Velkommen til presentasjonen av hvordan man bruker kvadratformelen.
Kvadratformelen høres egentlig veldig komplisert ut.
Og når du får se formelen vil du også kanskje si at ikke bare ser den komplisert ut,
men den er også det.
Men forhåpentligvis vil du oppleve i løpet av denne filmen
at formelen egentlig ikke er vanskelig å bruke.
I en annen film skal jeg vise deg hvordan
man kommer fram til formelen.
Du har allerede lært å faktorisere en andregradslikning.
Du har lært at, la oss si, du har x i andre minus x
minus 6, er lik 0.
Hvis vi hadde denne likningen. x i andre minus x minus 6 er lik
null, kan du faktorisere den og få x minus 3 og
x pluss 2 er lik 0.
Det betyr enten at x minus 3 er lik 0
eller x pluss 2 er lik 0.
x minus 3 er lik 0 eller x pluss 2 er lik 0.
Svaret er at x er lik 3 eller minus 2.
En grafisk fremstililng av dette ville være, hvis vi har
Hvis vi har funksjonen f(x) er lik x i andre minus x minus 6.
Denne aksen er f(x)-aksen.
Du er kanskje mer vant med å kalle den y-aksen.
Det betyr i grunn ingenting her.
Og dette er x-aksen.
Hvis vi skulle tegne denne likningen, x i andre minus x
minus 6, ville den se slik ut.
Litt som -- dette er f(x) er lik minus 6.
Grafen vil omtrent se slik ut.
Og nå går den gjennom -6 fordi når x er lik 0,
er f(x) lik -6.
Så da går den gjennom dette punktet.
Og jeg vet at når f(x) er lik 0... f(x) er lik
null langs x-aksen.
Fordi dette er 1.
Dette er 0.
Dette er minus 1.
Dette er hvor f(x) er lik null, langs
x-aksen, ikke sant.
Og vi vet at f(x) er lik 0 når x er lik 3
og når x er lik -2.
Det er det vi løste her.
Da vi løste faktoriseringsoppgaver tidligere, skjønte vi
kanskje ikke grafisk hva vi gjorde.
Men hvis vi sa at f(x) er lik denne funksjonen,
setter vi den egentlig lik 0.
Vi spør altså når er denne funksjonen lik 0?
Den er lik 0 i disse punktene, ikke sant?
Fordi dette er hvor f(x) er lik 0.
Da vi løste denne ved å
faktorisere, fant vi x-verdiene som ga f(x) lik 0,
som er disse x-verdiene.
Disse punktene kalles også nullpunktene, eller røttene, til f(x).
Hvis vi har f(x) lik x i andre
pluss 4x pluss 4, og jeg spurte om nullpunktene eller
røttene til f(x).
Det er det samme som å spørre, hvor
krysser f(x) x-aksen?
Og den krysser x-aksen når f(x)
er lik 0, ikke sant?
La oss se på grafen jeg nettopp tegnet.
Hvis f(x) er lik 0, kunne vi
bare si, 0 er lik x i andre pluss 4x pluss 4.
Vi kunne bare faktorisere det, det er x pluss 2 ganger x pluss 2.
Og vi vet den er lik null ved x lik -2.
Nå vet vi hvordan vi finner nullpunktene når
likningen er lett å faktorisere.
Men la oss se på en oppgave hvor likningen
ikke er så lett å faktorisere.
La oss si vi har f(x) er lik minus 10 x i andre minus 9x pluss 1.
Vi ser at ved å dele på 10 vil vi få noen brøker her.
Det er ikke lett å faktorisere denne likningen rett fram.
Og det er det som kalles en kvadratisk likning, eller et andregradspolynom.
Vi skal prøve å løse denne
fordi vi vil finne når den er lik 0.
Minus 10x i andre minus 9x pluss 1.
Vi vil finne hvilke x-verdier som gjør at denne er lik null.
Her kan vi bruke kvadratformelen (abc-formelen).
Nå skal du se noe som er greit å kunne utenat.
Kvadratlikningen sier at røttene til et kvadrat
er lik -- og la oss si at andregradslikningen er
a x i andre pluss b x pluss c er lik 0.
Her er a lik minus 10
b er -9 og c er 1.
Formelen sier at x er lik minus b pluss minus
kvadratroten av b i andre minus 4 ganger a ganger c.
Delt på 2a.
Det ser komplisert ut, men blir enklere jo mer du bruker den.
Dette er lurt å kunne utenat.
La oss bruke formelen på likningen
vi nettopp skrev.
A er bare koeffisienten til
andregradsleddet.
A er koeffisienten til andregradsleddet.
b er koeffisienten til førstegradsleddet og c er en konstant.
La oss bruke dette på likningen.
Hva er b? b er minus 9
b er minus 9, a er minus 10
c er 1.
Hvis b er minus 9
Pluss minus roten av minus 9 i andre. Det er 81.
Minus 4 ganger a
a er -10
-10 ganger c som er 1.
Det er rotete, men du vil forhåpentligvis
forstå det.
Alt det over 2 ganger a.
a er -10, så 2 ganger a er -20.
Minus minus 9 er 9
Pluss minus kvadratroten av 81.
Vi har minus 4 ganger minus 10
Dette er a minus 10 ganger 1.
Så minus 4 ganger minus 10 er 40
Så har vi alt det over minus 20.
81 pluss 40 er 121.
Så dette er 9 pluss minus kvadratroten
av 121 over minus 20
Kvadratroten av 121 er 11.
Du mister ikke tråden nå?
Dette er 9 pluss minus 11, over minus 20
Hvis vi sier 9 pluss 11 over minus 20, så har vi
9 pluss 11 er 20, så dette er 20 over minus 20.
Det er lik minus 1.
Det er en av røttene.
Dette er 9 pluss -- fordi dette er pluss ELLER minus
Den andre roten vil være 9 minus 11 over minus 20.
Det er lik minus 2 over minus 20.
Som er lik 1 over 10.
Det er den andre roten.
Hvis vi skulle tegne grafen til denne funksjonen,
ville vi se at den krysser x-aksen.
Eller f(x) er lik null hvor x er lik minus 1
og x er lik 1/10.
Jeg skal ta flere eksempler i del 2 fordi jeg
tror jeg har forvirret deg med denne.
Vi ses i del 2 hvor vi bruker kvadratformelen.