1 00:00:01,300 --> 00:00:06,800 Laten we leren over matrices, Laat me uitleggen wat ik bedoel met matrices. 2 00:00:06,800 --> 00:00:10,400 Nou, matrices is gewoon meervoud voor matrix 3 00:00:10,400 --> 00:00:15,700 Je bent vast bekend met dit woord, eerder dankzij Hollywood dan dankzij de wiskunde. 4 00:00:15,700 --> 00:00:20,900 Goed, wat is een matrix? Het is eigenlijk een heel simpel idee. 5 00:00:20,900 --> 00:00:24,500 Het is gewoon een tabel met getallen. Dat is alles. 6 00:00:24,500 --> 00:00:27,800 Laat me een matrix tekenen. 7 00:00:27,800 --> 00:00:30,300 Ik vind deze tandpasta blauw kleur niet mooi, laat me een andere kleur nemen. 8 00:00:30,300 --> 00:00:37,600 Dit is een voorbeeld van een matrix. Ik neem nu wat willekeurige getallen; 9 00:00:37,600 --> 00:00:46,000 Vijf, een, twee, nul, min vijf. Dit is een matrix. 10 00:00:46,000 --> 00:00:51,500 Het is gewoon een tabel met getallen. En vaak wil je een variabele hebben voor een matrix. 11 00:00:51,500 --> 00:00:54,600 Je gebruikt daarvoor een hoofdletter. Bijvoorbeeld hoofdletter 'A'. 12 00:00:54,600 --> 00:01:00,100 In sommige boeken maken ze de hoofdletter ook nog dikgedrukt. Dus de dikgedrukte hoofdletter 'A', is dus een matrix. 13 00:01:00,100 --> 00:01:04,500 En nu leer ik je iets over de notatie. Matrix 'A' noemen we 14 00:01:04,500 --> 00:01:10,100 volgens afspraak een 2 bij 3 matrix. 15 00:01:10,100 --> 00:01:16,500 En soms schrijft men 2 x 3 onderaan de hoofdletter die de matrix vertegenwoordigt. 16 00:01:16,500 --> 00:01:18,400 Wat is nu 2 en wat is 3? 17 00:01:18,400 --> 00:01:23,200 Nou, 2 is het aantal rijen. We hebben 1, 2 rijen. Dit is een rij en dit is een rij. 18 00:01:23,200 --> 00:01:26,300 We hebben drie kolommen, 1, 2, 3. 19 00:01:26,300 --> 00:01:28,500 Dit is dus wat we noemen een 2 bij 3 matrix. 20 00:01:28,500 --> 00:01:34,200 Een ander voorbeeld, B en ik maak het extra dikgedrukt. 21 00:01:34,200 --> 00:01:42,677 Als B een 5 bij 2 matrix is dan betekent dat, ik maak er een. 22 00:01:42,677 --> 00:01:46,892 Ik voer gewoon wat getallen in; 0, -5, 10. 23 00:01:49,300 --> 00:01:52,600 De matrix heeft 5 rijen en 2 kolommen. 24 00:01:52,600 --> 00:01:56,000 Hier is nog een kolom. -10, 3, 25 00:01:56,000 --> 00:02:04,100 Ik vul gewoon willekeurige getallen in. 7, 2 en het getal pi. 26 00:02:04,100 --> 00:02:07,000 Dit is een 5 bij 2 matrix. 27 00:02:07,000 --> 00:02:11,700 Nu heb je een idee dat alles wat een matrix is 28 00:02:11,700 --> 00:02:15,000 is een tabel met getallen. Die je kunt weergeven met een 29 00:02:15,000 --> 00:02:19,100 Dikgedrukte hoofdletter. Soms schrijf je 2 bij 3 er bij. 30 00:02:19,100 --> 00:02:22,700 En je kunt ook verwijzen naar de elementen van een matrix. 31 00:02:22,700 --> 00:02:26,300 Bijvoorbeeld, van matrix A. 32 00:02:26,300 --> 00:02:32,600 Als iemand naar dit element wil verwijzen. 33 00:02:32,600 --> 00:02:37,400 Dit getal bevind zich in de tweede rij. 34 00:02:37,400 --> 00:02:39,100 En in de tweede kolom. Klopt? 35 00:02:39,100 --> 00:02:42,500 Dit is kolom 1, kolom 2. Rij 1 rij 2. 36 00:02:42,500 --> 00:02:45,100 Dus het getal bevind zich in het element in de tweede rij en de tweede kolom. 37 00:02:45,100 --> 00:02:51,900 Men schrijft dan, hoofdletter A 38 00:02:51,900 --> 00:02:58,500 2 komma 2 = gelijk aan 0 39 00:02:58,500 --> 00:03:02,100 Of wat ook kan is kleine letter a, 40 00:03:02,100 --> 00:03:07,100 2 komma 2 = gelijk aan nul 41 00:03:07,100 --> 00:03:11,700 Wat is A? Deze zijn eigenlijk gewoon hetzelfde. 42 00:03:11,700 --> 00:03:14,200 Ik doe dit om je te laten zien 43 00:03:14,200 --> 00:03:16,100 dat dit gewoon verschillende manieren van opschrijven zijn. 44 00:03:16,100 --> 00:03:21,800 Goed wat is a 1,3? 45 00:03:21,800 --> 00:03:24,600 Dat betekent dat we in de eerste rij en de derde kolom zijn. 46 00:03:24,600 --> 00:03:27,600 Eerste rij; 1, 2, 3. Het is deze waarde hier. 47 00:03:27,600 --> 00:03:29,200 Dus gelijk aan 2. 48 00:03:29,200 --> 00:03:32,100 Dit zijn allemaal manieren van het weergeven van een matrix. 49 00:03:32,100 --> 00:03:34,100 Het is een tabel met getallen en het kan zo worden opgeschreven. 50 00:03:34,100 --> 00:03:37,000 En de verschillende elementen kunnen we zo aangeven. 51 00:03:37,000 --> 00:03:38,300 Nu vraag je je misschien af 52 00:03:38,300 --> 00:03:41,600 "Sal, dat is leuk en aardig, een tabel met getallen 53 00:03:41,600 --> 00:03:44,200 met sjieke namen en notaties. Maar waar gebruik je het voor?" 54 00:03:44,212 --> 00:03:46,100 En dat is het interessante. 55 00:03:46,100 --> 00:03:51,600 Een matrix is gewoon een representatie van gegevens oftewel data. Het is gewoon een manier om data op te schrijven. 56 00:03:51,600 --> 00:03:53,600 Dat is alles. Een tabel met getallen 57 00:03:53,600 --> 00:03:57,800 die heel veel verschillende dingen kunnen voorstellen. 58 00:03:57,800 --> 00:04:01,500 Misschien gebruik je het bij wiskunde op school 59 00:04:01,500 --> 00:04:03,600 en dan is het vaak gebruikt om lineaire vergelijkingen op te lossen. 60 00:04:03,600 --> 00:04:07,854 Maar we zullen er later achter komen (tijdens de andere videos) 61 00:04:07,869 --> 00:04:10,600 dat matrices kunnen worden toegepast op veel verschillende situaties. 62 00:04:10,600 --> 00:04:14,500 Het kan veel verschillende dingen representeren en dan is het ontzettend handig 63 00:04:14,500 --> 00:04:19,100 bijvoorbeeld bij computer animatie, de waarden van pixels van een scherm kunnen weergegeven worden door de elementen van een matrix, 64 00:04:19,100 --> 00:04:21,400 elementen kunnen ook coördinaten in een ruimte voorstellen, 65 00:04:21,400 --> 00:04:23,000 ze kunnen van alles voorstellen! 66 00:04:23,000 --> 00:04:24,900 Er zijn honderden dingen die ze kunnen representeren. 67 00:04:24,900 --> 00:04:27,600 Maar, het belangrijkste om te onthouden is dat een matrix 68 00:04:27,600 --> 00:04:30,500 niet een natuurlijk fenomeen is 69 00:04:30,500 --> 00:04:34,700 niet als de meeste wiskundige concepten waar we tot nu toe over hebben gesproken. 70 00:04:34,700 --> 00:04:37,700 Het is eerder een manier om wiskundige concepten weer te geven. 71 00:04:37,700 --> 00:04:40,400 Of een manier om data weer te geven. Je moet natuurlijk 72 00:04:40,400 --> 00:04:43,000 bepalen wat het representeert. 73 00:04:43,000 --> 00:04:44,700 Later zullen we verder praten 74 00:04:44,700 --> 00:04:48,300 over wat matrices kunnen representeren. 75 00:04:48,300 --> 00:04:52,200 En, oh, mijn vrouw komt net binnen. Ze is op zoek naar de archiefkast. 76 00:04:52,200 --> 00:04:54,500 Maar goed, terug naar waar ik mee bezig was. 77 00:04:54,500 --> 00:04:57,100 Later meer over wat een matrix is 78 00:04:57,100 --> 00:04:59,400 Laten we eerst leren ze te gebruiken. 79 00:04:59,400 --> 00:05:02,200 Want ik denk dat dat in het begin 80 00:05:02,200 --> 00:05:04,015 het lastigste is. Hoe tel je 2 matrices bij elkaar op? 81 00:05:04,015 --> 00:05:06,408 Hoe vermenigvuldig je ze en hoe kun je ze inverteren (omdraaien)? 82 00:05:06,408 --> 00:05:09,069 Hoe vind je de zogenaamde determinant van een matrix? 83 00:05:09,069 --> 00:05:11,400 Ik weet dat de meeste van deze woorden onbekend klinken. 84 00:05:11,400 --> 00:05:13,700 Tenzij je er al een keertje door bent verward tijdens de wiskunde les. 85 00:05:13,700 --> 00:05:15,900 Dus ga ik je eerst al deze dingen leren. 86 00:05:15,900 --> 00:05:18,400 En al deze conventies zijn slechts menselijke afspraken. 87 00:05:18,400 --> 00:05:22,700 En later volgen er een heleboel videos over de ideeën er achter, 88 00:05:22,700 --> 00:05:26,700 en wat ze eigenlijk voorstellen. Goed, laten we beginnen. 89 00:05:26,700 --> 00:05:29,700 Stel ik wil twee matrices optellen. 90 00:05:29,700 --> 00:05:33,600 De eerste, even van kleur verwisselen, laten we zeggen, 91 00:05:33,600 --> 00:05:37,700 en ik maak kleine matrices om ruimte te besparen. 92 00:05:37,700 --> 00:05:42,500 Dus, je hebt de matrix; 3, -1, en... 93 00:05:42,500 --> 00:05:49,100 2, 0. En die noemen we bijvoorbeeld hoofdletter A. 94 00:05:49,100 --> 00:05:54,400 En laten we zeggen matrix B, met willekeurige getallen. 95 00:05:54,400 --> 00:06:06,300 Matrix B is gelijk aan; -7, 2, 3, 5. 96 00:06:06,300 --> 00:06:14,000 Mijn vraag aan jou is: wat is A + B? 97 00:06:14,000 --> 00:06:16,300 Ik maak het dikgedrukt als in de lesboeken 98 00:06:16,300 --> 00:06:21,700 Ik tel dus twee matrices bij elkaar op. 99 00:06:21,700 --> 00:06:25,700 En nogmaals dit is hoe we hebben afgesproken het te doen. 100 00:06:25,700 --> 00:06:27,500 Dit is hoe we matrices optellen omdat dit de meest handige manier is; 101 00:06:27,500 --> 00:06:29,846 Iemand zei op een dag we maken matrices en we tellen ze op deze manier op 102 00:06:29,846 --> 00:06:32,500 De manier die ik je zo laat zien. 103 00:06:32,500 --> 00:06:35,000 Als je matrices optelt, tel je in feite de overeenkomstige elementen 104 00:06:35,000 --> 00:06:40,000 bij elkaar op. Hoe gaat dat? 105 00:06:40,000 --> 00:06:43,000 Nou, je neemt het element in rij 1, kolom 1 106 00:06:43,000 --> 00:06:46,100 En het corresponderende element in matrix B in rij 1 en kolom 1. 107 00:06:46,100 --> 00:06:50,500 Goed dat is dus 3 plus -7 108 00:06:50,500 --> 00:06:55,000 Dat wordt dan het nieuwe 1,1 element. Daarna, rij 1 kolom 2 109 00:06:55,000 --> 00:06:58,608 dat is dan -1 plus 2. 110 00:06:58,608 --> 00:07:01,700 Ik zet ze tussen haakjes zodat je weet dat 111 00:07:01,700 --> 00:07:05,400 ze aparte elementen voorstellen. En je kunt je voorstellen hoe dit verder gaat. 112 00:07:05,400 --> 00:07:20,700 Dit element is 2 plus 3, Dit element is 0 plus 5. 113 00:07:20,700 --> 00:07:26,700 Dat is dus 3 plus -7 = -4 114 00:07:26,700 --> 00:07:32,000 -1 plus 2, dat is 1. 2 + 3 = 5. En, 115 00:07:32,000 --> 00:07:39,800 0 plus 5 is 5. Dit is hoe men heeft bepaald dat matrices worden opgeteld. 116 00:07:39,800 --> 00:07:43,200 En op deze manier kun je je voorstellen 117 00:07:43,200 --> 00:07:49,100 dat A + B hetzelfde is als B + A, nietwaar? En onthoud, dit is iets waar we over na moeten denken 118 00:07:49,100 --> 00:07:53,000 want we tellen niet meer zomaar nummers op. Je weet dat 1 plus 2 hetzelfde is als 119 00:07:53,000 --> 00:07:56,700 2 plus 1. Dat geldt voor ieder ander normaal getal. Het maakt niet uit 120 00:07:56,700 --> 00:07:59,900 in welke volgorde je ze optelt. Maar voor matrices is dat niet altijd voor de hand liggend. Maar in dit geval zie je meteen 121 00:07:59,900 --> 00:08:03,700 dat het niet uitmaakt of je A bij B optelt of andersom. Toch? 122 00:08:03,700 --> 00:08:06,600 We doen nu B + A, dat is gewoon -7 plus 3. 123 00:08:06,600 --> 00:08:10,100 Dit is gewoon 2 plus -1. En er komen weer dezelfde getallen uit. 124 00:08:10,100 --> 00:08:11,900 Dit is hoe je matrices optelt. 125 00:08:11,900 --> 00:08:15,300 En je kunt je voorstellen dat matrices van elkaar aftrekken hetzelfde is. 126 00:08:15,300 --> 00:08:21,592 Laat me je een truukje zien. We willen A - B uitrekenen. 127 00:08:27,038 --> 00:08:32,300 Dat kun je ook als volgt schrijven, hoofdletter B is een matrix 128 00:08:32,300 --> 00:08:34,800 Dikgedrukt. Dat is hetzelfde als 129 00:08:34,800 --> 00:08:42,800 A plus -1 vermenigvuldigt met B. B is 130 00:08:42,800 --> 00:08:47,800 -7, 2, 3, 5. En als je dit vermenigvuldigt met 131 00:08:47,800 --> 00:08:50,400 een scalair (een enkel getal), 132 00:08:50,400 --> 00:08:52,700 dan doe je dat voor elk element 133 00:08:52,700 --> 00:08:58,400 Dus we krijgen nu A plus de matrix B waarvan 134 00:08:58,400 --> 00:09:02,400 elk element is vermenigvuldigt met -1. Dus 7, 135 00:09:02,400 --> 00:09:08,400 -2, -3, -5. En vervolgens 136 00:09:08,400 --> 00:09:11,700 doen we hetzelfde als eerst. We weten wat A is 137 00:09:11,700 --> 00:09:15,800 dus dit is opgeteld. 3 + 138 00:09:15,800 --> 00:09:21,200 7 = 10, -1 plus -2 is -3, 139 00:09:21,200 --> 00:09:28,900 2 plus -3 = -1 en 0 plus -5 is -5 (foutje op het bord). 140 00:09:28,900 --> 00:09:31,600 Je had dit natuurlijk ook anders kunnen doen 141 00:09:31,600 --> 00:09:33,800 Je had ook elk element apart van elkaar af kunnen trekken 142 00:09:33,800 --> 00:09:35,200 en dan was er hetzelfde uitgekomen. 143 00:09:35,200 --> 00:09:38,500 Ik deed het op deze manier om je te laten zien 144 00:09:38,500 --> 00:09:41,300 dat een matrix maal een scalair (een enkel getal) 145 00:09:41,300 --> 00:09:46,600 hetzelfde is als elk element van de matrix vermenigvuldigen met dat enkele getal. 146 00:09:46,600 --> 00:09:50,900 Wat kunnen we nu zeggen over het optellen van matrices? 147 00:09:50,900 --> 00:09:54,200 Nou, dat je alleen matrices kunt optellen als ze 148 00:09:54,200 --> 00:09:58,700 dezelfde grootte hebben. Bijvoorbeeld, 149 00:09:58,700 --> 00:10:01,100 Deze twee matrices kun je optellen 150 00:10:01,100 --> 00:10:08,500 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 met deze matrix; 151 00:10:08,500 --> 00:10:14,500 -10, -100, -10000 152 00:10:14,500 --> 00:10:20,100 Ik verzin gewoon getallen. 1, 0, 0, 1, 0, 1. 153 00:10:20,100 --> 00:10:21,800 Deze kun je optellen, toch? 154 00:10:21,800 --> 00:10:24,900 omdat ze hetzelfde aantal rijen en hetzelfde aantal kolommen hebben. 155 00:10:24,900 --> 00:10:30,400 Laten we ze optellen. Het eerste element wordt 1 plus -10, 156 00:10:30,400 --> 00:10:34,400 dus dat wordt -9. 2 plus -100 wordt -98 157 00:10:34,400 --> 00:10:39,500 Ik denk dat je het begrijpt. Je krijgt dus weer drie rijen, drie kolommen en negen elementen. 158 00:10:39,500 --> 00:10:44,800 Deze matrices kun je niet optellen... 159 00:10:44,800 --> 00:10:48,600 Even in een andere kleur, 160 00:10:48,600 --> 00:10:52,500 Je kunt deze blauwe matrix niet optellen bij deze matrix; 161 00:10:52,500 --> 00:11:03,400 -3, 2 optellen bij 9, 7 162 00:11:03,400 --> 00:11:05,100 En waarom niet? 163 00:11:05,100 --> 00:11:07,700 Omdat ze niet dezelfde overeenkomstige elementen hebben 164 00:11:07,700 --> 00:11:11,600 Dit een een matrix met 1 rij en 2 kolommen en 165 00:11:11,600 --> 00:11:15,800 deze heeft 2 rijen en 1 kolom. Dus ze hebben niet dezelfde dimensies. 166 00:11:15,800 --> 00:11:18,700 Deze matrices kun je niet optellen of aftrekken. 167 00:11:18,700 --> 00:11:22,300 Even een kanttekening, als een van de dimensies (rijen of kolommen) van een matrix 168 00:11:22,300 --> 00:11:26,800 gelijk is aan 1. Bijvoorbeeld 1 rij 169 00:11:26,800 --> 00:11:30,200 en meerdere kolommen. Dan noemen we dat een rij vector. 170 00:11:30,200 --> 00:11:32,500 Een vector is gewoon een eendimensionale matrix 171 00:11:32,500 --> 00:11:35,700 Dit is dus een rij vector 172 00:11:35,700 --> 00:11:38,800 en dit een kolom vector. Dit is gewoon wat extra terminologie 173 00:11:38,800 --> 00:11:41,400 die je moet weten. Als je bijvoorbeeld lineaire algebra en calculus krijgt op school 174 00:11:41,400 --> 00:11:44,200 en je leraar deze termen gebruikt dan is het handig 175 00:11:44,200 --> 00:11:49,015 om ze te kennen. Maar goed, ik ben al over de 11 minuten heeb en dus zal ik hiermee verder gaan in de volgende video. Tot ziens.