WEBVTT 00:00:01.300 --> 00:00:06.800 Découvrons les matrices. Donc, que veux-je dire quand je dis matrices ? 00:00:06.800 --> 00:00:10.400 En fait, matrices est juste le pluriel de matrice. 00:00:10.400 --> 00:00:15.700 Qui est probablement un mot (NDT: Matrix) que vous connaissez plus par Hollywood que par les mathématiques. 00:00:15.700 --> 00:00:20.900 Donc, qu'est-ce qu'une matrice ? En fait c'est un concept tout simple. 00:00:20.900 --> 00:00:24.500 Ce n'est qu'un tableau de nombres. C'est tout ce qu'est une matrice. 00:00:24.500 --> 00:00:27.800 Donc, laissez-moi vous tracer une matrice. 00:00:27.800 --> 00:00:30.300 Je n'aime pas ce bleu dentifrice, donc je vais prendre une autre couleur. 00:00:30.300 --> 00:00:37.600 Voici un exemple de matrice. Si je dis, je ne sais pas, je vais choisir des nombres au hasard; 00:00:37.600 --> 00:00:46.000 cinq, un, deux, trois, moins cinq. Voici une matrice. 00:00:46.000 --> 00:00:51.500 Et c'est juste un tableau de nombres, souvent si vous voulez une variable pour nommer la matrice, vous 00:00:51.500 --> 00:00:54.600 prendrez une lettre majuscule. Donc on pourrait prendre un «A» majuscule. 00:00:54.600 --> 00:01:00.100 Parfois dans les livres les caractères gras sont utilisés. Ça pourrait donc être un «A» en gras, ça serait une matrice. 00:01:00.100 --> 00:01:04.500 Et simplement un peu de notation. On appellerait cela matrice. Ou nous appellerions 00:01:04.500 --> 00:01:10.100 cette matrice, par convention, cette matrice s'appellerait une matrice deux par trois. 00:01:10.100 --> 00:01:16.500 Et parfois on écrit «2x3» sous la lettre grasse utilisé pour représenter la matrice. 00:01:16.500 --> 00:01:18.400 Qu'est-ce que deux ? Et qu'est-ce que trois ? 00:01:18.400 --> 00:01:23.200 Bon, deux est le nombre de lignes. Nous avons une rangée, deux rangées. Ceci est une rangée, ceci est une rangée. 00:01:23.200 --> 00:01:26.300 Nous avons trois colonnes; une, deux, trois. 00:01:26.300 --> 00:01:28.500 C'est pourquoi on l'appelle matrice deux par trois. 00:01:28.500 --> 00:01:34.200 Quand vous dites, vous savez, si je dis, si je dis que B, je vais mettre la lettre plus grasse. 00:01:34.200 --> 00:01:42.677 Si B est une matrice cinq par deux, ceci signifie que B aurait, je peux, laissez-moi en faire une. 00:01:42.677 --> 00:01:46.892 Je vais simplement y mettre des nombres; zéro, moins cinq, dix. 00:01:49.300 --> 00:01:52.600 Donc, elle a cinq lignes, elle a deux colonnes. 00:01:52.600 --> 00:01:56.000 Ajoutons une autre colonne ici. Donc, voyons voir: moins dix, trois, 00:01:56.000 --> 00:02:04.100 Je ne fais que mettre des nombres au hasard. Sept, deux, pi. 00:02:04.100 --> 00:02:07.000 C'est une matrice cinq par deux. 00:02:07.000 --> 00:02:11.700 Donc, je crois que vous avez maintenant une sorte de convention qu'une matrice n'est qu'un 00:02:11.700 --> 00:02:15.000 tableau de nombres. Vous pouvez la représenter comme une variable 00:02:15.000 --> 00:02:19.100 vous la représentez comme une lettre capitale grasse. Parfois on écrit deux par trois. 00:02:19.100 --> 00:02:22.700 Et on peut désigner les éléments de la matrice. 00:02:22.700 --> 00:02:26.300 Dans cet exemple, l'exemple du haut, où nous avons la matrice A. 00:02:26.300 --> 00:02:32.600 Si quelqu'un voulait désigner, disons, à cet élément de la matrice. 00:02:32.600 --> 00:02:37.400 Donc, de quoi s'agit-il ? C'est la deuxième ligne. C'est dans la ligne deux. 00:02:37.400 --> 00:02:39.100 Et, c'est dans la colonne deux. Juste ? 00:02:39.100 --> 00:02:42.500 C'est la colonne un, c'est la colonne deux. Colonne un, colonne deux. 00:02:42.500 --> 00:02:45.100 Donc, c'est dans la deuxième ligne, deuxième colonne. 00:02:45.100 --> 00:02:51.900 Donc, parfois les gens écrirons ce «A», puis ils écrirons, vous savez, 00:02:51.900 --> 00:02:58.500 deux virgule deux est égal à zéro. 00:02:58.500 --> 00:03:02.100 Ou ils pourraient écrire, parfois ils écrierons un petit «a». 00:03:02.100 --> 00:03:07.100 deux virgule deux est égal à zéro. 00:03:07.100 --> 00:03:11.700 Alors, quel est «a» ? Ces deux choses sont les mêmes. 00:03:11.700 --> 00:03:14.200 Je ne fais cela que pour vous montrer la notation, 00:03:14.200 --> 00:03:16.100 parce qu'il ne s'agit vraiment que de notation. 00:03:16.100 --> 00:03:21.800 Donc, qu'est-ce que un virgule trois ? 00:03:21.800 --> 00:03:24.600 Bien, ça signifie que nous sommes dans la première ligne et la troisième colonne. 00:03:24.600 --> 00:03:27.600 Première ligne; un, deux, trois. C'est cette valeur ici. 00:03:27.600 --> 00:03:29.200 Donc, ceci égal deux. 00:03:29.200 --> 00:03:32.100 Donc, ce n'est que de la notation de ce qu'est une matrice ; 00:03:32.100 --> 00:03:34.100 c'est un tableau de nombres, elle peut être représentée de cette manière 00:03:34.100 --> 00:03:37.000 Nous pouvons aussi représenter ses différents éléments de cette manière. 00:03:37.000 --> 00:03:38.300 Vous pourriez donc demander 00:03:38.300 --> 00:03:41.600 «Sal, c'est super, un tableau de nombre avec 00:03:41.600 --> 00:03:44.200 des mots et une notation sophistiqués. Mais à quoi ça sert ?» 00:03:44.212 --> 00:03:46.100 Et c'est l'élément intéressant. 00:03:46.100 --> 00:03:51.600 Une matrice n'est que la représentation de données. Ce n'est qu'une manière de représenter des données. 00:03:51.600 --> 00:03:53.600 C'est tout ce que c'est. C'est un tableau de nombres. 00:03:53.600 --> 00:03:57.800 Mais, elle peut être utilisée pour représenter en ensemble de phénomènes. 00:03:57.800 --> 00:04:01.500 Et si vous faites ceci dans votre cours d'Algèbre 1 ou d'Algèbre 2 00:04:01.500 --> 00:04:03.600 vous l'utilisez probablement pour représenter des équations linéaires. 00:04:03.600 --> 00:04:07.854 Mais, nous apprendrons, plus tard, que, et je vais faire un ensemble de vidéos 00:04:07.869 --> 00:04:10.600 sur l'application des matrices à une foule de choses différentes. 00:04:10.600 --> 00:04:14.500 Mais, ça peut représenter, c'est très puissant et si vous faites 00:04:14.500 --> 00:04:19.100 des dessins sur ordinateur, ces matrices... Les éléments peuvent représenter des pixels sur votre écran, 00:04:19.100 --> 00:04:21.400 ils peuvent représenter des points dans un espace cartésien, 00:04:21.400 --> 00:04:23.000 ils peuvent représenter... Qui sait ! 00:04:23.000 --> 00:04:24.900 Ils y a des tonnes de choses qu'elles peuvent représenter. 00:04:24.900 --> 00:04:27.600 Mais la chose importante à réaliser c'est qu'une matrice 00:04:27.600 --> 00:04:30.500 n'est pas un phénomène naturel. 00:04:30.500 --> 00:04:34.700 Ce n'est pas comme beaucoup de concepts mathématiques que l'on a vu. 00:04:34.700 --> 00:04:37.700 C'est une manière de représenter un concept mathématique 00:04:37.700 --> 00:04:40.400 Ou, une manière de représenter des valeurs. Mais vous devez en quelque sorte 00:04:40.400 --> 00:04:43.000 définir ce qu'elle représente. 00:04:43.000 --> 00:04:44.700 Mais, mettons ceci un peu au second plan 00:04:44.700 --> 00:04:48.300 en termes de ce que ça représente vraiment. 00:04:48.300 --> 00:04:52.200 Et le, Oh, ma femme est là. Elle cherche notre classeur. 00:04:52.200 --> 00:04:54.500 Mais peu importe, de retour à ce que je faisais. 00:04:54.500 --> 00:04:57.100 Donc, donc, mettons ce qu'une matrice représente effectivement au second plan. 00:04:57.100 --> 00:04:59.400 Apprenons les conventions. 00:04:59.400 --> 00:05:02.200 Parce que je pense, heu, au moins au début, que c'est 00:05:02.200 --> 00:05:04.015 la partie la plus difficile. Comment additionner de matrices ? 00:05:04.015 --> 00:05:06.408 Comment multiplier des matrices ? Comment inverser des matrices ? 00:05:06.408 --> 00:05:09.069 Comment trouver le déterminant d'une matrice ? 00:05:09.069 --> 00:05:11.400 Je sais que ces mots peuvent ne pas vous sembler familiers. À moins 00:05:11.400 --> 00:05:13.700 que vous n'ayez déjà été troublé dans votre cours d'algèbre. 00:05:13.700 --> 00:05:15.900 Donc, je vais vous montrer toutes ces choses en premier. 00:05:15.900 --> 00:05:18.400 Qui sont en fait des conventions humaines. 00:05:18.400 --> 00:05:22.700 Et puis, plus tard, je vous ferai une foule de vidéo sur leurs fondements 00:05:22.700 --> 00:05:26.700 et ce qu'elles représentent. Donc, commençons. 00:05:26.700 --> 00:05:29.700 Disons que je voulais additionner ces deux matrices. 00:05:29.700 --> 00:05:33.600 Disons que la première -- laissez-moi changer de couleur. Disons, 00:05:33.600 --> 00:05:37.700 je vais en faire une relativement petite, simplement pour ne pas gaspiller d'espace. 00:05:37.700 --> 00:05:42.500 Vous avez une matrice; trois, moins un, je ne sais pas, 00:05:42.500 --> 00:05:49.100 deux, zéro. Je ne sais pas appelons-la «A». «A» majuscule. 00:05:49.100 --> 00:05:54.400 Et disons la matrice «B», j'invente des nombres. 00:05:54.400 --> 00:06:06.300 La matrice «B» est égale à moins sept, deux, trois, cinq. 00:06:06.300 --> 00:06:14.000 Donc, ma question est : qu'est-ce que «A» ? 00:06:14.000 --> 00:06:16.300 Je la met en gras comme dans les manuels, plus 00:06:16.300 --> 00:06:21.700 la matrice «B» ? J'additionne deux matrices. Et, encore une fois 00:06:21.700 --> 00:06:25.700 ce ne sont que des conventions. Quelqu'un a défini comment les matrices s'additionnent. 00:06:25.700 --> 00:06:27.500 On aurait pu le définir d'une autre manière. Mais, on a dit : 00:06:27.500 --> 00:06:29.846 "Nous allons additionner les matrice de la manière 00:06:29.846 --> 00:06:32.500 que je vais le faire parce que c'est utile pour une série de phénomènes." 00:06:32.500 --> 00:06:35.000 Donc, quand vous additionnez deux matrices, essentiellement, vous additionnez simplement 00:06:35.000 --> 00:06:40.000 les éléments correspondants. Donc, comment ça fonctionne ? 00:06:40.000 --> 00:06:43.000 Eh bien, vous additionnez l'élément de la ligne un colonne un avec 00:06:43.000 --> 00:06:46.100 l'élément de la ligne un colonne un. Parfait, donc c'est 00:06:46.100 --> 00:06:50.500 trois plus moins sept. Donc, c'est trois plus moins sept. 00:06:50.500 --> 00:06:55.000 Ceci sera l'élément un virgule un. Ensuite, l'élément de la ligne un, colonne deux 00:06:55.000 --> 00:06:58.608 sera moins un plus deux. 00:06:58.608 --> 00:07:01.700 Mettez des parenthèses autour pour savoir que ce sont 00:07:01.700 --> 00:07:05.400 des éléments distinct. Et, vous pouvez deviner comment ça continue. 00:07:05.400 --> 00:07:20.700 Cet élément sera deux plus trois. Cet élément, ce dernier élément sera zéro plus cinq. 00:07:20.700 --> 00:07:26.700 Donc, ceci égale quoi ? Trois plus moins sept, c'est moins quatre. 00:07:26.700 --> 00:07:32.000 Moins un plus deux, c'est un. Deux plus trois c'est cinq. Et, 00:07:32.000 --> 00:07:39.800 zéro plus cinq c'est cinq. Donc, nous y voilà, c'est comme ça que les humains ont défini l'addition de matrices. 00:07:39.800 --> 00:07:43.200 Et, par la même définition, vous pouvez imaginer que ce sera la même chose 00:07:43.200 --> 00:07:49.100 que «B» plus «A». Juste ? Et rappelez-vous, c'est quelque chose auquel on doit réfléchir 00:07:49.100 --> 00:07:53.000 car nous n'additionnons plus des nombres. Vous savez qu'un plus deux est la même chose que 00:07:53.000 --> 00:07:56.700 deux plus un. Ou n'importe quel nombre normal, ça ne dérange pas dans quel ordre 00:07:56.700 --> 00:07:59.900 vous les additionnez. Mais les matrices ne sont pas aussi évidentes. Mais quand vous les définissez de cette manière 00:07:59.900 --> 00:08:03.700 ça ne dérange pas si on fait «A» plus «B» ou «B» plus «A». Ça va ? 00:08:03.700 --> 00:08:06.600 Si nous faisons «B» plus «A», ça ferait juste que moins sept plus trois. 00:08:06.600 --> 00:08:10.100 Ça ne serait que deux plus moins un. Mais ça reviendrait à la même valeur. 00:08:10.100 --> 00:08:11.900 C'est l'addition de matrices. 00:08:11.900 --> 00:08:15.300 Et, comme vous pouvez l'imaginer, la soustraction est en fait la même chose. 00:08:15.300 --> 00:08:21.592 Nous ferions... En fait, laissez-moi vous montrer un exemple. Que serait A moins B ? 00:08:27.038 --> 00:08:32.300 Bien, vous pouvez voir que ceci est un «B» majuscule, c'est une matrice. 00:08:32.300 --> 00:08:34.800 C'est pourquoi je la fait très grasse. Mais c'est la même chose que; 00:08:34.800 --> 00:08:42.800 «A» plus moins 1, fois «B». Qu'est-ce que «B» ? Bien, «B» est; 00:08:42.800 --> 00:08:47.800 moins sept, deux, trois, cinq, Et quand on multiplie 00:08:47.800 --> 00:08:50.400 un scalaire, quand on multiplie un nombre par une matrice, 00:08:50.400 --> 00:08:52.700 on multiplie simplement ce nombre par chacun des éléments. 00:08:52.700 --> 00:08:58.400 Donc, ceci donne «A», matrice «A», plus la matrice, on ne fait que multiplier 00:08:58.400 --> 00:09:02.400 le moins un par chaque élément. Donc sept, 00:09:02.400 --> 00:09:08.400 moins deux, moins trois, cinq. Et ensuite on 00:09:08.400 --> 00:09:11.700 fait comme on a fait là-haut. Nous savons ce qu'est «A». Donc, 00:09:11.700 --> 00:09:15.800 ceci serait égal à, voyons-voir, «A» est là-haut. Trois plus 00:09:15.800 --> 00:09:21.200 sept donne dix, moins un plus moins deux donne moins trois, 00:09:21.200 --> 00:09:28.900 deux plus moins trois donne moins un et zéro plus cinq donne cinq. 00:09:28.900 --> 00:09:31.600 Et vous n'aviez pas à refaire cet exercice-là. 00:09:31.600 --> 00:09:33.800 Vous auriez pu, simplement, soustraire ces éléments de ces éléments 00:09:33.800 --> 00:09:35.200 et vous auriez obtenu les mêmes valeurs. 00:09:35.200 --> 00:09:38.500 J'ai fait ceci parce que je voulais vous montrer que multiplier 00:09:38.500 --> 00:09:41.300 un scalaire par, ou juste une valeur ou un nombre, par une matrice 00:09:41.300 --> 00:09:46.600 est simplement la multiplication de ce nombre par les éléments de la matrice. 00:09:46.600 --> 00:09:50.900 Et puis... Que savons-nous de par cette définition de l'addition matricielle ? 00:09:50.900 --> 00:09:54.200 Bien, nous savons que les deux matrices sont de même taille, 00:09:54.200 --> 00:09:58.700 par cette définition de la manière des les additionner. Par exemple, 00:09:58.700 --> 00:10:01.100 vous pourriez ajouter ces deux matrices. Vous pourriez ajouter, je ne sais pas, 00:10:01.100 --> 00:10:08.500 un, deux, trois, quatre, cinq, six sept, huit, neuf à cette matrice; 00:10:08.500 --> 00:10:14.500 à, je ne sais pas, moins dix, moins cent, moins mille. 00:10:14.500 --> 00:10:20.100 J'invente des nombres. Un, zéro, zéro, un, zéro, un. 00:10:20.100 --> 00:10:21.800 On peut additionner ces matrices. Exact ? 00:10:21.800 --> 00:10:24.900 Parce qu'elles ont le même nombre d'éléments et le même nombre de colonnes. 00:10:24.900 --> 00:10:30.400 Par exemple, si vous les additionniez. Le premier élément ici serait un plus moins dix, 00:10:30.400 --> 00:10:34.400 donc, ce serait moins neuf. Deux plus moins cent, moins quatre-vingts-dix-neuf. 00:10:34.400 --> 00:10:39.500 Je crois que vous saisissez. On aurait exactement neuf éléments et on aurait trois lignes et trois colonnes. 00:10:39.500 --> 00:10:44.800 Mais, vous ne pourriez additionner ces matrices. Vous ne pourriez additionner... 00:10:44.800 --> 00:10:48.600 Laissez-moi le faire en utilisant une autre couleur, simplement pour montrer que c'est différent, 00:10:48.600 --> 00:10:52.500 Vous ne pourriez pas additionner, cette bleue, vous ne pourriez additionner cette matrice; 00:10:52.500 --> 00:11:03.400 moins trois, deux à la matrice; Je ne sais pas, neuf, sept. 00:11:03.400 --> 00:11:05.100 Et pourquoi ne pourriez-vous pas les additionner ? 00:11:05.100 --> 00:11:07.700 Bien, elles n'ont pas d'éléments correspondants à additionner. 00:11:07.700 --> 00:11:11.600 Ceci est une matrice une ligne, une colonne, celle-ci est une un par deux 00:11:11.600 --> 00:11:15.800 et celle-ci est une deux par un. Donc, elles n'ont pas les mêmes dimensions 00:11:15.800 --> 00:11:18.700 donc on ne peut pas les additionner ou les soustraire. 00:11:18.700 --> 00:11:22.300 Et, juste une parenthèse, quand une matrice a... quand un de ses 00:11:22.300 --> 00:11:26.800 dimensions est un. Donc, par exemple, ici vous avez une ligne 00:11:26.800 --> 00:11:30.200 et plusieurs colonnes. Ceci est appelé un vecteur ligne. 00:11:30.200 --> 00:11:32.500 Un vecteur est essentiellement une matrice à une dimension, 00:11:32.500 --> 00:11:35.700 où une des dimensions est un. Donc, c'est un vecteur ligne et similairement, 00:11:35.700 --> 00:11:38.800 c'est une vecteur colonne. C'est simplement un peu plus de terminologie 00:11:38.800 --> 00:11:41.400 que vous devriez connaître. Si vous suivez un cours d'algèbre linéaire et de calcul différentiel et intégral 00:11:41.400 --> 00:11:44.200 votre professeur pourrait utiliser ces termes et c'est bon qu'il vous soient 00:11:44.200 --> 00:11:49.015 familiers. Peu importe, j'étire à onze minutes, donc je vais continuer dans la prochaine vidéo. À bientôt.