WEBVTT 00:00:01.300 --> 00:00:06.800 Hajde da naučimo matrice. Dakle šta su, šta to meni znači kad kažem matrice? 00:00:06.800 --> 00:00:10.400 Pa prvo, "Matrice" je množina od reči "Matrica". 00:00:10.400 --> 00:00:15.700 To je verovatno reč koja vam je poznatija zbog Holivuda nego zbog matematike. 00:00:15.700 --> 00:00:20.900 Dakle, šta je matrica? Pa to je zapravo vrlo jednostavna zamisao. 00:00:20.900 --> 00:00:24.500 To je samo tabela brojeva i to je sve. 00:00:24.500 --> 00:00:27.800 Nacrtaću vam jednu matricu. 00:00:27.800 --> 00:00:30.300 Ne volim ovu plavu boju zubne paste, dozvolite da izaberem drugu boju. 00:00:30.300 --> 00:00:37.600 Ovo je primer matrice. Ako bih rekao... neznam, izabraću neke nasumične brojeve... 00:00:37.600 --> 00:00:46.000 Pet, jedan, dva, tri, nula, minus pet. Ovo je matrica. 00:00:46.000 --> 00:00:51.500 To je sve što matrica pretstavlja, tablicu brojeva i često kada želite promenljivu za matricu 00:00:51.500 --> 00:00:54.600 koristite veliko slovo. Pa možete koristiti veliko 'A'. 00:00:54.600 --> 00:01:00.100 U nekim knjigama ih pretstavljaju zadebljanim slovima. Znači zadebljano 'A' moglo bi pretstavljati matricu. 00:01:00.100 --> 00:01:04.500 I još nešto o oznakama. Ovako bi označili matricu. Ili bi je označili 00:01:04.500 --> 00:01:10.100 ovako, čisto prema usvojenim pravilima, ovo bi nazvali dva sa tri matricom. 00:01:10.100 --> 00:01:16.500 I ponekad bi zapravo pisalo 2 sa 3 ispod podebljane oznake koja pretstavlja matricu. 00:01:16.500 --> 00:01:18.400 Šta pretstavlja dva? A šta tri? 00:01:18.400 --> 00:01:23.200 Dva je broj redova. Imamo ovde jedan, dva reda. Ovo je red i ovo je red. 00:01:23.200 --> 00:01:26.300 Imamo tri kolone: jedan, dva, tri. 00:01:26.300 --> 00:01:28.500 Dakle zato se zove 2 sa tri matrica. 00:01:28.500 --> 00:01:34.200 Kada bismo rekli, kada bih rekao da je B... zadebljaću ga dodatno. 00:01:34.200 --> 00:01:42.677 Ako je B pet sa dva matrica, znači da bi B trebala imati... napraviću jednu. 00:01:42.677 --> 00:01:46.892 Samo da unesem brojeve, nula, minus pet, deset. 00:01:49.300 --> 00:01:52.600 Dakle ima pet redova i dve kolone. 00:01:52.600 --> 00:01:56.000 Imaćemo još jednu kolonu ovde. Da vidimo, minus deset, tri 00:01:56.000 --> 00:02:04.100 Samo unosim nasumične brojeve ovde. Sedam, dva, pi. 00:02:04.100 --> 00:02:07.000 Ovo je matrica pet sa dva. 00:02:07.000 --> 00:02:11.700 Dakle mislim da sada imate način pretstavljanja koji govori da je matrica samo 00:02:11.700 --> 00:02:15.000 tablica brojeva. Možete je prikazati kada je koristite u formi promenljive 00:02:15.000 --> 00:02:19.100 podebljanim velikim slovom. Ponekad bi ste upisali dva sa tri ovde. 00:02:19.100 --> 00:02:22.700 Na taj način vi zapravo ukazujete na pojam matrice. 00:02:22.700 --> 00:02:26.300 U ovom primeru, na vrhu gde imamo matricu A 00:02:26.300 --> 00:02:32.600 Šta ako bi neko želeo da ukaže na, recimo ovaj i ovaj element matrice? 00:02:32.600 --> 00:02:37.400 Dakle šta je to? U drugom je redu. U redu dva. 00:02:37.400 --> 00:02:39.100 Udrugoj koloni. Zar ne? 00:02:39.100 --> 00:02:42.500 Ovo je kolona jedan, ovo je kolona dva. Red jedan, red dva. 00:02:42.500 --> 00:02:45.100 Znači u drugom redu, druga kolona. 00:02:45.100 --> 00:02:51.900 Ponekad će ljudi zapisati ono A, a zatim će zapisati 00:02:51.900 --> 00:02:58.500 dva zarez dva je jednako nula. 00:02:58.500 --> 00:03:02.100 Ili će možda pisati malim slovom 'a', 00:03:02.100 --> 00:03:07.100 dva zarez dva jednako nula. 00:03:07.100 --> 00:03:11.700 Šta je 'A'? Ovo je opet ista stvar. 00:03:11.700 --> 00:03:14.200 Radim ovo samo da bih vas upoznao sa označavanjem 00:03:14.200 --> 00:03:16.100 jer je dosta toga samo u oznakama. 00:03:16.100 --> 00:03:21.800 Šta je onda 'a' jedan zarez tri? 00:03:21.800 --> 00:03:24.600 To znači da smo u prvom redu i trećoj koloni. 00:03:24.600 --> 00:03:27.600 Prvi red, jedan dva, tri. To je ova vrednost ovde. 00:03:27.600 --> 00:03:29.200 Znači taj element ima vrednost dva. 00:03:29.200 --> 00:03:32.100 Ovo je dakle sve što pretstavlja označavanje matrice, 00:03:32.100 --> 00:03:34.100 to je tabela brojeva, može biti pretstavljena i ovako 00:03:34.100 --> 00:03:37.000 Možemo pretstaviti njene različite elemente na ovaj način. 00:03:37.000 --> 00:03:38.300 Možda se pitate 00:03:38.300 --> 00:03:41.600 "Sal sve je to u redu, tablica brojeva sa fensi 00:03:41.600 --> 00:03:44.200 rečima i fensi oznakama. Ali čemu to sve služi?" 00:03:44.212 --> 00:03:46.100 E u tome je stvar interesantna. 00:03:46.100 --> 00:03:51.600 Matrica je samo prikaz podataka. Samo način zapisa podataka. 00:03:51.600 --> 00:03:53.600 To je sve. Tablica brojeva. 00:03:53.600 --> 00:03:57.800 Ali može se koristiti za prikaz celog skupa fenomena. 00:03:57.800 --> 00:04:01.500 I ako ovo radite iz Algebre 1 ili predmeta Algebra 2 00:04:01.500 --> 00:04:03.600 verovatno ovo koristite za prikaz linearnih jednačina. 00:04:03.600 --> 00:04:07.854 Ali naučićemo kasnije, a uradiću ceo komplet videa 00:04:07.869 --> 00:04:10.600 na temu primene matrica za hrpu različitih stvari. 00:04:10.600 --> 00:04:14.500 Ali moguće je pretstaviti, veoma moćno ako se bavite 00:04:14.500 --> 00:04:19.100 računarskom grafikom, pomuću matrica... Elementi mogu pretstavljati piksele vaših ekrana, 00:04:19.100 --> 00:04:21.400 mogu pretstavljati tačke u koordinatnom sistemu, 00:04:21.400 --> 00:04:23.000 mogu pretstavljati... Ko to zna! 00:04:23.000 --> 00:04:24.900 Postoji izobilje stvari koje mogu pretstaviti. 00:04:24.900 --> 00:04:27.600 Ali bitna stvar je shvatiti da matrica 00:04:27.600 --> 00:04:30.500 nije prirodni fenomen. 00:04:30.500 --> 00:04:34.700 Nije kao gomila matematičkih koncepata koje smo gledali. 00:04:34.700 --> 00:04:37.700 To je način za prikaz matematičkog koncepta. 00:04:37.700 --> 00:04:40.400 Ili način za pretstavljanje vrednosti. Ali potrebno je da 00:04:40.400 --> 00:04:43.000 definišete šta pretstavlja. 00:04:43.000 --> 00:04:44.700 Ali hajde da ostavimo sa strane na momenat 00:04:44.700 --> 00:04:48.300 pojam šta ona stvarno pretstavlja. 00:04:48.300 --> 00:04:52.200 I, hmm moja žena je ovde. Treba joj naš ormarić za fajlove. 00:04:52.200 --> 00:04:54.500 Kako god, vratimo se poslu. 00:04:54.500 --> 00:04:57.100 Stavili smo sa strane ono što matrica 00:04:57.100 --> 00:04:59.400 zapravo pretstavlja. Hajde da naučimo sporazum. 00:04:59.400 --> 00:05:02.200 Jer mislim, bar u početku to zna da bude 00:05:02.200 --> 00:05:04.015 najteži deo. Kako da sabirate matrice? 00:05:04.015 --> 00:05:06.408 Kako da množite matrice? Kako dobijate inverznu matricu? 00:05:06.408 --> 00:05:09.069 Kako da nađete determinantu matrice? 00:05:09.069 --> 00:05:11.400 Znam da sve ove reči mogu zvučati nepoznato. Osim 00:05:11.400 --> 00:05:13.700 ako se već niste njima zbunjivali na časovima algebre. 00:05:13.700 --> 00:05:15.900 Dakle ja ću vas sad naučiti svim tim stvarima. 00:05:15.900 --> 00:05:18.400 To su sve zapravo sporazumi koje su ljudi utvrdili. 00:05:18.400 --> 00:05:22.700 Nakon toga, kasnije napraviću gomilu videa o intuiciji koja stoji iza njih, 00:05:22.700 --> 00:05:26.700 i šta ti sporazumi pretstavljaju. Hajde da počnemo. 00:05:26.700 --> 00:05:29.700 Recimo da želimo da saberemo ove dve matrice. 00:05:29.700 --> 00:05:33.600 Recimo prva, da promenim boje. Recimo, 00:05:33.600 --> 00:05:37.700 napraviću relativno male čisto da ne trošim prostor. 00:05:37.700 --> 00:05:42.500 Imate matricu: tri, minus jedan, nemam pojma, 00:05:42.500 --> 00:05:49.100 dva, nula. Neznam, nayovimo je A, velikim slovom. 00:05:49.100 --> 00:05:54.400 I imamo matricu B, opet lupam brojeve. 00:05:54.400 --> 00:06:06.300 Matrica B jednaka je: minus sedam, dva, tri, pet. 00:06:06.300 --> 00:06:14.000 Moje pitanje za vas je: Šta je A... 00:06:14.000 --> 00:06:16.300 podebljavam da izgleda kao iz knjiga, plus 00:06:16.300 --> 00:06:21.700 matrica B? Dakle sabram dve matrice. I opet 00:06:21.700 --> 00:06:25.700 ovo je ljudski sporazum. Neko jedefinisao kako se označava sabiranje. 00:06:25.700 --> 00:06:27.500 Mogli su definisati i drugačije. Ali rekli su: 00:06:27.500 --> 00:06:29.846 Napravićemo da se matrice dodaju ovako kao što ću vam ja 00:06:29.846 --> 00:06:32.500 upravo pokazati jer je to korisno za ceo spektar ovog fenomena. 00:06:32.500 --> 00:06:35.000 Dakle kada sabirate dve matrice vi u suštini samo sabirate 00:06:35.000 --> 00:06:40.000 njihove odgovarajuće elemente. Kako to radi? 00:06:40.000 --> 00:06:43.000 Pa, saberete element u redu jedan kolone jedan sa 00:06:43.000 --> 00:06:46.100 elementom u redu jedan kolone jedan. U redu to je 00:06:46.100 --> 00:06:50.500 tri plus minus sedam. Dakle tri plus minus sedam. 00:06:50.500 --> 00:06:55.000 To bi bio jedan element. Zatim element iz reda jedan u koloni jedan 00:06:55.000 --> 00:06:58.608 to je minus jedan plus dva. 00:06:58.608 --> 00:07:01.700 Stavite zagrade oko njih da bi znali da su to 00:07:01.700 --> 00:07:05.400 odvojeni elementi. I možete lako pogoditi kako se ovo nastavlja. 00:07:05.400 --> 00:07:20.700 Ovaj element će biti dva plus tri. Ovaj element, poslednji element če biti nula plus pet. 00:07:20.700 --> 00:07:26.700 Dakle to je jednako čemu? Tri plus minus sedam, to je minus četiri. 00:07:26.700 --> 00:07:32.000 Minus jedan plus dva, biće jedan. Dva plus tri je pet 00:07:32.000 --> 00:07:39.800 i nula plus pet je pet. Dakle to je to, tako smo mi ljudi definisali sabiranje dve matrice. 00:07:39.800 --> 00:07:43.200 I prema definiciji možete pretpostaviti da će ovo biti ista stvar 00:07:43.200 --> 00:07:49.100 kao B plus A. Zar ne? Zapamtite ovo je nešto o čemu moramo razmisliti 00:07:49.100 --> 00:07:53.000 jer mi ne sabiramo više brojeve. Znate da je jedan plus dva isto što i 00:07:53.000 --> 00:07:56.700 dva plus jedan. Tako je sa bilo koja dva broja, nema veze koim redom 00:07:56.700 --> 00:07:59.900 ih sabirate. Ali matrice, nije baš potpuno očigledno. Ali kada ih definišete ovako 00:07:59.900 --> 00:08:03.700 nema veze da li je A plus B ili B plus A. Zar ne? 00:08:03.700 --> 00:08:06.600 Da smo stavili B plus A, ovo bi samo bilo minus sedam plus tri. 00:08:06.600 --> 00:08:10.100 Ovo bi samo bilo dva plus minus jedan. Sve bi se svelo na iste vrednosti. 00:08:10.100 --> 00:08:11.900 To je sabiranje matrice. 00:08:11.900 --> 00:08:15.300 Možete zamisliti, oduzimanje matrice je u suštini ista stvar. 00:08:15.300 --> 00:08:21.592 Mi bismo... zapravo bolje da vam pokažem. Šta bi bilo A minus B? 00:08:27.038 --> 00:08:32.300 Možete videti, ovo je veliko B, to je matrica 00:08:32.300 --> 00:08:34.800 zato je podebljavam dodatno. No to je ista stvar kao 00:08:34.800 --> 00:08:42.800 A plus minus jedan puta B. Šta je B? B je 00:08:42.800 --> 00:08:47.800 minus sedam, dva, tri, pet. Zatim množimo 00:08:47.800 --> 00:08:50.400 skalarno, kada množite broj sa matricom 00:08:50.400 --> 00:08:52.700 samo množite taj broj sa svakim od elemenata matrice. 00:08:52.700 --> 00:08:58.400 To je A, matrica A plus matrica, množimo 00:08:58.400 --> 00:09:02.400 minus jedan sa svakim elementom iz B. Znači sedam 00:09:02.400 --> 00:09:08.400 minus dva, minus tri, pet. A zatim možemo uraditi 00:09:08.400 --> 00:09:11.700 isto što smo ovde gore. Znamo šta je A. 00:09:11.700 --> 00:09:15.800 Ovo bi bilo jednako, da vidimo. Tri plus 00:09:15.800 --> 00:09:21.200 sedam je deset, minus jedan plus negativno dva je minus tri, 00:09:21.200 --> 00:09:28.900 dva plus minus tri je minus jedan i nula plus pet je pet. 00:09:28.900 --> 00:09:31.600 Niste ni morali proći kroz ovu vežbu. 00:09:31.600 --> 00:09:33.800 Mogli ste bukvalno samo oduzeti ove od ovih elemenata 00:09:33.800 --> 00:09:35.200 i dobili biste iste vrednosti. 00:09:35.200 --> 00:09:38.500 Uradio sam ovo da bih vam pokazao da množenje 00:09:38.500 --> 00:09:41.300 matrice sa skalarom, tj sa vrednošću ili brojem 00:09:41.300 --> 00:09:46.600 je ništa drugo do množenje tog broja sa svakim od elemenata matrice. 00:09:46.600 --> 00:09:50.900 I šta... prema ovoj definiciji sabiranja matrica šta saznajemo? 00:09:50.900 --> 00:09:54.200 Pa saznajemo da obe matrice moraju biti iste veličine, 00:09:54.200 --> 00:09:58.700 definicijom načina na koji sabiramo. Dakle za primer 00:09:58.700 --> 00:10:01.100 možete sabrati ove dve matrice. Možete sabrati, nemam pojma, 00:10:01.100 --> 00:10:08.500 jedan, dva, tri, četiri, pet, šest, sedam, osam, devet ove matrice 00:10:08.500 --> 00:10:14.500 sa neznam, minus deset, minus sto, minus hiljadu. 00:10:14.500 --> 00:10:20.100 Lupam brojeve. Jedan, nula, nula, jedan, nula, jedan. 00:10:20.100 --> 00:10:21.800 Možete sabrati ove dve matrice zar ne? 00:10:21.800 --> 00:10:24.900 Jer imaju isti broj redova i kolona. 00:10:24.900 --> 00:10:30.400 Pa na primer ako bismo ih sabrali, prvi izraz ovde bi bio jedan plus minus deset, 00:10:30.400 --> 00:10:34.400 pa bi to bilo minus deset. Dva plus minus sto, minus devedeset i osam. 00:10:34.400 --> 00:10:39.500 Mislim da kapirate.l Imali biste tačno devet elemenata, tj tri reda od po tri kolone. 00:10:39.500 --> 00:10:44.800 Ali ne možete sabrati ove dve matrice. Ne možete sabrati babe i žabe... 00:10:44.800 --> 00:10:48.600 Da obojim ovo drugačije, samo da prikažem kao različito, 00:10:48.600 --> 00:10:52.500 Ne možete sabrati ovo plavo, ne možete sabrati ovu matricu 00:10:52.500 --> 00:11:03.400 minus tri dva sa matricom, nemam pojma, devet, sedam 00:11:03.400 --> 00:11:05.100 A zašto ih ne možete sabrati? 00:11:05.100 --> 00:11:07.700 Pa nemaju odgovarajući broj elemenata da bi se sabrale. 00:11:07.700 --> 00:11:11.600 Ova je jedan red sa dve kolone, jedan sa dva 00:11:11.600 --> 00:11:15.800 a ova je dva sa jedan. Dakle nisu istih DIMENZIJA 00:11:15.800 --> 00:11:18.700 pa ne možemo sabrati ove dve matrice. 00:11:18.700 --> 00:11:22.300 I još nešto usput, kada matrica ima... kada je jedna od njenih 00:11:22.300 --> 00:11:26.800 dimenzija jedan. Pa na primer ovde imate jedan red 00:11:26.800 --> 00:11:30.200 i više kolona. Ovo se zapravo zove redni vektor. 00:11:30.200 --> 00:11:32.500 Vektor je u suštini jednodimenzionalna matrica, gde je jedna 00:11:32.500 --> 00:11:35.700 od dimenzija jednaka jedan. Tako je ovo redni vektor i slično, 00:11:35.700 --> 00:11:38.800 Ovo je vektor kolona. To je samo dodatna terminologija 00:11:38.800 --> 00:11:41.400 koju trebate znati. Ako uzmete linearnu algebru i račun 00:11:41.400 --> 00:11:44.200 vaš profesor može koristiti slične termine i dobro je biti 00:11:44.200 --> 00:11:49.015 upoznat sa njima. U svakom slučaju guram ovo već 11 minuta pa ću nastaviti u sledećem videu. Vidimo se uskoro.