Poďme sa naučiť niečo o maticách. Takže, čo je, alebo na čo myslím, keď poviem slovo matica?
No, slovo matice je iba množným číslom slova matica.
Toto slovo asi poznáte skôr z Hollywoodu ako z matematiky. (Matrix - film)
Takže, čo je to matica? No, je to vlastne celkom jednoduchá vec.
Je to proste tabuľka čísiel. To je všetko.
Nakreslíme si maticu.
Táto modrá farba vyzerá ako zubná pasta, použijem inú.
Toto je napríklad matica. Povedzme, že, čo ja viem, vyberiem nejaké náhodné číslice;
päť, jedna, dva, tri, nula, mínus päť. Toto je matica.
Je to proste tabuľka čísiel, často ju pomenúvame nejakou premennou,
takže použijete veľké písmenko. Môžeme použiť veľké "A".
V niektorých knihách ho píšu tučne, takže tučné "A" môže byť matica.
A teraz ako ju zapisujeme. Takže, túto maticu nazývame,
podľa dohody, maticou typu "2x3".
A niekto dokonca píše "2x3" pod tučné písmeno, ktoré predstavuje maticu.
Čo je dva? A čo znamená tri?
No, dva je počet riadkov. Máme tu prvý riadok, druhý riadok. Toto je riadok a toto je riadok.
Máme tu tri stĺpce: jeden, dva, tri.
Preto o tejto matici hovoríme, že je typu 2x3.
Povedzme, že B, napíšem ho tučne,
ak je B matica typu 5x2, znamená to, že B bude mať,
moment, iba tam napíšem čísla: nula, mínus päť, desať.
Že má päť riadkov a dva stĺpce.
Tu budeme mať ďalší stĺpec. Povedzme: mínus desať, tri,
iba tam píšem náhodné čísla. Sedem, dva, pí.
Toto je matica typu 5x2.
Takže myslím, že už rozumiete tomu, že matica je proste tabuľka čísiel.
Môžete ju vyjadriť ako premennú pomocou
tučného veľkého písmena. Niekedy sem napíšete 2x3.
A dokonca môžete ukázať na konkrétny člen matice.
V tomto príklade, v tom hore, kde máme maticu A.
Keby chcel niekto poukázať, povedzme, na tento člen matice.
Kde je? Je to druhý riadok, je v druhom riadku.
A je v druhom stĺpci. Správne?
Toto je stĺpec jedna, toto je stĺpec dva. Rada jedna, rada dva.
Takže je v druhom rade a druhom stĺpci.
Takže môžeme napísať, že A, za to dáme
dva, dva, "A_2,2" sa rovná nule.
Alebo môžeme napísať, niekedy sa píše malé a,
"a2,2" sa rovná 0.
No čo je A? Oboje je to isté.
Robím to iba preto, aby som vám ukázal značenie,
toto je len ustálené značenie.
Takže koľko je "a1,3"?
To znamená, že sme v prvom riadku a v treťom stĺpci.
Prvý riadok: jedna, dva, tri. Je to táto hodnota, priamo tu.
Takže sa to rovná dvojke.
Toto je iba značenie, zápis toho, čo je matica;
je to tabuľka čísiel, ktorú môžeme značiť takto.
Týmto spôsobom môžeme vyjadriť jej prvky.
Možno sa pýtate
"Sal, toto je síce pekné, tabuľka čísiel,
super slová a super značenie. Ale k čomu je to dobré?"
A to je to zaujímavé.
Matica je iba vyjadrením dát. Je to spôsob, ako zapísať dáta.
To je ono. Tabuľka čísiel.
Ale môže byť použitá k vyjadreniu celej rady vecí.
Čo robíte v algebre,
najskôr ju používate k vyjadreniu lineárnych rovníc.
Ale neskôr sa naučíme, urobím o tom celú sériu videí,
aplikáciu matíc na celú kopu rôznych vecí.
Môže predstavovať; je to veľmi silný nástroj
a keď robíte počítačovú grafiku, matice... členy vyjadrujú pixle na obrazovke,
môžu predstavovať body v sústave súradníc,
môžu predstavovať... Všetko možné!
Existuje tuna vecí, ktorú môžu predstavovať.
Ale je dôležité si uvedomiť,
že matica nie je prírodná, prirodzená vec.
Nieje ako veľa matematických konceptov, ktoré sme sa učili.
Je to spôsob, ako vyjadriť matematické koncepty.
Spôsob ako vyjadriť hodnoty. Ale musíte definovať,
čo je to za hodnoty, čo predstavujú.
Ale vráťme sa trošku naspäť
k tomu, čo vážne matica predstavuje.
A, och, moja manželka je tu. Hľadá našu kartotéku.
Ale späť k tomu, čo som robil.
Späť k tomu, čo je to matica,
čo v skutočnosti predstavuje. Musíme sa naučiť pravidlá.
Pretože, ehm, prinajmenšom zo začiatku,
je to to najťažšie. Ako sčítať matice?
Ako ich vynásobiť? Čo je to inverzná matica?
Ako zistíme determinant matice?
Viem, že tieto slová môžu znieť neznámo, strašidelne.
Hlavne pokiaľ z nich ešte nieste zmätený už z hodín algebry.
Takže sa všetky tie veci najprv naučíme.
Všetko sú to naozaj pravidlá vymyslené ľuďmi.
A potom, neskôr, urobíme celú radu videí o tom, ako ich pochopiť,
čo v skutočnosti predstavujú. Poďme na to.
Takže povedzme, že chcem sčítať tieto dve matice.
Povedzme, že prvá z nich, zmením farbu. Povedzme,
urobím iba nejaké malé, aby som neplytval miestom.
Takže máme maticu: tri, mínus jeden, neviem,
dva, nula. Nazveme si ju A, veľké A.
Povedzme, že matica B, proste si vymýšľam čísla.
Matica B je: mínus sedem, dva, tri, päť.
Takže sa pýtam: Koľko je A,
urobím ju tučne, ako je to v učebniciach, koľko je A plus B?
Takže sčítam tieto dve matice. A ešte raz, toto sú ľuďmi vymyslené pravidlá.
Niekto definoval, ako sčítať matice.
Mohli to definovať nejako inak. Ale oni povedali:
budeme sčitovať matice tak,
ako vám to za chvíľku ukážem, je to užitočné pre celú radu vecí.
Takže keď sčítame dve matice, v podstate sčítame
odpovedajúce prvky. Ako to funguje?
Sčítame prvok, ktorý je v prvom riadku a prvom stĺpci
s prvkom, ktorý je v prvom riadku, prvom stĺpci. Dobre, máme tu
tri plus mínus sedem. Takže tri plus mínus sedem.
To bude prvok 1,1. Teraz prvok v riadku jeden, stĺpci dva
bude mínus jedna plus dva.
Dáme okolo nich zátvorky, aby sme rozoznali,
že to sú oddelené prvky. A určite uhádnete, ako budeme pokračovať.
Tento prvok bude dva plus tri. Tento posledný prvok bude nula plus päť.
To sa rovná čomu? Tri plus mínus sedem, to je mínus štyri.
Mínus jedna plus dva je jedna. Dva plus tri je päť.
A nula plus päť sa rovná päť. Takže tu to máme, takto niekto definoval súčet dvoch matíc.
A podľa tejto definície, určite vidíte, že to bude to isté
ako B plus A. Správne? A pamätajte, tu sa už musíme zamyslieť,
pretože už nesčítavam iba čísla. Viete, že jedna plus dva je to isté ako dva plus jedna.
Alebo akékoľvek dve čísla, nezáleží na tom, v akom poradí ich sčítavame.
Ale u matice to nie je ihneď samozrejmé. Ale keď to definujeme takto,
nezáleží na tom či sčítame A plus B alebo B plus A, správne?
Keby sme urobili B plus A, toto by bolo mínus sedem plus tri.
Toto by bolo dva plus mínus jedna. Výsledkom budú rovnaké čísla.
To je sčítavanie matíc.
A určite si viete predstaviť, že odčítanie matíc je v podstate to isté.
Urobíme... Viete čo, ukážeme si to. Koľko by bolo A mínus B?
Vidíte, toto je veľké B, je to matica,
preto to robím tučným. Je to to isté ako
A plus (mínus jedna krát B). Čo je B? B je
mínus sedem, dva, tri, päť. A teraz to vynásobíme mínus jedničkou,
keď násobíte maticu,
vynásobíte tím číslom každý jej prvok.
Takže toto sa rovná A, matica A, plus matica, každý prvok
vynásobíme mínus jedničkou. Takže sedem,
mínus dva, mínus tri, päť (Poznámka prekladateľa: mínus päť).
A teraz urobíme to isté čo tu hore. Vieme, čo je A.
Toto sa bude rovnať, pozrime sa na to, A je tu hore.
Takže tri plus sedem je desať, mínus jedna a mínus dva sa rovná mínus tri,
dva plus mínus tri bude mínus jedna a nula plus päť je päť (Poznámka prekladateľa: nula plus (mínus päť) je mínus päť).
A nemusíme na to ísť cez všetky tieto kroky.
Mohli by sme proste iba odčítať tieto prvky od týchto
a dostaneme tú samú hodnotu.
Urobil som to, aby som vám ukázal násobenie matice
reálnym číslom, nejaké reálne číslo krát matica
je proste vynásobenie každého členu tej matice tím číslom.
Podľa tejto definície sčítanie matíc, čo vieme?
No, vieme, že obe matice musia mať rovnakú veľkosť,
kvôli tomu ako sčítavame. Takže napríklad,
môžeme sčítať tieto dve matice. Môžeme sčítať, neviem,
jedna, dva, tri, štyri, päť, šesť, sedem, osem, deväť v tejto matici
s, neviem, mínus desať, mínus sto, mínus tisíc,
vymýšľam si čísla, jedna, nula, nula, jedna, nula, jedna.
Tieto dve matice môžeme sčítať, správne?
Majú rovnaký počet riadkov a rovnaký počet stĺpcov.
Takže, napríklad, keby som ich sčítal. Prvý prvok by bol jedna plus mínus desať,
teda mínus deväť. Dva plus mínus sto je mínus deväťdesiat osem.
Myslím, že to chápete. Máme presne deväť prvkov v troch radách a troch stĺpcoch.
Ale nemôžeme sčítať tieto dve matice.
Urobím ich inou farbou, aby som ukázal, čo sa líši.
Nemôžeme sčítať, túto modrú, nemôžeme sčítať túto maticu:
mínus tri, dva s maticou, neviem, deväť, sedem.
A prečo ich nemôžeme sčítať?
No, nemajú odpovedajúce prvky, ktoré by sme mohli sčítať.
Táto má jednu radu krát dva stĺpce, teda je typu 1x2,
a táto je 2x1. Takže nemajú rovnaké rozmery,
nemôžeme ich sčítať ani odčítať.
A iba ako poznámku, keď matica,... keď je jeden z jej rozmerov jedna.
Takže napríklad, tu máme jednu radu a viac stĺpcov.
Tomuto vlastne hovoríme lineárny vektor.
Vektor je v podstate jednorozmerná matica,
keď jeden z rozmerov je jedna. Takže toto je riadkový vektor
a podobne, toto je stĺpcový vektor. To je iba nejaká terminológia naviac,
ktorú by ste mali poznať. Až budete mať lineárnu algebru a calculus,
váš profesor môže tieto termíny používať a je dobré ich už poznať.
Teraz, už máme cez jedenásť minúť, takže budem pokračovať v ďalšom videu. Uvidíme sa.