Nauczmy się macierzy. Czym więc są, cóż, co mam na myśli mówiąc macierze?
Macierze to forma mnoga od słowa macierz.
Termin ten prawdopodobnie jest wam znany bardziej z Hollywood niż z dziedzin matematyki
Więc czym jest macierz? Jest to całkiem prosta sprawa.
Jest to po prostu tabela cyfr. To wszystko czym jest macierz.
Pozwólcie, że to dla was narysuje.
Nie lubię tego koloru pasty do zębów, więc zmienię na inny
To jest przykład macierzy. Wybiorę jakieś losowe liczby
Pięć, jeden, dwa, trzy, zero, minus pięć. To jest macierz
I to wszystko czym jest macierz - tablicą cyfr. Często jeśli chcecie nazwać macierz zmienną
to używacie dużej litery. Na przykład duże 'A'
Czasami w niektórych książkach jest to zaznaczone dodatkowym pogrubieniem. Więc macierz może być zaznaczona pogrubioną literą 'A'
nazwaliby, albo MY byśmy nazwali
to macierzą dwa na trzy
i czasami rzeczywiście zapisują dwa na trzy (2x3) pod pogrubioną literą, która jest oznaczeniem macierzy.
Czym jest dwójka i czym jest trójka?
Dwójka jest to liczba wierszy. Mamy jeden wiersz, drugi wiersz. To jest wiersz i to jest wiersz
Mamy trzy kolumny: jedna, druga, trzecia.
Dlatego nazywamy to macierzą dwa na trzy.
Jeśli powiem, że B i zaznaczę to pogrubieniem
Jeśli B jest macierzą pięć na dwa (5x2), to oznacza, że B posiada...
Po prostu napiszę numery: zero, minus pięć, dziesięć
Ma więc pięć rzędów i dwie kolumny
więc dopiszę jeszcze jedną kolumnę tutaj.
Wpisuje po prostu dowolne liczby. Siedem, dwa, pi
Jest to macierz pięć na dwa
Teraz możecie mieć pojęcie że to czym jest macierz
to tabela cyfr. Kiedy przedstawiamy ją w formie zmiennej
można ją zapisać jako dużą pogrubioną literę. Czasami dodając dwa na trzy pod nią.
I możecie odnieść się do części macierzy
W tym przykładzie, gdzie mamy macierz A
Jeśli ktoś chciałby odnieść się do, powiedzmy, tego elementu macierzy
Czym to jest? Jest to w drugim rzędzie.
I w kolumnie drugiej, racja?
To jest kolumna pierwsza, to jest kolumna druga. Rząd pierwszy, rząd drugi
Więc jest w drugim rzędzie, drugiej kolumnie.
Czasem ludzie będą pisać, że 'A'
dwa przecinek dwa równa się zero
albo mogą napisać małe 'a'
dwa przecinek dwa równa się zero
Czym jest 'A'? To jest to samo.
Robię to żeby uwidocznić zapis, ponieważ
duża część tego to po prostu zapis
Więc, czym jest 'a' 1,3?
Oznacza to że jesteśmy w pierwszym rzędzie i trzeciej kolumnie
Pierwszy rząd: raz, dwa, trzy. Ta wartość tutaj
Więc to równa się 2.
Więc to wszystko to zapis czym tak na prawdę macierz jest
Jest to tabela numerów. Może być przedstawiona w ten sposób
Możemy przedstawić jej poszczególne elementy w ten sposób
Więc możecie zadawać sobie pytanie
"Sal, wiesz, to fajnie, tabela numerów ze spoko
nazwami i spoko zapisem ale do czego to potrzebne?"
I to jest interesujący punkt
Macierz jest przestawieniem danych. Jest sposobem zapisu danych.
To wszystko czym jest. Tabelą cyfr.
Może jednak zostać użyty do przedstawienia całej gamy zjawisk
I jeśli robisz to na zajęciach z algebry
to po to, aby przedstawić równania liniowe
Ale później się nauczymy, i zrobie na ten temat zestaw filmów
na temat zastosowania macierzy w różnych sferach.
Ale może przedstawiać. Jest to potężne narzędzie i jeśli zajmujesz się
grafiką komputerową, elementy macierzy mogą przedstawiać pixele na twoim ekranie
mogą przedstawiać koordynaty punktów
mogą przedstawiać... Kto wie!
Jest mnóstwo rzeczy, które mogą przedstawiać.
Ale ważna rzecz to zdać sobie sprawę, że macierz
nie jest naturalnym fenomenem.
Nie jest jak duża część koncepcji matematycznych, którym się przyglądaliśmy.
Jest sposobem na przedstawienie tych koncepcji matematycznych.
Albo sposobem na przedstawianie wartości. Trzeba jednak
określić co przedstawiamy.
Przenieśmy jednak na dalszy plan
to, co tak na prawdę przedstawia macierz,
I ... o moja żona tu jest.
Tak czy inaczej. Wróćmy do tego co robiłem
Przenieśmy na dalszy plan to co macierz
przedstawia. Nauczmy się więc operacji
Ponieważ myślę, że początkowo
jest to najtrudniejsza część. Jak dodajemy macierze?
Jak mnożymy macierze? Jak odwracamy macierze?
Jak określamy wyznacznik macierzy?
Wiem, że wszystkie te terminy mogą brzmieć nieznajomo, chyba że
zostaliście już nimi zakłopotani na lekcjach algebry
Nauczę was więc wszystkich tych rzeczy na początku
Które to są określonymi przez nas operacjami.
Później natomiast zrobię całą masę filmów o stronie technicznej tych operacji
i co tak na prawdę przedstawiają. Zaczynajmy więc
Powiedzmy, że chce dodać dwie macierze
Pierwszą, zmienię kolor.
Narysuje je stosunkowo małe żeby nie marnować miejsca
Mamy macierz : 3, -1
2,0. Nazwijmy ją 'A'
I macierz 'B'. Po prostu wymyślam cyfry
Macierz B to : -7,,2,3,5
Moje pytanie więc brzmi: Czym jest macierz 'A' ...
(i rysuje to pogrubione tak jak robią to w podręcznikach) dodać
macierz 'B'. Dodaje więc dwie macierze. I jeszcze raz
to jest operacja która została opisana przez ludzi.
Mogli tę operację opisać inaczej. Ale powiedzieli
"Będziemy dodawać macierze w taki sposób, jaki
wam pokażę, ponieważ jest to wygodne"
Kiedy dodajemy dwie macierze po prostu dodajemy
odpowiadające im elementy. Więc jak to działa?
Dodajesz element, który jest w wierszu pierwszym, kolumnie pierwszej do
elementu który jest w wierszu pierwszym, kolumnie pierwszej. Dobrze, więc, to
trzy plus minus siedem. Więc, trzy plus minus siedem.
To będzie element jeden-jeden. Teraz, element z wiersza pierwszego, kolumny drugiej
to będzie minus jeden plus dwa.
Dodajmy nawiasy wokół nich, żebyś wiedział, że to są
oddzielne elementy. Możesz zgadnąć, co będzie dalej.
Ten element to będzie dwa plus trzy. Ten element, ten ostatni element to będzie zero plus pięć.
Więc, czemu się to równa? Trzy plus minus siedem, to jest minus cztery.
Minus jeden plus dwa, to jeden. Dwa plus trzy to pięć, i
zero plus pięć to pięć. Mamy to, tak ludzie zdefiniowali dodawanie dwóch macierzy.
Poprzez tą definicję możesz wyobrazić sobie, że będzie to to samo
co B plus A. Prawda? I pamiętaj, to jest coś, nad czym musimy pomyśleć
ponieważ nie dodajemy już liczb. Wiesz, że jeden plus dwa to to samo co
dwa plus jeden. Lub, jakiekolwiek dwie zwykłe liczby, nieważne w jakiej kolejności
je dodasz. Ale macierze nie są tak oczywiste. Jednak jeśli zdefiniujesz to w ten sposób
to nieważne czy dodajemy A do B czy B do A. Prawda?
Jeśli dodamy B do A, to będzie po prostu minus siedem plus trzy.
To po prostu będzie dwa plus minus jeden. Ale, wyjdą z tego te same wartości.
To jest dodawanie macierzy.
I możesz sobie wyobrazić odejmowanie macierzy, to właściwie ta sama sprawa.
Chcielibyśmy... Właściwie, pokażę ci to. Ile to będzie A minus B?
Właściwie, możesz na to spojrzeć z tej strony, że B to macierz
właśnie dlatego robię ją pogrubioną. Ale to ta sama rzecz, co:
A plus minus 1 razy B. Co to jest B? B to:
minus siedem, dwa, trzy, pięć. I, gdy mnożysz
skalar, mnożysz po prostu liczbę razy macierz,
mnożysz tą liczbę razy każdy z elementów macierzy.
Więc, to się równa A, macierz A, plus macierz, pomnożymy