0:00:01.010,0:00:04.520
Velkommen til presentasjonen av hvordan man bruker kvadratformelen.

0:00:05.335,0:00:07.853
Kvadratformelen høres egentlig veldig komplisert ut.

0:00:07.853,0:00:12.622
Og når du får se formelen vil du også kanskje si at ikke bare ser den komplisert ut,

0:00:12.622,0:00:13.968
men den er også det.

0:00:13.968,0:00:14.930
Men forhåpentligvis vil du oppleve i løpet av denne filmen

0:00:14.930,0:00:17.365
at formelen egentlig ikke er vanskelig å bruke.

0:00:17.365,0:00:19.763
I en annen film skal jeg vise deg hvordan

0:00:19.763,0:00:21.300
man kommer fram til formelen.

0:00:21.300,0:00:26.348
Du har allerede lært å faktorisere en andregradslikning.

0:00:26.579,0:00:30.910
Du har lært at, la oss si, du har x i andre minus x

0:00:30.910,0:00:41.186
minus 6, er lik 0.

0:00:41.248,0:00:42.970
Hvis vi hadde denne likningen. x i andre minus x minus 6 er lik

0:00:42.970,0:00:48.720
null, kan du faktorisere den og få x minus 3 og

0:00:48.720,0:00:52.210
x pluss 2 er lik 0.

0:00:52.210,0:00:54.955
Det betyr enten at x minus 3 er lik 0

0:00:54.955,0:00:57.073
eller x pluss 2 er lik 0.

0:00:57.073,0:01:04.466
x minus 3 er lik 0 eller x pluss 2 er lik 0.

0:01:04.574,0:01:09.438
Svaret er at x er lik 3 eller minus 2.

0:01:10.054,0:01:17.980
En grafisk fremstililng av dette ville være, hvis vi har

0:01:17.980,0:01:26.150
Hvis vi har funksjonen f(x) er lik x i andre minus x minus 6.

0:01:26.150,0:01:28.760
Denne aksen er f(x)-aksen.

0:01:28.760,0:01:32.670
Du er kanskje mer vant med å kalle den y-aksen.

0:01:32.670,0:01:34.780
Det betyr i grunn ingenting her.

0:01:34.780,0:01:36.270
Og dette er x-aksen.

0:01:36.270,0:01:40.430
Hvis vi skulle tegne denne likningen, x i andre minus x

0:01:40.430,0:01:42.380
minus 6, ville den se slik ut.

0:01:42.380,0:01:50.130
Litt som -- dette er f(x) er lik minus 6.

0:01:50.130,0:01:54.869
Grafen vil omtrent se slik ut.

0:02:00.030,0:02:03.150
Og nå går den gjennom -6 fordi når x er lik 0,

0:02:03.150,0:02:05.110
er f(x) lik -6.

0:02:05.110,0:02:07.800
Så da går den gjennom dette punktet.

0:02:07.800,0:02:11.520
Og jeg vet at når f(x) er lik 0... f(x) er lik

0:02:11.520,0:02:14.960
null langs x-aksen.

0:02:14.960,0:02:16.600
Fordi dette er 1.

0:02:16.600,0:02:17.870
Dette er 0.

0:02:17.870,0:02:19.160
Dette er minus 1.

0:02:19.160,0:02:21.510
Dette er hvor f(x) er lik null, langs

0:02:21.510,0:02:23.420
x-aksen, ikke sant.

0:02:23.420,0:02:29.210
Og vi vet at f(x) er lik 0 når x er lik 3

0:02:29.210,0:02:32.330
og når x er lik -2.

0:02:32.330,0:02:34.360
Det er det vi løste her.

0:02:34.360,0:02:36.440
Da vi løste faktoriseringsoppgaver tidligere, skjønte vi

0:02:36.440,0:02:38.940
kanskje ikke grafisk hva vi gjorde.

0:02:38.940,0:02:42.070
Men hvis vi sa at f(x) er lik denne funksjonen,

0:02:42.070,0:02:43.270
setter vi den egentlig lik 0.

0:02:43.270,0:02:49.020
Vi spør altså når er denne funksjonen lik 0?

0:02:49.390,0:02:51.720
Den er lik 0 i disse punktene, ikke sant?

0:02:51.720,0:02:55.360
Fordi dette er hvor f(x) er lik 0.

0:02:55.360,0:02:57.490
Da vi løste denne ved å

0:02:57.490,0:03:02.924
faktorisere, fant vi x-verdiene som ga f(x) lik 0,

0:03:02.924,0:03:05.345
som er disse x-verdiene.

0:03:05.422,0:03:11.278
Disse punktene kalles også nullpunktene, eller røttene, til f(x).

0:03:15.056,0:03:23.700
Hvis vi har f(x) lik x i andre

0:03:23.700,0:03:29.550
pluss 4x pluss 4, og jeg spurte om nullpunktene eller

0:03:29.550,0:03:31.770
røttene til f(x).

0:03:31.770,0:03:33.970
Det er det samme som å spørre, hvor

0:03:33.970,0:03:36.300
krysser f(x) x-aksen?

0:03:36.300,0:03:38.210
Og den krysser x-aksen når f(x)

0:03:38.210,0:03:39.440
er lik 0, ikke sant?

0:03:39.440,0:03:42.120
La oss se på grafen jeg nettopp tegnet.

0:03:42.120,0:03:45.720
Hvis f(x) er lik 0, kunne vi

0:03:45.720,0:03:51.860
bare si, 0 er lik x i andre pluss 4x pluss 4.

0:03:51.860,0:03:58.202
Vi kunne bare faktorisere det, det er x pluss 2 ganger x pluss 2.

0:03:58.202,0:04:07.090
Og vi vet den er lik null ved x lik -2.

0:04:18.270,0:04:22.380
Nå vet vi hvordan vi finner nullpunktene når

0:04:22.380,0:04:24.560
likningen er lett å faktorisere.

0:04:24.560,0:04:27.500
Men la oss se på en oppgave hvor likningen

0:04:27.500,0:04:30.281
ikke er så lett å faktorisere.

0:04:32.681,0:04:45.197
La oss si vi har f(x) er lik minus 10 x i andre minus 9x pluss 1.

0:04:47.026,0:04:50.011
Vi ser at ved å dele på 10 vil vi få noen brøker her.

0:04:50.011,0:04:53.130
Det er ikke lett å faktorisere denne likningen rett fram.

0:04:53.130,0:04:57.537
Og det er det som kalles en kvadratisk likning, eller et andregradspolynom.

0:04:58.703,0:05:00.954
Vi skal prøve å løse denne

0:05:00.954,0:05:02.420
fordi vi vil finne når den er lik 0.

0:05:02.420,0:05:07.130
Minus 10x i andre minus 9x pluss 1.

0:05:07.130,0:05:10.967
Vi vil finne hvilke x-verdier som gjør at denne er lik null.

0:05:12.337,0:05:14.638
Her kan vi bruke kvadratformelen (abc-formelen).

0:05:14.776,0:05:17.563
Nå skal du se noe som er greit å kunne utenat.

0:05:19.215,0:05:21.330
Kvadratlikningen sier at røttene til et kvadrat

0:05:21.330,0:05:24.810
er lik -- og la oss si at andregradslikningen er

0:05:24.810,0:05:31.900
a x i andre pluss b x pluss c er lik 0.

0:05:31.900,0:05:35.790
Her er a lik minus 10

0:05:35.790,0:05:39.940
b er -9 og c er 1.

0:05:39.940,0:05:48.040
Formelen sier at x er lik minus b pluss minus

0:05:48.040,0:05:58.060
kvadratroten av b i andre minus 4 ganger a ganger c.

0:05:58.060,0:06:00.230
Delt på 2a.

0:06:00.230,0:06:02.843
Det ser komplisert ut, men blir enklere jo mer du bruker den.

0:06:04.400,0:06:07.720
Dette er lurt å kunne utenat.

0:06:07.720,0:06:10.730
La oss bruke formelen på likningen

0:06:10.730,0:06:12.670
vi nettopp skrev.

0:06:12.670,0:06:15.260
A er bare koeffisienten til

0:06:15.260,0:06:18.610
andregradsleddet.

0:06:18.610,0:06:20.300
A er koeffisienten til andregradsleddet.

0:06:20.300,0:06:23.570
b er koeffisienten til førstegradsleddet og c er en konstant.

0:06:23.570,0:06:25.100
La oss bruke dette på likningen.

0:06:25.100,0:06:28.988
Hva er b? b er minus 9

0:06:29.970,0:06:33.980
b er minus 9, a er minus 10

0:06:33.980,0:06:34.970
c er 1.

0:06:36.090,0:06:42.350
Hvis b er minus 9

0:06:42.350,0:06:51.214
Pluss minus roten av minus 9 i andre. Det er 81.

0:06:53.302,0:06:57.371
Minus 4 ganger a

0:06:57.678,0:06:59.760
a er -10

0:06:59.760,0:07:03.240
-10 ganger c som er 1.

0:07:03.240,0:07:05.110
Det er rotete, men du vil forhåpentligvis

0:07:05.110,0:07:06.470
forstå det.

0:07:06.470,0:07:09.560
Alt det over 2 ganger a.

0:07:09.560,0:07:14.050
a er -10, så 2 ganger a er -20.

0:07:14.990,0:07:19.410
Minus minus 9 er 9

0:07:19.410,0:07:26.460
Pluss minus kvadratroten av 81.

0:07:26.460,0:07:30.660
Vi har minus 4 ganger minus 10

0:07:30.660,0:07:35.270
Dette er a minus 10 ganger 1.

0:07:35.270,0:07:39.410
Så minus 4 ganger minus 10 er 40

0:07:41.040,0:07:46.070
Så har vi alt det over minus 20.

0:07:46.070,0:07:48.300
81 pluss 40 er 121.

0:07:48.300,0:07:52.330
Så dette er 9 pluss minus kvadratroten

0:07:52.330,0:07:58.290
av 121 over minus 20

0:07:58.290,0:08:01.620
Kvadratroten av 121 er 11.

0:08:03.170,0:08:06.184
Du mister ikke tråden nå?

0:08:06.184,0:08:13.720
Dette er 9 pluss minus 11, over minus 20

0:08:13.720,0:08:19.090
Hvis vi sier 9 pluss 11 over minus 20, så har vi

0:08:19.090,0:08:22.540
9 pluss 11 er 20, så dette er 20 over minus 20.

0:08:22.540,0:08:23.730
Det er lik minus 1.

0:08:23.730,0:08:24.900
Det er en av røttene.

0:08:24.900,0:08:28.260
Dette er 9 pluss -- fordi dette er pluss ELLER minus

0:08:28.260,0:08:33.790
Den andre roten vil være 9 minus 11 over minus 20.

0:08:33.790,0:08:37.720
Det er lik minus 2 over minus 20.

0:08:37.720,0:08:40.700
Som er lik 1 over 10.

0:08:40.700,0:08:42.690
Det er den andre roten.

0:08:42.690,0:08:48.950
Hvis vi skulle tegne grafen til denne funksjonen,

0:08:48.950,0:08:52.640
ville vi se at den krysser x-aksen.

0:08:52.640,0:08:59.232
Eller f(x) er lik null hvor x er lik minus 1

0:08:59.570,0:09:01.690
og x er lik 1/10.

0:09:02.136,0:09:05.218
Jeg skal ta flere eksempler i del 2 fordi jeg

0:09:05.357,0:09:07.669
tror jeg har forvirret deg med denne.

0:09:08.120,0:09:11.680
Vi ses i del 2 hvor vi bruker kvadratformelen.