minus 3 równa się 0 albo x plus 2 równa się 0.

21
00:01:03,512 --> 00:01:08,500
Czyli x równa się 3 albo minus 2.

22
00:01:08,500 --> 00:01:17,980
Jeśli chciałbym to narysować, jeśli mamy

23
00:01:17,980 --> 00:01:26,150
funkcję f od x, która równa się x kwadrat minus x minus 6.

24
00:01:26,150 --> 00:01:28,760
To jest oś f(x)

25
00:01:28,760 --> 00:01:32,670
Może bardziej przypomina Ci to oś y, ale dla

26
00:01:32,670 --> 00:01:34,780
naszych celów to wszystko jedno.

27
00:01:34,780 --> 00:01:36,270
A to jest oś x.

28
00:01:36,270 --> 00:01:40,430
Teraz, wykres funkcji f(x) = x kwadrat minus x,

29
00:01:40,430 --> 00:01:42,380
minus 6 będzie wyglądał mniej więcej tak.

30
00:01:42,380 --> 00:01:50,130
Ten punkt to f(x) równa się minus 6.

31
00:01:50,130 --> 00:01:52,900
A wykres wygląda mniej więcej tak.

32
00:01:52,900 --> 00:01:57,150
To będzie dalej szło do góry.

33
00:02:00,030 --> 00:02:03,150
Wykres przechodzi przez minus 6, dlatego że jeśli x równa się zero,

34
00:02:03,150 --> 00:02:05,110
f(x) równa się minus 6.

35
00:02:05,110 --> 00:02:07,800
Stąd wiem, że wykres funkcji f(x) musi przechodzić przez ten punkt.

36
00:02:07,800 --> 00:02:11,520
I wiem także że jeśli f(x) równa się zero, to znaczy f(x) jest równe

37
00:02:11,520 --> 00:02:14,960
0 na osi x, tak?

38
00:02:14,960 --> 00:02:16,600
Ponieważ tu jest 1.

39
00:02:16,600 --> 00:02:17,870
Tu jest zero.

40
00:02:17,870 --> 00:02:19,160
Tu jest minus 1.

41
00:02:19,160 --> 00:02:21,510
A f(x) równa się zeru wzdłuż

42
00:02:21,510 --> 00:02:23,420
osi x, prawda?

43
00:02:23,420 --> 00:02:29,210
I wiemy, że f(x) równa się 0 w punktach x równa sie 3 oraz

44
00:02:29,210 --> 00:02:32,330
x równa się minus 2.

45
00:02:32,330 --> 00:02:34,360
To jest rozwiązanie, jakie otrzymaliśmy.

46
00:02:34,360 --> 00:02:36,440
Prawdopodobnie, kiedy rozkładaliśmy to wyrażenie na czynniki,

47
00:02:36,440 --> 00:02:38,940
nie bardzo wyobrażaliśmy sobie co właściwie robimy.

48
00:02:38,940 --> 00:02:42,070
Kiedy powiedzieliśmy, że f(x) równa się tej funkcji

49
00:02:42,070 --> 00:02:43,270
i przyrównaliśmy ją do 0.

50
00:02:43,270 --> 00:02:44,820
Postawiliśmy pytanie, dla jakich wartości x

51
00:02:44,820 --> 00:02:48,220
ta funkcja równa się 0?

52
00:02:48,220 --> 00:02:49,390
Kiedy f(x) równa się 0?

53
00:02:49,390 --> 00:02:51,720
No cóż, równa się zeru w tych dwóch punktach, tak?

54
00:02:51,720 --> 00:02:55,360
W tych właśnie punktach f(x) równa się 0.

55
00:02:55,360 --> 00:02:57,490
A rozkładając f(x) na czynniki

56
00:02:57,490 --> 00:03:01,970
mogliśmy wyznaczyć wartości x, dla których f(x)

57
00:03:01,970 --> 00:03:04,160
będzie równe 0, dokładnie w tych dwóch punktach.

58
00:03:04,160 --> 00:03:06,740
Teraz trochę matematycznej terminologii, te punkty nazywają się

59
00:03:06,740 --> 00:03:09,860
miejscami zerowymi albo pierwiastkami f(x).

60
00:03:09,860 --> 00:03:12,470
Powtórzmy to jeszcze raz.

61
00:03:14,810 --> 00:03:23,700
Jeśli mamy równanie f(x) równa się x kwadrat dodać

62
00:03:23,700 --> 00:03:29,550
4x dodać 4 i problem polega na tym, żeby znaleźć miejsca zerowe, albo

63
00:03:29,550 --> 00:03:31,770
pierwiastki f(x).

64
00:03:31,770 --> 00:03:33,970
Oznacza to dokładnie to samo, gdybyśmy zapytali dla jakich x wykres funkcji f(x)

65
00:03:33,970 --> 00:03:36,300
przecina oś x?

66
00:03:36,300 --> 00:03:38,210
Wykres f(x) przecina oś x w punktach, w których f(x)

67
00:03:38,210 --> 00:03:39,440
równa się 0, nieprawdaż?

68
00:03:39,440 --> 00:03:42,120
Spójrzmy na ten wykres.

69
00:03:42,120 --> 00:03:45,720
Jeśli f(x) ma być równe zero, to to znaczy że

70
00:03:45,720 --> 00:03:51,860
0 równa się x kwadrat plus 4 x plus 4.

71
00:03:51,860 --> 00:03:53,940
A to możemy rozłożyć na czynniki, to będzie

72
00:03:53,940 --> 00:03:57,080
x plus 2 razy x plus 2.

73
00:03:57,080 --> 00:04:07,090
A to równa się zero jeśli x równa się minus 2.

74
00:04:07,090 --> 00:04:10,170
x równa się minus 2.

75
00:04:13,940 --> 00:04:18,270
Po prostu, x równa się minus 2.

76
00:04:18,270 --> 00:04:22,380
Umiemy znaleźć miejsca zerowe, pod warunkiem że

77
00:04:22,380 --> 00:04:24,560
łatwo jest rozłożyć wielomian na czynniki.

78
00:04:24,560 --> 00:04:27,500
Spróbujmy teraz rozwiązać równanie w przypadku

79
00:04:27,500 --> 00:04:28,850
kiedy nie jest wcale łatwo rozłożyć wielomian na czynniki.

80
00:04:28,850 --> 00:04:32,120
Niech f(x) równa się minus 10 x kwadrat

81
00:04:39,750 --> 00:04:45,380
minus 9 x plus .

82
00:04:45,380 --> 00:04:47,580
Nawet jeśli podzielimy to przez 10,

83
00:04:47,580 --> 00:04:48,650
dostaniemy tutaj ułamki.

84
00:04:48,650 --> 00:04:53,130
Więc dość trudno się domyśleć jak rozłożyć na czynniki to kwadratowe wyrażenie.

85
00:04:53,130 --> 00:04:54,860
Coś takiego nazywa się "równanie kwadratowe",

86
00:04:54,860 --> 00:04:57,580
albo "wielomian drugiego stopnia", albo "trójmian kwadratowy".

87
00:04:57,580 --> 00:04:59,600
I teraz chcemy rozwiązać to równanie.

88
00:04:59,600 --> 00:05:02,420
Czyli znaleźć, kiedy równa się 0.

89
00:05:02,420 --> 00:05:07,130
Minus 10 x kwadrat mius 9 x plus 1.

90
00:05:07,130 --> 00:05:09,090
Chcemy znaleźć takie wartości x, dla których

91
00:05:09,090 --> 00:05:11,260
to wyrażenie równa się zeru.

92
00:05:11,260 --> 00:05:13,730
Do tego można użyć gotowego narzędzia, które nazywa się wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego.

93
00:05:13,730 --> 00:05:15,625
To jest jeden z niewielu wzorów w matematyce

94
00:05:15,625 --> 00:05:18,030
których warto nauczyć się na pamięć.

95
00:05:18,030 --> 00:05:21,330
Wzór na pierwiastki trójmianu kwadratowego mówi,

96
00:05:21,330 --> 00:05:24,810
że równają się one - powiedzmy, że równanie zapiszemy ogólnie jako

97
00:05:24,810 --> 00:05:31,900
A razy x kwadrat plus B razy x pluc C równa się 0.

98
00:05:31,900 --> 00:05:35,790
W naszym przykładzie, A równa się minus 10.

99
00:05:35,790 --> 00:05:39,940
B równa się minus 9, a C równa się 1.

100
00:05:39,940 --> 00:05:48,040
Wzór na pierwiastki wygląda tak: x równa się minus B plus lub minus

101
00:05:48,040 --> 00:05:58,060
pierwiastek kwadratowy z B kwadrat minus 4 razy A razy C,

102
00:05:58,060 --> 00:06:00,230
i to wszystko trzeba podzielić jeszcze przez 2 A.

103
00:06:00,230 --> 00:06:02,843
To wygląda skomplikowanie, ale jeśli trochę poćwiczycie, przekonacie się że

104
00:06:02,843 --> 00:06:04,400
nie jest tak źle.

105
00:06:04,400 --> 00:06:07,720
Więc warto te wzory zapamiętać.

106
00:06:07,720 --> 00:06:10,730
To teraz zastosujmy je do naszego przykładu

107
00:06:10,730 --> 00:06:12,670
tutaj na tablicy.

108
00:06:12,670 --> 00:06:15,260
Tak jak powiedziałem, A jest współczynnikiem

109
00:06:15,260 --> 00:06:18,610
przy x kwadrat, tak?

110
00:06:18,610 --> 00:06:20,300
A jest współczynnikiem przy wyrazie kwadratowym.

111
00:06:20,300 --> 00:06:23,570
B jest współczynnikiem przy x, przy wyrazie liniowym, a C jest wyrazem stałym.

112
00:06:23,570 --> 00:06:25,100
Zastosujmy to do naszego równania.

113
00:06:25,100 --> 00:06:26,250
Ile wynosi B?

114
00:06:26,250 --> 00:06:28,700
B równa się minus 9.

115
00:06:28,700 --> 00:06:29,970
Widać to stąd.

116
00:06:29,970 --> 00:06:33,980
B równa się minus 9, a równa się minus 10.

117
00:06:33,980 --> 00:06:34,970
C równa się 1.

118
00:06:34,970 --> 00:06:36,090
Prawda?

119
00:06:36,090 --> 00:06:42,350
Jeśli B równa się minus 9, mamy minus (minus 9).

120
00:06:42,350 --> 00:06:49,260
Plus albo minus pierwiastek kwadratowy z minus 9 do kwadratu.

121
00:06:49,260 --> 00:06:49,810
To będzie 81.

122
00:06:49,810 --> 00:06:53,140
Minus 4 razy A.

123
00:06:56,940 --> 00:06:59,760
A równa się minus 10.

124
00:06:59,760 --> 00:07:03,240
Czyli minus 10 razy C, ktore jest równe 1.

125
00:07:03,240 --> 00:07:05,110
Wygląda to trochę skomplikowanie, ale mam nadzieje

126
00:07:05,110 --> 00:07:06,470
że zrozumieliście o co chodzi.

127
00:07:06,470 --> 00:07:09,560
I to wszystko jeszcze trzeba podzielić przez 2 A.

128
00:07:09,560 --> 00:07:14,050
A równa się minus 10, a 2 razy A równa się minus 20.

129
00:07:14,050 --> 00:07:14,990
Teraz uprościmy to trochę.

130
00:07:14,990 --> 00:07:19,410
Minus razy minus 9 to będzie plus 9.

131
00:07:19,410 --> 00:07:26,460
Plus lub minus pierwiastek kwadratowy z 81.

132
00:07:26,460 --> 00:07:30,660
Minus 4 razy minus 10.

133
00:07:30,660 --> 00:07:31,870
Tu jest minus 10.

134
00:07:31,870 --> 00:07:33,280
Przepraszam za ten bałagan...

135
00:07:33,280 --> 00:07:34,380
i jeszcze razy 1.

136
00:07:34,380 --> 00:07:39,410
Razem may minus 4 razy minus 10, czyli 40, plus 40.

137
00:07:39,410 --> 00:07:41,040
Plus 40.

138
00:07:41,040 --> 00:07:46,070
I to wszystko podzielić przez minus 20.

139
00:07:46,070 --> 00:07:48,300
No tak, 81 dodać 20 równa się 121.

140
00:07:48,300 --> 00:07:52,330
Czyli tutaj mamy 9 plus lub minus pierwiastek kwadratowy

141
00:07:52,330 --> 00:07:58,290
z 121, podzielić przez minus 20.

142
00:07:58,290 --> 00:08:01,620
Pierwiastek kwadratowy z 121 równa się 11.

143
00:08:01,620 --> 00:08:03,170
Zapiszmy to tutaj.

144
00:08:03,170 --> 00:08:06,184
Mam nadzieję, że się nie zgubiliście.

145
00:08:06,184 --> 00:08:13,720
Teraz mamy 9 plus lub minus 11, i wszystko podzielić przez 20.

146
00:08:13,720 --> 00:08:19,090
Weźmy 9 plus 11 podzielić przez minus 20,

147
00:08:19,090 --> 00:08:22,540
9 plus 11 równa się 20, 20 podzielić przez minus 20.

148
00:08:22,540 --> 00:08:23,730
Równa się minus 1.

149
00:08:23,730 --> 00:08:24,900
To jest jeden z pierwiastków.

150
00:08:24,900 --> 00:08:28,260
Ten z plusem, ponieważ tutaj mamy plus lub minus.

151
00:08:28,260 --> 00:08:33,790
A drugi pierwiastek równa się 9 minus 11, podzielić przez minus 20.

152
00:08:33,790 --> 00:08:37,720
A to się równa minus 2 podzielić przez minus 20.

153
00:08:37,720 --> 00:08:40,700
Czyli 1/10.

154
00:08:40,700 --> 00:08:42,690
To jest drugi pierwiastek.

155
00:08:42,690 --> 00:08:48,950
Gdybyśmy chcieli to narysować, to wykres funkcji f(x)

156
00:08:48,950 --> 00:08:52,640
przecina oś x.

157
00:08:52,640 --> 00:08:57,770
W punktach, w których f(x) równa się 0, czyli tam, gdzie x równa się

158
00:08:57,770 --> 00:09:01,690
minus 1 lub x równa się 1/10.

159
00:09:01,690 --> 00:09:04,080
W kolejnej części zrobimy więcej przykładów.

160
00:09:04,080 --> 00:09:06,100
Boję się że póki co, możecie być trochę skonfundowani

161
00:09:06,100 --> 00:09:08,120
tym przykładem :).

162
00:09:08,120 --> 00:09:11,680
Do zobaczenia więc w kolejnym wideo

163
00:09:11,680 --> 00:09:12,150
o równaniu kwadratowym!