Matrisleri öğrenelim. Matris derken ne demek istiyoruz?
Büyük ihtimalle bu kelimayi matematikten daha çok, Hollywood filmlerinden duymuşsunuzdur.
Peki, matris nedir? Aslında çok basit bir kavram.
Matris yanlızca bir sayı grubudur.
Size bir matris çizeyim.
Bu diş macunu rengini beğenmedim, yeni bir renk deneyeyim.
Bu bir matris örneğidir. Eğer, uydurma rakamlar seçeceğim,
Beş, bir, iki, üç, sıfır, eksi beş. Bu bir matrisdir.
Yanlızca bir sayı grubu ve, genelde matrisleri bir harfle göstermek istersek
büyük harf kullanırız. Matrise "A" diyelim.
Bazı kitaplarda harfi ekstra kalın yapıyorlar. Yani kalın "A" bir matris oluyor.
Ve, birazcık gösterge, yani buna bir matris deniyor. Yada
bu matrise iki sütün üç satırlı bir matris diyebiliriz
Ve, bazen bunu göstermek için matrisin altına "2x3" diye yazarlar.
İki nedir? Ve üç nedir?
İki, sütün sayısıdır. Bir sütün, iki sütün. Bu bir sütün.
Üç tane de satırımız var, bir, iki üç.
Bu iki sütünlu, üç satırlı bir matris.
Eğer, B yi kalın yapmalıyım,
eğer B beşe iki bir matris ise, bu demek oluyor ki B'nin,
İlk önce sayıları yazmalıyım; sıfır, eksi beş, on
Yani, beş satırı ve iki sütunu var.
Bir sütünumuz daha olucak: eksi on, üç,
Buraya rastgele sayılar koyacağım. Yedi, iki, pi.
Bu beşe iki bir matris.
Sanırım şimdi matrisin yanlızca bir sayı kümesi olduğu
hakkında bir fikriniz var. Ve matrisleri sembolize etmek için büyük
harf kullanıyoruz. Bazen buraya ikiye üç matrisi yazıyoruz.
Ve, matrisin terimlerini teker teker isimlendirebiliriz.
Yukarıdaki örnekte bir A matrisimiz var.
Diyelim ki bu matrisin bir elemanını isimlendirmek istiyoruz.
Bu nedir. Bu ikinci satır. İkinci satırda.
Ve ikinci sütünda değil mi?
Bu birinci sütün, ve bu ikinci sütün. Birinci sütün, ikinci sütün.
Yani, ikinci sütünda ve ikinci satırda.
Bazen bunu şu şekilde yazıyoruz
A parantez iki virgül iki eşittir sıfır.
Bazen ise küçük a,
iki virgül iki eşittir 0 yazarlar.
A nedir peki? Bunlar aynı anlama geliyorlar.
Bunu size farklı gösteriş biçimlerini
göstermek amacıyla anlatıyorum.
Peki, o zaman a, bir virgül üç nedir.
Bu birinci satır ve üçüncü sütunda olduğumuz anlamına geliyor.
Birinci satır, bir iki üç. Buradaki değer.
Yani, cevap iki.
Bunlar yanlızca matrisin yazım biçimleri;
matris bir sayı kümesidir, ve bu şekilde gösterilir.
Diğer elemanlarını da aynı şekilde gösterebiliriz.
Birine bunu soruyor olabilirsiniz:
"Sal, süslü sayılar ve harflerden oluşan masan
güzelmiş. Ancak ne bu masa ne işe yarıyor.
Ve bu ilginç kısmı.
Matris yanlızca bir data gösterim aracı. Yalnızca dataları yazmanın bir yolu.
Yanlızca bir sayı kümesi.
Ama bu bir dize olayı göstermek için kullanılabilir.
Ve eğer bunu Algebra 1 veya Algebra 2 derslerinizde kullanıyorsanız
büyük ihtimal ile birinci derece denklemleri gösterirken kullanıyorsunuzdur.
Ama ileride öğreneceğiz ki, matrisleri başka tonlarca
farklı işlemde uygulayacağız.
Ve matrisler çok önemlidir, eğer doğru uygularsanız
bilgisayar grafiğinde ekranınızdaki pikselleri matrislerin elemanları ile gösterebilirsiniz,
ayrıca koordinat alanını da gösterebilrsiniz,
ve daha bir çok şeyi matrisler yardımı ile gösterebilirsiniz.
Gösterilebilecek tonlarca şey var.
Ama, önemli olan matrisin doğal bir
fenomen olmadığını anlamaktır.
Daha önceden baktığımız matematiksel konseptlere benzemiyor.
Daha çok bir matematiksel konsepti tasvir etmenin bir yoludur.
Yada değerleri tanımlamanın bir yolu. Ancak neyi tanımladığını
açıklamanız gerekebilir.
Ama şimdilik bu kavramı aklımızın
bir köşesine yazalım.
Ve, ah karım burada. Dolabımızda birşey arıyor.
Neyse, ne diyordum.
Şimdi, matrisin neyi gösterdiği fikrini bir
kenara bırakalım. Ve işlemleri öğrenelim.
Çünkü, bunu yapmak matrislerin en zor kısmı.
Matrisleri nasıl eklersiniz?
Matrisleri nasıl çarparsınız? Nasıl tersini alırsınız?
Matrisin determinantını nasıl bulursunuz?
Biliyorum bu kelimeler size ilginç geliyordur. Tabi eğer bunları
okulda algebra dersinizde görmediyseniz.
Size bunların hepsini öğreteceğim.
Bunların hepsi insanlar tarafından yaratılmış kavramlar.
İleride bu kavramların hepsini kavrayan bir sürü video yapacağım,
ve aslında neyi tasvir ettiklerini göstereceğim. Haydi başlayalım.
Diyelim ki, iki matrisi toplamak istiyorum.
İlki, renkleri değiştireyim. Diyelim ki
küçük çizeceğim ki yer kaplamayalım.
Elimizde; üç, eksi bir, emin değilim,
iki, sıfır, matrisimiz var ve adı da "a", büyük "A".
Ve diyelim ki matris B, ve sayıları tamamen uyduruyorum.
Matris B: eksi yedi, iki, üç ve beş.
Size sorum: A,
"A"yı kitaplardaki gibi kalın yapacağım,
artı matris B? Yani iki matrisi ekleyeceğim. Ve bir kere daha,
bu insanların ürettiği bir işlem. Biri matris toplamayı böyle tanımlamış.
Başka bir şekilde de tanımlanabilirdi. Ama tanımlayanlar
matris eklemeyi size birazdan
anlatacağım şekilde tanımlayalım demişler çünkü bu faydalı bir işlem.
Yani, iki matrisi topladığımız zaman yanlızca
birbirine karşı gelen elemanları topluyoruz. Yani bu nasıl oluyor?
Bir matrisin ilk sıra ve sütunundaki elemanı
diğer matrisin ilk sıra ve ilk sütunundaki elemanla topluyoruz. Yani
üç artı eksi yedi. Üç artı eksi yedi.
Bu bir-bir elemanı olacak. Daha sonra da birinci satır ikinci sütun elemanlarını
toplayacağız: eksi bir artı iki.
Etraflarına parantez koyalım ki kafamız
karışmasın. Ve, bunun nasıl devam ettiğini tahmin edebilirsiniz.
Bu eleman iki artı üç, bu eleman, sonuncu sıfır artı beş olacak.
Yani bu neye eşit? Üç artı eksi yedi, bu eksi dört.
Eksi bir artı iki eşittir bir. İki artı üç eşittir beş. Ve
sıfır artı beş eşittir beş. İnsanlar matris toplamasını böyle tanımlamışlar.
Ve, tanıma göre, tahmin edebiliriz ki B artı A
da aynı şekilde yapılacak. Değil mi? Ve unumayın, bu düşünmemiz gereken birşey
çünkü artık sayıları toplamıyoruz. Bir artı ikinin
iki artı bir ile aynı şey olduğunu biliyorsunuz. Veya, herhangi iki normal sayı, hangi yönde topladığınız önemli değil.
Ama matrislerde bu tamamen açık değil. Ama bu şekilde tanımlarsak
A artı B mi B artı A mı olduğu önemli olmaz. Değil mi?
Eğer B artı A yapsaydı, eksi yedi artı üç derdik.
Bu da iki artı eksi bir olurdu. Ama sonuçlar aynı sayılar olurdu.
Bu matris toplanmasıdır.
Ve, tahmin edebileceğiniz üzere, matris çıkarması da neredeyse aynı şey.
Şöyle yapardık... Aslında, size direk göstereyim. A eksi B ne olurdu?
Büyük B bir matrisi sembolize ediyor,
bu nedenle onu ekstra kalınlaştırıyorum. Bu işlem aslında
A artı eksi bir çarpı B ye eşittir. Peki B neydi? B;
eksi yedi, iki, üç, beş. Ve, bunu bir skaler ile çarpıyoruz,
bunu da normal çarpma gibi yapacağız,
skaler değeri matrisin bütün elemanları ile çarpacağız.
Yani bu A, matris A, artı matris, yanlızca
eksi biri buradaki bütün elemanlar ile çarpıyoruz. Yani; yedi
eksi iki, eksi üç, beş. Ve biraz önce yaptığımızı
burada da uygulayabiliriz. A'nın ne olduğunu biliyoruz. Yani
bu eşit olur, bakalım, A burada. Yani, üç artı
yedi eşittir on, eksi bir, artı eksi iki eşittir eksi üç,
iki artı eksi üç eşittir eksi bir ve sıfır artı beş eşittir beş.
Aslında burada yaptıklarımızı yapmanıza gerek yoktu.
Sadece bu elemanları, bunlardan çıkarabilirdik de
ve aynı sonuçlara ulaşırdık.
Bunu size aynı zamanda matrisleri x
bir skaler değer ile çarpabileceğimizi göstermek için yaptım,
bunu yapmak matrisin bütün elemanlarını o sayıyla çarpmak ile aynı anlama geliyor.
Kısacası matrisleri toplamanın bu açıklaması ile neyi öğrendik?
İki matrisin aynı boyutta olması gerektiğini biliyoruz,
yoksa toplama yapamayız. Örneğin
bu iki matrisi toplayabiliriz, ya da bir, iki, üç, dört,
beş, altı, yedi, sekiz, dokuz matrisini; eksi on, eksi yüz,
eksi bin matrisi ile toplayabiliriz.
Sayıları uyduruyorum. Bir, sıfır, bir, sıfır, bir, sıfır, bir.
Bu iki matrisi toplayabiliriz değil mi?
Çünkü satır ve sütun sayıları birbirine eşit.
Bunları ekleyecek olsaydık, ilk terim bir artı eksi on olurdu,
yani eksi dokuz. İki artı eksi yüz eşittir eksi doksan sekiz.
Sanırım demek istediğimi anlıyorsunuz. Matrisin dokuz elemanı olurdu, üç satır ve üç sütün.
Ama bu iki matrisi toplayamayız. Toplayamazdınız...
Bunu farklı bir renkte yapmalıyım, farkı göstermek için,
Bunu toplayamazsınız, maviyi, eksi üç, iki matrisini
dokuz, yedi matrisi ile toplayamazsınız.
Peki bunları neden toplayamayız?
Çünkü, toplayacak çakışan elemanları yok.
Bu bir satıra iki sütunlu bir matris, bire iki matris
ve diğeri ise ikiye bir matris. Aynı ölçüleri olmadığı
için bu iki matrisi birbirinden çıkaramayız.
Dipnot olarak, bir matrisin... bir ekseni bir olduğu
zaman. Yani örneğin, burda bir satır ve birden fazla sütun var.
Buna sütun matrisi diyoruz.
Vektör aslen bir eksenli bir matristir,
bir matrisi bir olan matris. Yani bu bir satır vektörü ve aynı şekilde,
bu bir sütun vektörü. Bu yanlızca bilmeniz gerek bir
ekstra terminoloji. Eğer düzlemsel cebir veya kalkülüs alıyorsanız
profesörünüz bu terimleri kullanabilir ve siz de anlarsınız.
Onbir dakikayı aştım bu nedenle bir sonraki videoda devam edeceğiz. Hoşçakalın.