Découvrons les matrices. Donc, que veux-je dire quand je dis matrices ?
En fait, matrices est juste le pluriel de matrice.
Qui est probablement un mot (NDT: Matrix) que vous connaissez plus par Hollywood que par les mathématiques.
Donc, qu'est-ce qu'une matrice ? En fait c'est un concept tout simple.
Ce n'est qu'un tableau de nombres. C'est tout ce qu'est une matrice.
Donc, laissez-moi vous tracer une matrice.
Je n'aime pas ce bleu dentifrice, donc je vais prendre une autre couleur.
Voici un exemple de matrice. Si je dis, je ne sais pas, je vais choisir des nombres au hasard;
cinq, un, deux, trois, moins cinq. Voici une matrice.
Et c'est juste un tableau de nombres, souvent si vous voulez une variable pour nommer la matrice, vous
prendrez une lettre majuscule. Donc on pourrait prendre un «A» majuscule.
Parfois dans les livres les caractères gras sont utilisés. Ça pourrait donc être un «A» en gras, ça serait une matrice.
Et simplement un peu de notation. On appellerait cela matrice. Ou nous appellerions
cette matrice, par convention, cette matrice s'appellerait une matrice deux par trois.
Et parfois on écrit «2x3» sous la lettre grasse utilisé pour représenter la matrice.
Qu'est-ce que deux ? Et qu'est-ce que trois ?
Bon, deux est le nombre de lignes. Nous avons une rangée, deux rangées. Ceci est une rangée, ceci est une rangée.
Nous avons trois colonnes; une, deux, trois.
C'est pourquoi on l'appelle matrice deux par trois.
Quand vous dites, vous savez, si je dis, si je dis que B, je vais mettre la lettre plus grasse.
Si B est une matrice cinq par deux, ceci signifie que B aurait, je peux, laissez-moi en faire une.
Je vais simplement y mettre des nombres; zéro, moins cinq, dix.
Donc, elle a cinq lignes, elle a deux colonnes.
Ajoutons une autre colonne ici. Donc, voyons voir: moins dix, trois,
Je ne fais que mettre des nombres au hasard. Sept, deux, pi.
C'est une matrice cinq par deux.
Donc, je crois que vous avez maintenant une sorte de convention qu'une matrice n'est qu'un
tableau de nombres. Vous pouvez la représenter comme une variable
vous la représentez comme une lettre capitale grasse. Parfois on écrit deux par trois.
Et on peut désigner les éléments de la matrice.
Dans cet exemple, l'exemple du haut, où nous avons la matrice A.
Si quelqu'un voulait désigner, disons, à cet élément de la matrice.
Donc, de quoi s'agit-il ? C'est la deuxième ligne. C'est dans la ligne deux.
Et, c'est dans la colonne deux. Juste ?
C'est la colonne un, c'est la colonne deux. Colonne un, colonne deux.
Donc, c'est dans la deuxième ligne, deuxième colonne.
Donc, parfois les gens écrirons ce «A», puis ils écrirons, vous savez,
deux virgule deux est égal à zéro.
Ou ils pourraient écrire, parfois ils écrierons un petit «a».
deux virgule deux est égal à zéro.
Alors, quel est «a» ? Ces deux choses sont les mêmes.
Je ne fais cela que pour vous montrer la notation,
parce qu'il ne s'agit vraiment que de notation.
Donc, qu'est-ce que un virgule trois ?
Bien, ça signifie que nous sommes dans la première ligne et la troisième colonne.
Première ligne; un, deux, trois. C'est cette valeur ici.
Donc, ceci égal deux.
Donc, ce n'est que de la notation de ce qu'est une matrice ;
c'est un tableau de nombres, elle peut être représentée de cette manière
Nous pouvons aussi représenter ses différents éléments de cette manière.
Vous pourriez donc demander
«Sal, c'est super, un tableau de nombre avec
des mots et une notation sophistiqués. Mais à quoi ça sert ?»
Et c'est l'élément intéressant.
Une matrice n'est que la représentation de données. Ce n'est qu'une manière de représenter des données.
C'est tout ce que c'est. C'est un tableau de nombres.
Mais, elle peut être utilisée pour représenter en ensemble de phénomènes.
Et si vous faites ceci dans votre cours d'Algèbre 1 ou d'Algèbre 2
vous l'utilisez probablement pour représenter des équations linéaires.
Mais, nous apprendrons, plus tard, que, et je vais faire un ensemble de vidéos
sur l'application des matrices à une foule de choses différentes.
Mais, ça peut représenter, c'est très puissant et si vous faites
des dessins sur ordinateur, ces matrices... Les éléments peuvent représenter des pixels sur votre écran,
ils peuvent représenter des points dans un espace cartésien,
ils peuvent représenter... Qui sait !
Ils y a des tonnes de choses qu'elles peuvent représenter.
Mais la chose importante à réaliser c'est qu'une matrice
n'est pas un phénomène naturel.
Ce n'est pas comme beaucoup de concepts mathématiques que l'on a vu.
C'est une manière de représenter un concept mathématique
Ou, une manière de représenter des valeurs. Mais vous devez en quelque sorte
définir ce qu'elle représente.
Mais, mettons ceci un peu au second plan
en termes de ce que ça représente vraiment.
Et le, Oh, ma femme est là. Elle cherche notre classeur.
Mais peu importe, de retour à ce que je faisais.
Donc, donc, mettons ce qu'une matrice représente effectivement au second plan.
Apprenons les conventions.
Parce que je pense, heu, au moins au début, que c'est
la partie la plus difficile. Comment additionner de matrices ?
Comment multiplier des matrices ? Comment inverser des matrices ?
Comment trouver le déterminant d'une matrice ?
Je sais que ces mots peuvent ne pas vous sembler familiers. À moins
que vous n'ayez déjà été troublé dans votre cours d'algèbre.
Donc, je vais vous montrer toutes ces choses en premier.
Qui sont en fait des conventions humaines.
Et puis, plus tard, je vous ferai une foule de vidéo sur leurs fondements
et ce qu'elles représentent. Donc, commençons.
Disons que je voulais additionner ces deux matrices.
Disons que la première -- laissez-moi changer de couleur. Disons,
je vais en faire une relativement petite, simplement pour ne pas gaspiller d'espace.
Vous avez une matrice; trois, moins un, je ne sais pas,
deux, zéro. Je ne sais pas appelons-la «A». «A» majuscule.
Et disons la matrice «B», j'invente des nombres.
La matrice «B» est égale à moins sept, deux, trois, cinq.
Donc, ma question est : qu'est-ce que «A» ?
Je la met en gras comme dans les manuels, plus
la matrice «B» ? J'additionne deux matrices. Et, encore une fois
ce ne sont que des conventions. Quelqu'un a défini comment les matrices s'additionnent.
On aurait pu le définir d'une autre manière. Mais, on a dit :
"Nous allons additionner les matrice de la manière
que je vais le faire parce que c'est utile pour une série de phénomènes."
Donc, quand vous additionnez deux matrices, essentiellement, vous additionnez simplement
les éléments correspondants. Donc, comment ça fonctionne ?
Eh bien, vous additionnez l'élément de la ligne un colonne un avec
l'élément de la ligne un colonne un. Parfait, donc c'est
trois plus moins sept. Donc, c'est trois plus moins sept.
Ceci sera l'élément un virgule un. Ensuite, l'élément de la ligne un, colonne deux
sera moins un plus deux.
Mettez des parenthèses autour pour savoir que ce sont
des éléments distinct. Et, vous pouvez deviner comment ça continue.
Cet élément sera deux plus trois. Cet élément, ce dernier élément sera zéro plus cinq.
Donc, ceci égale quoi ? Trois plus moins sept, c'est moins quatre.
Moins un plus deux, c'est un. Deux plus trois c'est cinq. Et,
zéro plus cinq c'est cinq. Donc, nous y voilà, c'est comme ça que les humains ont défini l'addition de matrices.
Et, par la même définition, vous pouvez imaginer que ce sera la même chose
que «B» plus «A». Juste ? Et rappelez-vous, c'est quelque chose auquel on doit réfléchir
car nous n'additionnons plus des nombres. Vous savez qu'un plus deux est la même chose que
deux plus un. Ou n'importe quel nombre normal, ça ne dérange pas dans quel ordre
vous les additionnez. Mais les matrices ne sont pas aussi évidentes. Mais quand vous les définissez de cette manière
ça ne dérange pas si on fait «A» plus «B» ou «B» plus «A». Ça va ?
Si nous faisons «B» plus «A», ça ferait juste que moins sept plus trois.
Ça ne serait que deux plus moins un. Mais ça reviendrait à la même valeur.
C'est l'addition de matrices.
Et, comme vous pouvez l'imaginer, la soustraction est en fait la même chose.
Nous ferions... En fait, laissez-moi vous montrer un exemple. Que serait A moins B ?
Bien, vous pouvez voir que ceci est un «B» majuscule, c'est une matrice.
C'est pourquoi je la fait très grasse. Mais c'est la même chose que;
«A» plus moins 1, fois «B». Qu'est-ce que «B» ? Bien, «B» est;
moins sept, deux, trois, cinq, Et quand on multiplie
un scalaire, quand on multiplie un nombre par une matrice,
on multiplie simplement ce nombre par chacun des éléments.
Donc, ceci donne «A», matrice «A», plus la matrice, on ne fait que multiplier
le moins un par chaque élément. Donc sept,
moins deux, moins trois, cinq. Et ensuite on
fait comme on a fait là-haut. Nous savons ce qu'est «A». Donc,
ceci serait égal à, voyons-voir, «A» est là-haut. Trois plus
sept donne dix, moins un plus moins deux donne moins trois,
deux plus moins trois donne moins un et zéro plus cinq donne cinq.
Et vous n'aviez pas à refaire cet exercice-là.
Vous auriez pu, simplement, soustraire ces éléments de ces éléments
et vous auriez obtenu les mêmes valeurs.
J'ai fait ceci parce que je voulais vous montrer que multiplier
un scalaire par, ou juste une valeur ou un nombre, par une matrice
est simplement la multiplication de ce nombre par les éléments de la matrice.
Et puis... Que savons-nous de par cette définition de l'addition matricielle ?
Bien, nous savons que les deux matrices sont de même taille,
par cette définition de la manière des les additionner. Par exemple,
vous pourriez ajouter ces deux matrices. Vous pourriez ajouter, je ne sais pas,
un, deux, trois, quatre, cinq, six sept, huit, neuf à cette matrice;
à, je ne sais pas, moins dix, moins cent, moins mille.
J'invente des nombres. Un, zéro, zéro, un, zéro, un.
On peut additionner ces matrices. Exact ?
Parce qu'elles ont le même nombre d'éléments et le même nombre de colonnes.
Par exemple, si vous les additionniez. Le premier élément ici serait un plus moins dix,
donc, ce serait moins neuf. Deux plus moins cent, moins quatre-vingts-dix-neuf.
Je crois que vous saisissez. On aurait exactement neuf éléments et on aurait trois lignes et trois colonnes.
Mais, vous ne pourriez additionner ces matrices. Vous ne pourriez additionner...
Laissez-moi le faire en utilisant une autre couleur, simplement pour montrer que c'est différent,
Vous ne pourriez pas additionner, cette bleue, vous ne pourriez additionner cette matrice;
moins trois, deux à la matrice; Je ne sais pas, neuf, sept.
Et pourquoi ne pourriez-vous pas les additionner ?
Bien, elles n'ont pas d'éléments correspondants à additionner.
Ceci est une matrice une ligne, une colonne, celle-ci est une un par deux
et celle-ci est une deux par un. Donc, elles n'ont pas les mêmes dimensions
donc on ne peut pas les additionner ou les soustraire.
Et, juste une parenthèse, quand une matrice a... quand un de ses
dimensions est un. Donc, par exemple, ici vous avez une ligne
et plusieurs colonnes. Ceci est appelé un vecteur ligne.
Un vecteur est essentiellement une matrice à une dimension,
où une des dimensions est un. Donc, c'est un vecteur ligne et similairement,
c'est une vecteur colonne. C'est simplement un peu plus de terminologie
que vous devriez connaître. Si vous suivez un cours d'algèbre linéaire et de calcul différentiel et intégral
votre professeur pourrait utiliser ces termes et c'est bon qu'il vous soient
familiers. Peu importe, j'étire à onze minutes, donc je vais continuer dans la prochaine vidéo. À bientôt.