มาเรียนเรื่องเมทริกซ์กัน อะไรคือ ผมหมายถึงอะไรตอนผมพูดว่า เมทริซิส (matrices)
เมทริซิส ก็คือพหุพจน์ของเมทริกซ์ (matrix)
ซึ่งเป็นคำที่คุณคงคุ้น ๆ เพราะฮอลลีวูดมากกว่าคณิตศาสตร์
แล้ว เมทริกซ์คืออะไร ที่จริง มันง่ายมาก
มันก็คือตารางตัวเลข นั่นคือสิ่งที่เรียกว่าเมทริกซ์
งั้น ผมจะวาดเมทริกซ์ให้คุณดู
ผมไม่ชอบสีฟ้ายาสีฟันเลย ขอผมเปลี่ยนสีหน่อยนะ
นี่คือตัวอย่างของเมทริกซ์ หากผมบอกว่า ไม่รู้สิ ผมจะเลือกเลขสุ่ม ๆ มา
ห้า หนึ่ง สอง สาม ศูนย์ ลบห้า นี่คือเมทริกซ์
และทั้งหมดนี้คือตารางของตัวเลข และบ่อยครั้งหากคุณหากหาตัวแปรแทนเมทริกซ์ คุณจะ
ใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ เช่น คุณสามารถใช้ 'A' พิมพ์ใหญ่
บางครั้งในหนังสือบางเล่ม เขาจะทำตัวหนาด้วย ดังนั้นมันอาจเป็น ตัว 'A' หนา แทนเมทริกซ์
และ แค่วิธีการเขียน เราเรียกมันว่าเมทริกซ์ หรือ เราเรียก
เมทริกซ์นี้ว่า แค่วิธีการที่ตกลงกัน ว่า 2 คูณ 3 เมทริกซ์
และบางครั้ง เขาก็เขียนว่า '2 คูณ 3' ข้างล่างตัวอักษณหนา เพื่อแทนเมทริกซ์
แล้วสองคืออะไร แล้วสามล่ะ
สอง คือ จำนวนแถว (rows) เรามีแถวที่หนึ่ง แถวที่สอง นี่คือหนึ่งแถว นี่อีกแถว
และเราก็มีสามคอลัมน์ (columns) หนึ่ง สอง สาม
ดังนั้น เขาจึงเรียกมันว่า สอง คูณ สาม เมทริกซ์
เมื่อคุณบอกว่า รู้ไหม หากผมบอกว่า B ผมจะทำให้มันหนาหน่อย
หาก B เป็น ห้า คูณ สอง เมทริกซ์ นั่นหมายความว่า B นั้น ขอ
ผมพิมพ์ตัวเลขหน่อย ศูนย์ ลบห้า สิบ
ดังนั้น มันมีห้าแถว และสองคอลัมน์
เรามีอีกคอลัมน์หนึ่งตรงนี้ ดังนั้น เอาล่ะ ลบสิบ สาม
ผมแค่ใส่เลขสุ่ม ๆ ลงไปในนี้ เจ็ด สอง พาย
นี่คือ ห้า คูณ สอง เมทริกซ์
คุณคิดว่าคงคงเข้าใจวิธีการเขียนแล้วว่า เมทริกซ์ ซึ่งก็คือ
ตารางตัวเลข ว่าเป็้นอย่างไร คุณสามารถแสดงมัน ตอนที่คุณแสดงเป็นตัวแปร
คุณก็ใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ๋ตัวหนา และบางครั้งคุณก็เขียน สองคูณสาม ตรงนี้ด้วย
และคุณสามารถอ้างอิงเทอมในเมทริกซ์ได้ด้วย
ในตัวอย่างนี้ ตัวอย่างอันบน ที่เรามีเมทริกซ์ A
หากมีคนอยากอ้างอิงถึง สมมุติว่า อันนี้ พจน์นี้ของเมทริกซ์
และมันคืออะไร มันอยู่ในแถวสอง มันอยู่ในแถวที่สอง
และคอลัมน์ที่สอง จริงไหม
นี่คือคอลัมน์ที่หนึ่ง นี่คือคอลัมน์ที่สอง แถวที่หนึ่ง แถวที่สอง
ดังนั้นมันอยู่ในแถวที่สอง คอลัมน์ที่สอง
ดังนั้น ผู้คนมักจะเขียนว่า A จากนั้นก็เขียน
สอง ลูกน้ำ สอง เท่ากับศูนย์
หรือ เขาอาจเขียน บางครั้งเขียนเป็นตัวพิมพ์เล็ก a
สอง ลูกน้ำ สอง เท่ากับ ศูนย์
แล้ว A คืออะไร มันก็เหมือนเดิม
ผมแค่ทำให้คุณรู้จักวิธีการเขียน
เพราะทั้งหมดนี้เป็นแค่วิธีการเขียนเท่านั้น
แล้ว a หนึ่ง ลูกน้ำ สาม คืออะไร
มันหมายความว่า เราอยู่ที่แถวที่หนึ่ง กับคอลัมน์ที่สาม
แถวแรก หนึ่ง สอง สาม มันคื่อค่าที่อยู่ตรงนี้
ซึ่งเท่ากับ สอง
และนั่นคือสัญลักษณ์ทั้งหมดของเมทริกซ์
มันคือตารางของตัวเลข และสามารถแสดงออกมาได้อย่างนี้
และเราก็บอกถึงพจน์ต่าง ๆ ได้อย่่างนี้
จากนั้น คุณอาจถามว่า
"แซล เอาล่ะ มันก็คือ ตารางตัวเลข ที่
มีชื่อและสัญลักษณ์เลิศหรู แต่มันเอาไปใช้ทำอะไรได้"
นั่นคือประเด็นที่น่าสนใจ
เมทริกซ์เป็นแค่วิธีแสดงข้อมูล มันก็แค่วิธีเขียนข้อมูลลงไป
มีแค่นั่นแหละ มันก็ตารางตัวเลขอันหนึ่ง
แต่ มันสามารถใช้แสดงปรากฏการณ์ต่าง ๆ มากมาย
หากคุณเคยเรียนของพวกนี้ในพีชคณิต 1 หรือพีชคณิต 2
คุณอาจเคยใช้มันแสดงสมการเชิงเส้น
แต่เราจะเรียนมันทีหลัง และผมจะทำวิดีโออีก
เพื่อเอาเมทริกซ์ไปใช้ในหลายเรื่องเลยล่ะ
แต่ มันสามารถแสดง และมีประโยชน์มาก หากคุณ
กำลังทำงาน computer graphics เมทริกซ์... พจน์ในนั้นใช้แทนพิกเซลบนหน้าจอ
มันสามารถแทนจุดในระบบพิกัด
มันสามารถแทน... ใครจะรู้!
มันสามารถแทนอะไรได้เต็มไปหมด
แต่สิ่งสำคัญที่ควรระลึกไว้คือว่า เมทริกซ์นั้น
มันไม่ใช่ปรากฏการณ์ธรรมชาติ
มันไม่เหมือนกับหลักทางคณิตศาสตร์มากมายที่เราเคยเจอมา
มันเป็นแค่วิธีหนึ่งในการแสดงหลักทางคณิตศาสตร์
หรือ วิธีหนึ่งในการแสดงข้อมูล แต่คุณประมาณว่าต้อง
นิยามว่ามันกำลังแสดงอะไร
แต่ เก็บเรื่องที่ว่า
มันแสดงข้อมูลอะไรไว้ก่อน
และ โอ้ ภรรรยาผมอยู่นี่ เธอมาหาของน่ะ
เอาล่ะ กลับมาดูที่ผมกำลังทำอยู่
งั้น งั้น กลับมาดูว่าเมทริกซ์
นั้นแสดงอะไรกันได้ มาลองดูวิธีตามธรรมเนียมดู
เพราะ ผมว่า อืม อย่างน้อยในตอนแรก มันดูจะเป็น
ส่วนที่ยากที่สุด เราบวกเมทริกซ์อย่างไร
เราจะคูณเมทริกซ์อย่างไร เราจะหาอินเวอร์สของเมทริกซ์อย่างไร
เราจะหา determinant ของเมทริกซ์อย่างไร
ผมรู้ว่าคำเหล่านี้อาจฟังไม่คุ้นหู อย่างน้อย
คุณอาจงงกับมันมาแล้วในวิชาพีชคณิต
ดังนั้นผมจะสอนสิ่งเหล่านั้นให้คุณก่อน
ซึ่งมันเป็นแค่วิธีการที่มนุษย์กำหนดขึ้นมาเท่านั้น
จากนั้น ต่อไป ผมจะทำวิดีโออธิบายถึงแนวคิดเบื้องหลัง
และสิ่งที่เรากำลังแสดงอยู่ ดังนั้น มาเริ่มกันเลย
งั้นสมมุติว่าผมอยากบวกเมทริกซ์สองอันนี้เข้าด้วยกัน
สมมุติว่า อันแรก ขอผมเปลี่ยนสีหน่อย สมมุติว่า
เราทำอันเล็กหน่อย เพื่อไม่ให้เปลืองที่
คุณมี เมทริกซ์ สาม ลบหนึ่ง ไม่รู้สิ
สอง ศูนย์ เรียกมันว่า A แล้วกัน A ตัวพิมพ์ใหญ่
และเรียกอีกอันว่า B และผมจะมั่วตัวเลขขึ้นมา
เมทริกซ์ B เท่ากับ ลบเจ็ด สอง สาม ห้า
ดังนั้น คำถามของผมคือว่า A
ผมจะทำมันเป็นตัวหนาเหมือนในหนังสือ บวก
B เป็นเท่าไหร่ นั่นคือ ผมกำลังบวกเมทริกซ์เข้าด้วยกัน และอีกครั้ง
นี่เป็นแค่ข้อตกลงของมนุษย์ ใครสักคนนิยามวิธีการบวกเมทริกซ์อย่างนี้
เขาอาจนิยามแบบอื่น แต่เขาบอกว่า
เราจะให้เมทริกซ์บวกกัน ในแบบที่ผม
กำลังจะทำให้คุณดู เพราะมันมีประโยชน์สำหรับปรากฏการณ์ต่าง ๆ มากมาย
เมื่อคุณบวกเมทริกซ์สองตัวเข้าด้วยกัน คุณก็แค่บวก
พจน์ตัวต่อตัว แล้วมันหมายความว่าไง
คุณก็แค่บวกพจน์ที่อยู่ในแถวหนึ่ง คอลัมน์หนึ่ง เข้ากับ
พจน์ในอยู่ในแถวหนึ่ง คอลัมน์หนึ่ง โอเค
มันเท่ากับสาม บวก ลบเจ็ด นั่นคือ สาม บวก ลบเจ็ด
นั่นคือพจน์ หนึ่ง-หนึ่ง จากนั้นพจน์ในแถวหนึ่ง คอลัมน์สอง
จะเป็ฯ ลบหนึ่ง บวก สอง
ใส่วงเล็บลงไปให้คุณรู้ว่า
มันเป็นคนละพจน์กัน และคุณคงเดาได้ว่าจะทำอย่างไรต่อไป
พจน์นี้จะเท่ากับ สองบวกสาม พจน์นี้ เป็นพจน์สุดท้าย เท่ากับ ศูนย์ บวก ห้า
แล้วมันเท่ากับอะไร สาม บวก ลบเจ็ด เท่ากับ ลบสี่
ลบหนึ่ง บวก สอง เท่ากับ หนึ่ง สอง บวก สาม เท่ากับ ห้า
และศูนย์ บวก ห้า เท่ากับ ห้า ดังนั้นเราก็ได้ผลบวกมา นั่นเป็นวิธีที่มนุษย์นิยามการบวกเมทริกซ์สองตัว
และด้วยนิยามนี้ คุณคงนึกออกว่ามันก็เหมือนกับ
B บวก A ถูกไหม และจำไว้ว่า นี่คือสิ่งที่เราต้องคิดถึง
เพราะเราไม่ได้บวกเลขอีกต่อไป คุณรู้ว่า หนึ่งบวกสอง เท่ากับ
สองบวกหนึ่ง หรือ สำหรับเลขธรรมดาสองตัวใด ๆ มันไม่สำคัญว่า
คุณจะบวกมันก่อนหลัง แต่สำหรับเมทริกซ์ มันไม่ได้เห็นง่าย ๆ อย่างนั้น แต่เมื่อคุณนิยามมันเช่นนี้
ไม่มีสำหคัญว่าเราคิด A บวก B หรือ B บวก A จริงไหม
หากเราคิด B บวก A นี่ก็แค่ ลบเจ็ด บวก สาม
นี่ก็แค่ สอง บวก ลบหนึ่ง แต่สุดท้ายมันก็ออกมาเป็นค่าเดียวกัน
นั่นคือการบวกเมทริกซ์
และคุณคงนึกออกว่า การลบเมทริกซ์ ก็คล้าย ๆ กัน
เราก็ ที่จริง ให้ผมทำให้คุณดูดีกว่า A ลบ B ได้เท่าไหร่
คุณสามารถมองว่า นี่คือ B ใหญ๋ มันคือเมทริกซ์
นั่นคือนั่นเหตุผลที่ผมทำให้มันหนาพิเศษ แต่ มันก็เหมือนกับ
A บวก ลบหนึ่ง คูณ B แล้ว B คืออะไร B คือ
ลบเจ็ด สอง สาม ห้า และเมื่อคุณคูณมันด้วย
สเกลาร์ เมื่อเอาตัวเลขคูณกับเมทริกซ์
คุณก็แค่คูณเลขนั้นกับทุกเทอมในเมทริกซ์
ดังนั้น มันจะเท่ากับ A เมทริกซ์ A บวกเมทริกซ์ เราแค่คูณ
ลบหนึ่ง เข้ากับทุกเทอมตรงนี้ ได้ เจ็ด
ลบสอง ลบสาม ห้า จากนั้นเราก็
ทำอย่างที่เราทำตรงโน้น เรารู้ว่า A คืออะไร ดังนั้น มันก็
จะได้ ลองดู A อยู่ตรงนี้ ดังนั้น สาม บวก
เจ็ด เท่ากับ สิบ ลบหนึ่ง บวก ลบสอง เท่ากับ ลบสาม
สอง บวก ลบสาม ได้ ลบหนึ่ง และศูนย์ บวก ห้า เท่ากับ ห้า
และที่จริงคุณไม่ได้ทำผ่านทางนี้ก็ได้
คุณสามารถ ลบเทอมเหล่านี้จากเทอมเหล่านี้
และ คุณก็ได้ค่าเหมือนกัน
ผมทำเช่นนี้เพราะผมอยากให้คุณเห็นว่า การคูณ
สเกลาร์ หรือ ค่าหนึ่งค่า หรือตัวเลขปกติ เข้ากับเมทริกซ์
นั้นก็แค่คูณเลขดังกล่าวกับทุกเทอมในเมทริกซ์
แล้วยังไง จากนิยามการบวกเช่นนี้ เรารู้อะไรได้อีก
เรารู้ว่า เมทริกซ์ทั้งสองต้องมีขนาดเท่ากัน
ตามนิยามที่เราใช้บวก ยกตัวอย่างเช่น
คุณสามารถบวกเมทริกซ์สองตัวนี้ ผมสามารบวก ไม่รู้สิ
หนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า หก เจ็ด แปด เก้า กับเมทริกซ์นี้
ไม่รู้สิ ลบสิบ ลบร้อย ลบหนึ่งหัน
ผมแค่มั่วเลขมาก หนึ่ง ศูนย์ ศูนย์ หนึ่ง ศูนย์ หนึ่ง
คุณสามารถบวกเมทริกซ์สองตัวนี้ด้วยกันได้ ถูกไหม
เพราะมันมีจำนวนแถว และจำนวนคอลัมน์เท่ากัน
ตัวอย่างเช่น หากคุณต้องบวกมัน เทอมแรก ก็จะเป็น หนึ่ง บวก ลบสิบ
ได้เท่ากับ ลบเก้า สอง บวก ลบหนึ่งร้อย ได้ลบเก้าสิบแปด
ผมคิดว่าคุณคงเข้าใจ คุณมีเก้าเทอม แล้วคุณมีสามแถว สามคอลัมน์
แต่คุณไม่สามารถบวกเมทริกซ์สองอันนี้เข้าด้วยกัน คุณสามารถบวก...
ขอผมใช้อีกสีหนึ่ง แค่ให้เห็นว่าต่างกัน
คุณไม่สามรถบวก สีฟ้านี้ คุณไม่สามารถบวกเมทริกซ์นี้
ลบสาม สอง เข้ากับเมทริกซ์ ไม่รุ้สิ เก้า เจ็ด
ทำไมถึงไม่ได้
เพราะมันไม่มีพจน์คู่กันให้บวกเข้าไป
มันมีหนึ่งแถว สองคอลัมน์ อันนี้คือ หนึ่งคูณสอง
แต่อันนี้เป็นสอง คูณหนึ่ง ดังนั้นพวกมันจึงมีมิติไม่เท่ากัน
เราจึงไม่สามารถบวกหรือลบเมทริกซ์เหล่านี้ได้
และเพื่อหมายเหตุเอาไว้ เมื่อเมทริกซ์มี... เมื่อ
มิติอันหนึ่งเท่ากับ หนึ่ง ยกตัวอย่างเช่น ตรงนี้คุณมีหนึ่งแถว
หลายคอลัมน์ นี่คือสิ่งทีเรียกว่า เวกเตอร์แถว (row vector)
เวกเตอร์คือ เมทริกซ์ที่มีมิติเดียว นั่นคือ
มิติอันหนึ่งเท่ากับหนึ่ง และนี่คือ เวกเตอร์แถว
และมันก็มี เวกเตอร์คอลัมน์ (column vector) และนี่เป็นแค่ชื่อ
ที่คุณควรรู้เพิ่มเติม อืม หากคุณเรียนพีชคณิตเชิงเส้น และแคลคูลัส
อาจารย์คุณอาจใช้คำเหล่านี้ และมันดีที่จะ
ทำความคุ้นเคยไว้ เอาล่ะ ผมใช้เวลาไปสิบเอ็ดนาทีแล้ว ผมจะมาต่อในวิดีฮหน้า แล้วเจอกันครับ