Vamos aprender sobre matrizes. O que eu quero dizer quando digo matrizes?
Matrizes é apenas o plural de matriz.
O que provavelmente é uma palavra mais familiar por Hollywood do que pela matemática.
Então, o que é uma matriz? Bem, é realmente uma idéia muito simples.
É apenas uma tabela de números. Isso é tudo que uma matriz é.
Então, deixa eu desenhar uma matriz para você.
Eu não gosto do azul de pasta de dente, por isso, deixa eu usar outra cor.
Este é um exemplo de uma matriz. Eu vou escolher alguns números aleatoriamente:
cinco, um, dois, três, zero, menos cinco. Isto é uma matriz.
E tudo o que ela é: uma tabela de números. E muitas vezes, se você quiser atribuir uma variável para uma matriz, você
pode usar uma letra maiúscula. Então, você poderia usar "A" maiúsculo.
Alguns livros destacam em negrito. Assim, poderia ser um "A" maiúsculo negrito, nomeando uma matriz.
E, um pouco de notação, isso é chamado de matriz. Ou, poderíamos chamar
esta matriz, apenas por convenção, de uma matriz dois por três.
E, podemos escrever "2 por 3" abaixo da letra em negrito que é usado para representar a matriz
O que é dois? E o que é três?
Bem, dois é o número de linhas. Temos uma linha, duas linhas. Esta é uma linha, esta é uma linha.
Nós temos três colunas, uma, duas, três.
Então, é por isso que é chamado de matriz dois por três.
Quando você diz, você sabe, se eu dissesse que B... Vou colocá-lo em negrito.
Se B é uma matriz cinco por dois, o que significa que B teria... Eu posso... Deixe-me fazer uma...
Eu só vou digitar números: zero, menos cinco, dez.
Então, ela tem cinco linhas, tem duas colunas.
Teremos outra coluna aqui. Vejamos... Menos dez, três.
Estou colocando números aleatórios aqui. Sete, dois, pi.
Esta é uma matriz cinco por dois.
Então, eu acho que você agora tem uma espécie de convenção que todas as matrizes são uma
tabela de números. Você pode representá-la por uma variável
Você pode representar como uma letra maiúscula em negrito. Às vezes você escreveria dois por três aqui.
E, você pode efetivamente referenciar os termos de uma matriz.
Neste exemplo, no topo dele, onde temos a matriz A,
se alguém quisesse fazer referência a este elemento da matriz...
Então, o que é isso? Esta é a segunda linha. Está na linha dois.
E esta é a coluna dois. Certo?
Esta é a coluna um, esta é a coluna dois. Linha um, linha dois.
Assim, é na segunda linha, segunda coluna.
Assim, às vezes as pessoas vão certo que A, então escrevem, você sabe...
Dois vírgula dois é igual a zero.
Ou, poderiam escrever, às vezes em minúscula,
dois vírgula dois é igual a zero.
Bem, o que é A? Eles são exatamente a mesma coisa.
Eu só estou fazendo isso para expor a notação, porque
muitas destas coisas são apenas notação.
Então, o que é um... Um vírgula três?
Bem, isso significa que estamos na primeira linha e terceira coluna.
Primeira linha, um, dois, três. É este valor aqui.
Então, isso é igual a dois.
Então, isto é exatamente toda a notação que uma matriz é.
É uma tabela de números, ela pode ser representada desta forma.
Podemos representar os seus diferentes elementos dessa forma.
Então, você deve estar se perguntando...
"Sal, bem, isso é legal, uma tabela de números com palavras
imaginárias e notações imaginárias. Mas, o que isso tem de bom?"
E esse é o ponto interessante.
A matriz é apenas uma representação de dados. É apenas uma maneira de escrever dados.
Isso é tudo o que é. É uma tabela de números.
Mas, pode ser usado para representar um grande conjunto de fenômenos.
E se você está fazendo isso em sua classe de Algebra I ou de Algebra II,
provavelmente você está usando para representar equações lineares.
Mas, vamos aprender, mais tarde, que ela... E vou fazer todo um conjunto de vídeos
na aplicação de matrizes para várias coisas diferentes.
Mas, ela pode representar... É muito poderosa e se você está fazendo
computação gráfica, matrizes... Os elementos podem representar pixels em sua tela,
elas podem representar pontos no espaço de coordenadas,
elas podem representar... Quem sabe!
Há toneladas de coisas que elas podem representar.
Mas, o importante a perceber é que uma matriz
não é, não é um fenômeno natural.
Não é como um monte de conceitos matemáticos que fomos olhando.
É uma forma de representar um conceito matemático.
Ou, uma forma de representar valores. Mas você tem que
definir o que está representando.
Mas, vamos colocar isso em segundo plano um pouco
em termos do que ela realmente representa.
E, oh, minha esposa está aqui. Ela está olhando para o nosso gabinete.
Mas de qualquer forma, vamos voltar ao que eu estava fazendo.
Então, então, vamos colocar em segundo plano o que uma matriz
realmente representa. Vamos aprender as convenções.
Porque, penso eu, uhm, pelo menos inicialmente, que tende a ser
a parte mais difícil: como você soma matrizes?
Como você multiplica matrizes? Como você inverte uma matriz?
Como você encontra o determinante de uma matriz?
Eu sei que todas essas palavras podem soar estranho. A menos que
você já tenha sido confundido por elas em suas aulas de álgebra.
Então, eu vou ensinar todas essas coisas em primeiro lugar.
Que são todas convenções humanamente definidas.
E depois, mais tarde, vou fazer um monte de vídeos sobre a intuição por trás delas,
e o que elas realmente representam. Então, vamos começar.
Então, digamos que eu queria somar essas duas matrizes.
Digamos, o primeiro, deixe-me mudar de cores. Vamos dizer que...
Eu vou fazê-los relativamente pequenos, apenas, para não desperdiçar espaço.
Assim, você tem a matriz: um, menos três, eu não sei,
dois, zero. Eu não sei, vamos chamar de A maiúsculo.
E digamos matriz B, e eu estou apenas inventando números.
Matriz B é igual a: menos sete, dois, três, cinco.
Então, minha pergunta é: Quem é matriz A, estou fazendo
isso em negrito como fazem nos livros texto, mais a
matriz B? Então, eu estou somando duas matrizes. E, mais uma vez
esta é apenas uma convenção humana. Alguém definiu como soma de matrizes.
Poderiam ter definido de alguma outra forma. Mas, disseram:
nós vamos fazer somas de matrizes do jeito que eu estou
prestes a mostrar, porque é útil para muitas coisas.
Então, quando você soma duas matrizes você essencialmente soma
os elementos correspondentes. Então, como isso funciona?
Bem, você soma o elemento que está na linha um, coluna um com
o elemento que está linha um, coluna um. Certo, então, é
três mais menos sete. Então, três mais menos sete.
Isso vai ser o elemento "um menos um". Então, a linha um, coluna dois
será o elemento "menos um mais dois".
Coloque parênteses ao redor deles para que você saiba que estes são
elementos separados. E, você pode imaginar como isto continua.
Este elemento será "dois mais três". Este elemento... Este último elemento será "zero mais cinco".
Então, o que é igual a quê? Três mais menos sete, que é menos quatro.
Menos um mais dois, que é um. Dois mais três é cinco. E,
zero mais cinco é cinco. Então, aí temos que, é assim que nós, seres humanos, temos definido a soma de duas matrizes.
E, por esta definição, você pode imaginar que isso vai ser a mesma coisa
com B mais A. Certo? E lembre-se, isso é algo que temos de pensar
porque não estamos somando números. Você sabe que um mais dois é o mesmo que
dois mais um. Ou, quaisquer dois números normais, não importa a ordem
que você soma. Mas matrizes não são totalmente óbvias. Mas, ao defini-lo desta forma
não importa se fizermos A mais B ou B mais A. Certo?
Se fizéssemos B mais A, isso seria apenas dizer "menos sete mais três".
Isso seria apenas dizer "dois mais menos um". Mas, sairiam com os mesmos valores.
Essa é a adiçao de matrizes.
E, você pode imaginar, a subtração de matrizes é essencialmente a mesma coisa.
Nós... Bem, na verdade deixa eu te mostrar. Qual seria A menos B?
Bem, você também pode ver que, este é o B maiúsculo, é uma matriz.
É por isso que eu estou fazendo isso em negrito. Mas, isto é o mesmo
que A mais menos um, vezes B. Quem é a B? Bem, B é
menos sete, dois, três, cinco. E, quando você multiplica
um escalar, quando você multiplica apenas um número por uma matriz,
você multiplica esse número de vezes, cada um de seus elementos.
Então, isto é igual a A, a matriz A, além da matriz, basta multiplicar
menos um vezes cada elemento aqui. Assim, sete,
menos dois, menos três, cinco. E então podemos fazer
o que nós fizemos lá em cima. Nós sabemos quem é A. Assim,
este seria igual, vamos ver, A está aqui em cima. Então, três mais
sete é dez, menos um mais menos dois é menos três,
dois mais menos três é menos um e zero mais cinco é cinco.
E, você não precisa fazer assim.
Você poderia ter, literalmente, apenas subtraído esses elementos a partir destes.
Você teria obtido o mesmo valor.
Eu fiz isso porque queria mostrar também que multiplicar
uma escalar, ou apenas um valor ou um número, vezes uma matriz
é só multiplicar esse número de vezes, todos os elementos dessa matriz.
E, então o que... Por esta definição de adição de matrizes o que nós sabemos?
Bem, sabemos que ambas as matrizes têm de ser do mesmo tamanho,
por esta definição da forma como estamos somando. Assim, por exemplo
você pode somar estas duas matrizes. Você pode somar, eu não sei...
Um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove a esta matriz.
Eu não sei... menos dez, menos cem, menos mil.
Eu estou fazendo os números. Um, zero, zero, um, zero, um.
Você pode somar estas duas matrizes. Certo?
Porque eles têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas.
Assim, por exemplo, se você fosse para somá-las. O primeiro termo aqui seria um mais menos dez,
assim, seria menos nove. Menos dois mais cem, menos 98.
Acredito que você pegou a idéia. Você teria exatamente nove elementos e teria três linhas e três colunas.
Mas, você não pode somar essas duas matrizes. Você não pode somar...
Deixe-me fazê-lo em uma cor diferente, só para mostrar que é diferente,
Você não pode somar, este azul, você não pode somar esta matriz:
menos três, dois para a matriz, eu não sei, nove, sete.
E porque nao?
Bem, eles não têm elementos correspondentes para somar.
Esta é uma linha, um por duas colunas, este é um por dois
e ista é de dois por um. Assim, elas não têm as mesmas dimensões.
Por isso não podemos somar ou subtrair estas matrizes.
E, uma coisa, quando uma matriz tem... quando uma das suas
dimensões é um. Assim, por exemplo, aqui você tem uma linha
e várias colunas. Esta é realmente chamado de vetor linha.
Um vetor é essencialmente uma matriz unidimensional, onde uma
das dimensões é um. Então, este é um vetor linha e da mesma forma,
este é um vetor coluna. Isso é apenas uma terminologia a mais
que você deve saber. Uhm, se você tomar álgebra linear e cálculo
o professor pode usar esses termos e é bom para ser
familiarizado com ele. Enfim, eu estou com 11 minutos, por isso vou continuar no próximo vídeo. Até logo.