Hajde da naučimo matrice. Dakle šta su, šta to meni znači kad kažem matrice?
Pa prvo, "Matrice" je množina od reči "Matrica".
To je verovatno reč koja vam je poznatija zbog Holivuda nego zbog matematike.
Dakle, šta je matrica? Pa to je zapravo vrlo jednostavna zamisao.
To je samo tabela brojeva i to je sve.
Nacrtaću vam jednu matricu.
Ne volim ovu plavu boju zubne paste, dozvolite da izaberem drugu boju.
Ovo je primer matrice. Ako bih rekao... neznam, izabraću neke nasumične brojeve...
Pet, jedan, dva, tri, nula, minus pet. Ovo je matrica.
To je sve što matrica pretstavlja, tablicu brojeva i često kada želite promenljivu za matricu
koristite veliko slovo. Pa možete koristiti veliko 'A'.
U nekim knjigama ih pretstavljaju zadebljanim slovima. Znači zadebljano 'A' moglo bi pretstavljati matricu.
I još nešto o oznakama. Ovako bi označili matricu. Ili bi je označili
ovako, čisto prema usvojenim pravilima, ovo bi nazvali dva sa tri matricom.
I ponekad bi zapravo pisalo 2 sa 3 ispod podebljane oznake koja pretstavlja matricu.
Šta pretstavlja dva? A šta tri?
Dva je broj redova. Imamo ovde jedan, dva reda. Ovo je red i ovo je red.
Imamo tri kolone: jedan, dva, tri.
Dakle zato se zove 2 sa tri matrica.
Kada bismo rekli, kada bih rekao da je B... zadebljaću ga dodatno.
Ako je B pet sa dva matrica, znači da bi B trebala imati... napraviću jednu.
Samo da unesem brojeve, nula, minus pet, deset.
Dakle ima pet redova i dve kolone.
Imaćemo još jednu kolonu ovde. Da vidimo, minus deset, tri
Samo unosim nasumične brojeve ovde. Sedam, dva, pi.
Ovo je matrica pet sa dva.
Dakle mislim da sada imate način pretstavljanja koji govori da je matrica samo
tablica brojeva. Možete je prikazati kada je koristite u formi promenljive
podebljanim velikim slovom. Ponekad bi ste upisali dva sa tri ovde.
Na taj način vi zapravo ukazujete na pojam matrice.
U ovom primeru, na vrhu gde imamo matricu A
Šta ako bi neko želeo da ukaže na, recimo ovaj i ovaj element matrice?
Dakle šta je to? U drugom je redu. U redu dva.
Udrugoj koloni. Zar ne?
Ovo je kolona jedan, ovo je kolona dva. Red jedan, red dva.
Znači u drugom redu, druga kolona.
Ponekad će ljudi zapisati ono A, a zatim će zapisati
dva zarez dva je jednako nula.
Ili će možda pisati malim slovom 'a',
dva zarez dva jednako nula.
Šta je 'A'? Ovo je opet ista stvar.
Radim ovo samo da bih vas upoznao sa označavanjem
jer je dosta toga samo u oznakama.
Šta je onda 'a' jedan zarez tri?
To znači da smo u prvom redu i trećoj koloni.
Prvi red, jedan dva, tri. To je ova vrednost ovde.
Znači taj element ima vrednost dva.
Ovo je dakle sve što pretstavlja označavanje matrice,
to je tabela brojeva, može biti pretstavljena i ovako
Možemo pretstaviti njene različite elemente na ovaj način.
Možda se pitate
"Sal sve je to u redu, tablica brojeva sa fensi
rečima i fensi oznakama. Ali čemu to sve služi?"
E u tome je stvar interesantna.
Matrica je samo prikaz podataka. Samo način zapisa podataka.
To je sve. Tablica brojeva.
Ali može se koristiti za prikaz celog skupa fenomena.
I ako ovo radite iz Algebre 1 ili predmeta Algebra 2
verovatno ovo koristite za prikaz linearnih jednačina.
Ali naučićemo kasnije, a uradiću ceo komplet videa
na temu primene matrica za hrpu različitih stvari.
Ali moguće je pretstaviti, veoma moćno ako se bavite
računarskom grafikom, pomuću matrica... Elementi mogu pretstavljati piksele vaših ekrana,
mogu pretstavljati tačke u koordinatnom sistemu,
mogu pretstavljati... Ko to zna!
Postoji izobilje stvari koje mogu pretstaviti.
Ali bitna stvar je shvatiti da matrica
nije prirodni fenomen.
Nije kao gomila matematičkih koncepata koje smo gledali.
To je način za prikaz matematičkog koncepta.
Ili način za pretstavljanje vrednosti. Ali potrebno je da
definišete šta pretstavlja.
Ali hajde da ostavimo sa strane na momenat
pojam šta ona stvarno pretstavlja.
I, hmm moja žena je ovde. Treba joj naš ormarić za fajlove.
Kako god, vratimo se poslu.
Stavili smo sa strane ono što matrica
zapravo pretstavlja. Hajde da naučimo sporazum.
Jer mislim, bar u početku to zna da bude
najteži deo. Kako da sabirate matrice?
Kako da množite matrice? Kako dobijate inverznu matricu?
Kako da nađete determinantu matrice?
Znam da sve ove reči mogu zvučati nepoznato. Osim
ako se već niste njima zbunjivali na časovima algebre.
Dakle ja ću vas sad naučiti svim tim stvarima.
To su sve zapravo sporazumi koje su ljudi utvrdili.
Nakon toga, kasnije napraviću gomilu videa o intuiciji koja stoji iza njih,
i šta ti sporazumi pretstavljaju. Hajde da počnemo.
Recimo da želimo da saberemo ove dve matrice.
Recimo prva, da promenim boje. Recimo,
napraviću relativno male čisto da ne trošim prostor.
Imate matricu: tri, minus jedan, nemam pojma,
dva, nula. Neznam, nayovimo je A, velikim slovom.
I imamo matricu B, opet lupam brojeve.
Matrica B jednaka je: minus sedam, dva, tri, pet.
Moje pitanje za vas je: Šta je A...
podebljavam da izgleda kao iz knjiga, plus
matrica B? Dakle sabram dve matrice. I opet
ovo je ljudski sporazum. Neko jedefinisao kako se označava sabiranje.
Mogli su definisati i drugačije. Ali rekli su:
Napravićemo da se matrice dodaju ovako kao što ću vam ja
upravo pokazati jer je to korisno za ceo spektar ovog fenomena.
Dakle kada sabirate dve matrice vi u suštini samo sabirate
njihove odgovarajuće elemente. Kako to radi?
Pa, saberete element u redu jedan kolone jedan sa
elementom u redu jedan kolone jedan. U redu to je
tri plus minus sedam. Dakle tri plus minus sedam.
To bi bio jedan element. Zatim element iz reda jedan u koloni jedan
to je minus jedan plus dva.
Stavite zagrade oko njih da bi znali da su to
odvojeni elementi. I možete lako pogoditi kako se ovo nastavlja.
Ovaj element će biti dva plus tri. Ovaj element, poslednji element če biti nula plus pet.
Dakle to je jednako čemu? Tri plus minus sedam, to je minus četiri.
Minus jedan plus dva, biće jedan. Dva plus tri je pet
i nula plus pet je pet. Dakle to je to, tako smo mi ljudi definisali sabiranje dve matrice.
I prema definiciji možete pretpostaviti da će ovo biti ista stvar
kao B plus A. Zar ne? Zapamtite ovo je nešto o čemu moramo razmisliti
jer mi ne sabiramo više brojeve. Znate da je jedan plus dva isto što i
dva plus jedan. Tako je sa bilo koja dva broja, nema veze koim redom
ih sabirate. Ali matrice, nije baš potpuno očigledno. Ali kada ih definišete ovako
nema veze da li je A plus B ili B plus A. Zar ne?
Da smo stavili B plus A, ovo bi samo bilo minus sedam plus tri.
Ovo bi samo bilo dva plus minus jedan. Sve bi se svelo na iste vrednosti.
To je sabiranje matrice.
Možete zamisliti, oduzimanje matrice je u suštini ista stvar.
Mi bismo... zapravo bolje da vam pokažem. Šta bi bilo A minus B?
Možete videti, ovo je veliko B, to je matrica
zato je podebljavam dodatno. No to je ista stvar kao
A plus minus jedan puta B. Šta je B? B je
minus sedam, dva, tri, pet. Zatim množimo
skalarno, kada množite broj sa matricom
samo množite taj broj sa svakim od elemenata matrice.
To je A, matrica A plus matrica, množimo
minus jedan sa svakim elementom iz B. Znači sedam
minus dva, minus tri, pet. A zatim možemo uraditi
isto što smo ovde gore. Znamo šta je A.
Ovo bi bilo jednako, da vidimo. Tri plus
sedam je deset, minus jedan plus negativno dva je minus tri,
dva plus minus tri je minus jedan i nula plus pet je pet.
Niste ni morali proći kroz ovu vežbu.
Mogli ste bukvalno samo oduzeti ove od ovih elemenata
i dobili biste iste vrednosti.
Uradio sam ovo da bih vam pokazao da množenje
matrice sa skalarom, tj sa vrednošću ili brojem
je ništa drugo do množenje tog broja sa svakim od elemenata matrice.
I šta... prema ovoj definiciji sabiranja matrica šta saznajemo?
Pa saznajemo da obe matrice moraju biti iste veličine,
definicijom načina na koji sabiramo. Dakle za primer
možete sabrati ove dve matrice. Možete sabrati, nemam pojma,
jedan, dva, tri, četiri, pet, šest, sedam, osam, devet ove matrice
sa neznam, minus deset, minus sto, minus hiljadu.
Lupam brojeve. Jedan, nula, nula, jedan, nula, jedan.
Možete sabrati ove dve matrice zar ne?
Jer imaju isti broj redova i kolona.
Pa na primer ako bismo ih sabrali, prvi izraz ovde bi bio jedan plus minus deset,
pa bi to bilo minus deset. Dva plus minus sto, minus devedeset i osam.
Mislim da kapirate.l Imali biste tačno devet elemenata, tj tri reda od po tri kolone.
Ali ne možete sabrati ove dve matrice. Ne možete sabrati babe i žabe...
Da obojim ovo drugačije, samo da prikažem kao različito,
Ne možete sabrati ovo plavo, ne možete sabrati ovu matricu
minus tri dva sa matricom, nemam pojma, devet, sedam
A zašto ih ne možete sabrati?
Pa nemaju odgovarajući broj elemenata da bi se sabrale.
Ova je jedan red sa dve kolone, jedan sa dva
a ova je dva sa jedan. Dakle nisu istih DIMENZIJA
pa ne možemo sabrati ove dve matrice.
I još nešto usput, kada matrica ima... kada je jedna od njenih
dimenzija jedan. Pa na primer ovde imate jedan red
i više kolona. Ovo se zapravo zove redni vektor.
Vektor je u suštini jednodimenzionalna matrica, gde je jedna
od dimenzija jednaka jedan. Tako je ovo redni vektor i slično,
Ovo je vektor kolona. To je samo dodatna terminologija
koju trebate znati. Ako uzmete linearnu algebru i račun
vaš profesor može koristiti slične termine i dobro je biti
upoznat sa njima. U svakom slučaju guram ovo već 11 minuta pa ću nastaviti u sledećem videu. Vidimo se uskoro.