1
00:00:01,300 --> 00:00:06,800
Découvrons les matrices. Donc, que veux-je dire quand je dis matrices ?

2
00:00:06,800 --> 00:00:10,400
En fait, matrices est juste le pluriel de matrice.

3
00:00:10,400 --> 00:00:15,700
Qui est probablement un mot (NDT: Matrix) que vous connaissez plus par Hollywood que par les mathématiques.

4
00:00:15,700 --> 00:00:20,900
Donc, qu'est-ce qu'une matrice ? En fait c'est un concept tout simple.

5
00:00:20,900 --> 00:00:24,500
Ce n'est qu'un tableau de nombres. C'est tout ce qu'est une matrice.

6
00:00:24,500 --> 00:00:27,800
Donc, laissez-moi vous tracer une matrice.

7
00:00:27,800 --> 00:00:30,300
Je n'aime pas ce bleu dentifrice, donc je vais prendre une autre couleur.

8
00:00:30,300 --> 00:00:37,600
Voici un exemple de matrice. Si je dis, je ne sais pas, je vais choisir des nombres au hasard;

9
00:00:37,600 --> 00:00:46,000
cinq, un, deux, trois, moins cinq. Voici une matrice.

10
00:00:46,000 --> 00:00:51,500
Et c'est juste un tableau de nombres, souvent si vous voulez une variable pour nommer la matrice, vous

11
00:00:51,500 --> 00:00:54,600
prendrez une lettre majuscule. Donc on pourrait prendre un «A» majuscule.

12
00:00:54,600 --> 00:01:00,100
Parfois dans les livres les caractères gras sont utilisés. Ça pourrait donc être un «A» en gras, ça serait une matrice.

13
00:01:00,100 --> 00:01:04,500
Et simplement un peu de notation. On appellerait cela
matrice. Ou nous appellerions

14
00:01:04,500 --> 00:01:10,100
cette matrice, par convention, cette matrice s'appellerait une matrice deux par trois.

15
00:01:10,100 --> 00:01:16,500
Et parfois on écrit «2x3» sous la lettre grasse utilisé pour représenter la matrice.

16
00:01:16,500 --> 00:01:18,400
Qu'est-ce que deux ? Et qu'est-ce que trois ?

17
00:01:18,400 --> 00:01:23,200
Bon, deux est le nombre de lignes. Nous avons une rangée, deux rangées. Ceci est une rangée, ceci est une rangée.

18
00:01:23,200 --> 00:01:26,300
Nous avons trois colonnes; une, deux, trois.

19
00:01:26,300 --> 00:01:28,500
C'est pourquoi on l'appelle matrice deux par trois.

20
00:01:28,500 --> 00:01:34,200
Quand vous dites, vous savez, si je dis, si je dis que B, je vais mettre la lettre plus grasse.

21
00:01:34,200 --> 00:01:42,677
Si B est une matrice cinq par deux, ceci signifie que B aurait, je peux, laissez-moi en faire une.

22
00:01:42,677 --> 00:01:46,892
Je vais simplement y mettre des nombres; zéro, moins cinq, dix.

23
00:01:49,300 --> 00:01:52,600
Donc, elle a cinq lignes, elle a deux colonnes.

24
00:01:52,600 --> 00:01:56,000
Ajoutons une autre colonne ici. Donc, voyons voir: moins dix, trois,

25
00:01:56,000 --> 00:02:04,100
Je ne fais que mettre des nombres au hasard. Sept, deux, pi.

26
00:02:04,100 --> 00:02:07,000
C'est une matrice cinq par deux.

27
00:02:07,000 --> 00:02:11,700
Donc, je crois que vous avez maintenant une sorte de convention qu'une matrice n'est qu'un

28
00:02:11,700 --> 00:02:15,000
tableau de nombres. Vous pouvez la représenter comme une variable

29
00:02:15,000 --> 00:02:19,100
vous la représentez comme une lettre capitale grasse. Parfois on écrit deux par trois.

30
00:02:19,100 --> 00:02:22,700
Et on peut désigner les éléments de la matrice.

31
00:02:22,700 --> 00:02:26,300
Dans cet exemple, l'exemple du haut, où nous avons la matrice A.

32
00:02:26,300 --> 00:02:32,600
Si quelqu'un voulait désigner, disons, à cet élément de la matrice.

33
00:02:32,600 --> 00:02:37,400
Donc, de quoi s'agit-il ? C'est la deuxième ligne. C'est dans la ligne deux.

34
00:02:37,400 --> 00:02:39,100
Et, c'est dans la colonne deux. Juste ?

35
00:02:39,100 --> 00:02:42,500
C'est la colonne un, c'est la colonne deux. Colonne un, colonne deux.

36
00:02:42,500 --> 00:02:45,100
Donc, c'est dans la deuxième ligne, deuxième colonne.

37
00:02:45,100 --> 00:02:51,900
Donc, parfois les gens écrirons ce «A», puis ils écrirons, vous savez,

38
00:02:51,900 --> 00:02:58,500
deux virgule deux est égal à zéro.

39
00:02:58,500 --> 00:03:02,100
Ou ils pourraient écrire, parfois ils écrierons un petit «a».

40
00:03:02,100 --> 00:03:07,100
deux virgule deux est égal à zéro.

41
00:03:07,100 --> 00:03:11,700
Alors, quel est «a» ? Ces deux choses sont les mêmes.

42
00:03:11,700 --> 00:03:14,200
Je ne fais cela que pour vous montrer la notation,

43
00:03:14,200 --> 00:03:16,100
parce qu'il ne s'agit vraiment que de notation.

44
00:03:16,100 --> 00:03:21,800
Donc, qu'est-ce que un virgule trois ?

45
00:03:21,800 --> 00:03:24,600
Bien, ça signifie que nous sommes dans la première ligne et la troisième colonne.

46
00:03:24,600 --> 00:03:27,600
Première ligne; un, deux, trois. C'est cette valeur ici.

47
00:03:27,600 --> 00:03:29,200
Donc, ceci égal deux.

48
00:03:29,200 --> 00:03:32,100
Donc, ce n'est que de la notation de ce qu'est une matrice ;

49
00:03:32,100 --> 00:03:34,100
c'est un tableau de nombres, elle peut être représentée de cette manière

50
00:03:34,100 --> 00:03:37,000
Nous pouvons aussi représenter ses différents éléments de cette manière.

51
00:03:37,000 --> 00:03:38,300
Vous pourriez donc demander

52
00:03:38,300 --> 00:03:41,600
«Sal, c'est super, un tableau de nombre avec

53
00:03:41,600 --> 00:03:44,200
des mots et une notation sophistiqués. Mais à quoi ça sert ?»

54
00:03:44,212 --> 00:03:46,100
Et c'est l'élément intéressant.

55
00:03:46,100 --> 00:03:51,600
Une matrice n'est que la représentation de données. Ce n'est qu'une manière de représenter des données.

56
00:03:51,600 --> 00:03:53,600
C'est tout ce que c'est. C'est un tableau de nombres.

57
00:03:53,600 --> 00:03:57,800
Mais, elle peut être utilisée pour représenter en ensemble de phénomènes.

58
00:03:57,800 --> 00:04:01,500
Et si vous faites ceci dans votre cours d'Algèbre 1 ou d'Algèbre 2

59
00:04:01,500 --> 00:04:03,600
vous l'utilisez probablement pour représenter des équations linéaires.

60
00:04:03,600 --> 00:04:07,854
Mais, nous apprendrons, plus tard, que, et je vais faire un ensemble de vidéos

61
00:04:07,869 --> 00:04:10,600
sur l'application des matrices à une foule de choses différentes.

62
00:04:10,600 --> 00:04:14,500
Mais, ça peut représenter, c'est très puissant et si vous faites

63
00:04:14,500 --> 00:04:19,100
des dessins sur ordinateur, ces matrices... Les éléments peuvent représenter des pixels sur votre écran,

64
00:04:19,100 --> 00:04:21,400
ils peuvent représenter des points dans un espace cartésien,

65
00:04:21,400 --> 00:04:23,000
ils peuvent représenter... Qui sait !

66
00:04:23,000 --> 00:04:24,900
Ils y a des tonnes de choses qu'elles peuvent représenter.

67
00:04:24,900 --> 00:04:27,600
Mais la chose importante à réaliser c'est qu'une matrice

68
00:04:27,600 --> 00:04:30,500
n'est pas un phénomène naturel.

69
00:04:30,500 --> 00:04:34,700
Ce n'est pas comme beaucoup de concepts mathématiques que l'on a vu.

70
00:04:34,700 --> 00:04:37,700
C'est une manière de représenter un concept mathématique

71
00:04:37,700 --> 00:04:40,400
Ou, une manière de représenter des valeurs. Mais vous devez en quelque sorte

72
00:04:40,400 --> 00:04:43,000
définir ce qu'elle représente.

73
00:04:43,000 --> 00:04:44,700
Mais, mettons ceci un peu au second plan

74
00:04:44,700 --> 00:04:48,300
en termes de ce que ça représente vraiment.

75
00:04:48,300 --> 00:04:52,200
Et le, Oh, ma femme est là. Elle cherche notre classeur.

76
00:04:52,200 --> 00:04:54,500
Mais peu importe, de retour à ce que je faisais.

77
00:04:54,500 --> 00:04:57,100
Donc, donc, mettons ce qu'une matrice représente effectivement au second plan.

78
00:04:57,100 --> 00:04:59,400
Apprenons les conventions.

79
00:04:59,400 --> 00:05:02,200
Parce que je pense, heu, au moins au début, que c'est

80
00:05:02,200 --> 00:05:04,015
la partie la plus difficile. Comment additionner de matrices ?

81
00:05:04,015 --> 00:05:06,408
Comment multiplier des matrices ? Comment inverser des matrices ?

82
00:05:06,408 --> 00:05:09,069
Comment trouver le déterminant d'une matrice ?

83
00:05:09,069 --> 00:05:11,400
Je sais que ces mots peuvent ne pas vous sembler familiers. À moins

84
00:05:11,400 --> 00:05:13,700
que vous n'ayez déjà été troublé dans votre cours d'algèbre.

85
00:05:13,700 --> 00:05:15,900
Donc, je vais vous montrer toutes ces choses en premier.

86
00:05:15,900 --> 00:05:18,400
Qui sont en fait des conventions humaines.

87
00:05:18,400 --> 00:05:22,700
Et puis, plus tard, je vous ferai une foule de vidéo sur leurs fondements

88
00:05:22,700 --> 00:05:26,700
et ce qu'elles représentent. Donc, commençons.

89
00:05:26,700 --> 00:05:29,700
Disons que je voulais additionner ces deux matrices.

90
00:05:29,700 --> 00:05:33,600
Disons que la première -- laissez-moi changer de couleur. Disons,

91
00:05:33,600 --> 00:05:37,700
je vais en faire une relativement petite, simplement pour ne pas gaspiller d'espace.

92
00:05:37,700 --> 00:05:42,500
Vous avez une matrice; trois, moins un, je ne sais pas,

93
00:05:42,500 --> 00:05:49,100
deux, zéro. Je ne sais pas appelons-la «A». «A» majuscule.

94
00:05:49,100 --> 00:05:54,400
Et disons la matrice «B», j'invente des nombres.

95
00:05:54,400 --> 00:06:06,300
La matrice «B» est égale à moins sept, deux, trois, cinq.

96
00:06:06,300 --> 00:06:14,000
Donc, ma question est : qu'est-ce que «A» ?

97
00:06:14,000 --> 00:06:16,300
Je la met en gras comme dans les manuels, plus

98
00:06:16,300 --> 00:06:21,700
la matrice «B» ? J'additionne deux matrices. Et, encore une fois

99
00:06:21,700 --> 00:06:25,700
ce ne sont que des conventions. Quelqu'un a défini comment les matrices s'additionnent.

100
00:06:25,700 --> 00:06:27,500
On aurait pu le définir d'une autre manière. Mais, on a dit :

101
00:06:27,500 --> 00:06:29,846
"Nous allons additionner les matrice de la manière

102
00:06:29,846 --> 00:06:32,500
que je vais le faire parce que c'est utile pour une série de phénomènes."

103
00:06:32,500 --> 00:06:35,000
Donc, quand vous additionnez deux matrices, essentiellement, vous additionnez simplement

104
00:06:35,000 --> 00:06:40,000
les éléments correspondants. Donc, comment ça fonctionne ?

105
00:06:40,000 --> 00:06:43,000
Eh bien, vous additionnez l'élément de la ligne un colonne un avec

106
00:06:43,000 --> 00:06:46,100
l'élément de la ligne un colonne un. Parfait, donc c'est

107
00:06:46,100 --> 00:06:50,500
trois plus moins sept. Donc, c'est trois plus moins sept.

108
00:06:50,500 --> 00:06:55,000
Ceci sera l'élément un virgule un. Ensuite, l'élément de la ligne un, colonne deux

109
00:06:55,000 --> 00:06:58,608
sera moins un plus deux.

110
00:06:58,608 --> 00:07:01,700
Mettez des parenthèses autour pour savoir que ce sont

111
00:07:01,700 --> 00:07:05,400
des éléments distinct. Et, vous pouvez deviner comment ça continue.

112
00:07:05,400 --> 00:07:20,700
Cet élément sera deux plus trois. Cet élément, ce dernier élément sera zéro plus cinq.

113
00:07:20,700 --> 00:07:26,700
Donc, ceci égale quoi ? Trois plus moins sept, c'est moins quatre.

114
00:07:26,700 --> 00:07:32,000
Moins un plus deux, c'est un. Deux plus trois c'est cinq. Et,

115
00:07:32,000 --> 00:07:39,800
zéro plus cinq c'est cinq. Donc, nous y voilà, c'est comme ça que les humains ont défini l'addition de matrices.

116
00:07:39,800 --> 00:07:43,200
Et, par la même définition, vous pouvez imaginer que ce sera la même chose

117
00:07:43,200 --> 00:07:49,100
que «B» plus «A». Juste ? Et rappelez-vous, c'est quelque chose auquel on doit réfléchir

118
00:07:49,100 --> 00:07:53,000
car nous n'additionnons plus des nombres. Vous savez qu'un plus deux est la même chose que

119
00:07:53,000 --> 00:07:56,700
deux plus un. Ou n'importe quel nombre normal, ça ne dérange pas dans quel ordre

120
00:07:56,700 --> 00:07:59,900
vous les additionnez. Mais les matrices ne sont pas aussi évidentes. Mais quand vous les définissez de cette manière

121
00:07:59,900 --> 00:08:03,700
ça ne dérange pas si on fait «A» plus «B» ou «B» plus «A». Ça va ?

122
00:08:03,700 --> 00:08:06,600
Si nous faisons «B» plus «A», ça ferait juste que moins sept plus trois.

123
00:08:06,600 --> 00:08:10,100
Ça ne serait que deux plus moins un. Mais ça reviendrait à la même valeur.

124
00:08:10,100 --> 00:08:11,900
C'est l'addition de matrices.

125
00:08:11,900 --> 00:08:15,300
Et, comme vous pouvez l'imaginer, la soustraction est en fait la même chose.

126
00:08:15,300 --> 00:08:21,592
Nous ferions... En fait, laissez-moi vous montrer un exemple. Que serait A moins B ?

127
00:08:27,038 --> 00:08:32,300
Bien, vous pouvez voir que ceci est un «B» majuscule, c'est une matrice.

128
00:08:32,300 --> 00:08:34,800
C'est pourquoi je la fait très grasse. Mais c'est la même chose que;

129
00:08:34,800 --> 00:08:42,800
«A» plus moins 1, fois «B». Qu'est-ce que «B» ? Bien, «B» est;

130
00:08:42,800 --> 00:08:47,800
moins sept, deux, trois, cinq, Et quand on multiplie

131
00:08:47,800 --> 00:08:50,400
un scalaire, quand on multiplie un nombre par une matrice,

132
00:08:50,400 --> 00:08:52,700
on multiplie simplement ce nombre par chacun des éléments.

133
00:08:52,700 --> 00:08:58,400
Donc, ceci donne «A», matrice «A», plus la matrice, on ne fait que multiplier

134
00:08:58,400 --> 00:09:02,400
le moins un par chaque élément. Donc sept,

135
00:09:02,400 --> 00:09:08,400
moins deux, moins trois, cinq. Et ensuite on

136
00:09:08,400 --> 00:09:11,700
fait comme on a fait là-haut. Nous savons ce qu'est «A». Donc,

137
00:09:11,700 --> 00:09:15,800
ceci serait égal à, voyons-voir, «A» est là-haut. Trois plus

138
00:09:15,800 --> 00:09:21,200
sept donne dix, moins un plus moins deux donne moins trois,

139
00:09:21,200 --> 00:09:28,900
deux plus moins trois donne moins un et zéro plus cinq donne cinq.

140
00:09:28,900 --> 00:09:31,600
Et vous n'aviez pas à refaire cet exercice-là.

141
00:09:31,600 --> 00:09:33,800
Vous auriez pu, simplement, soustraire ces éléments de ces éléments

142
00:09:33,800 --> 00:09:35,200
et vous auriez obtenu les mêmes valeurs.

143
00:09:35,200 --> 00:09:38,500
J'ai fait ceci parce que je voulais vous montrer que multiplier

144
00:09:38,500 --> 00:09:41,300
un scalaire par, ou juste une valeur ou un nombre, par une matrice

145
00:09:41,300 --> 00:09:46,600
est simplement la multiplication de ce nombre par les éléments de la matrice.

146
00:09:46,600 --> 00:09:50,900
Et puis... Que savons-nous de par cette définition de l'addition matricielle ?

147
00:09:50,900 --> 00:09:54,200
Bien, nous savons que les deux matrices sont de même taille,

148
00:09:54,200 --> 00:09:58,700
par cette définition de la manière des les additionner. Par exemple,

149
00:09:58,700 --> 00:10:01,100
vous pourriez ajouter ces deux matrices. Vous pourriez ajouter, je ne sais pas,

150
00:10:01,100 --> 00:10:08,500
un, deux, trois, quatre, cinq, six sept, huit, neuf à cette matrice;

151
00:10:08,500 --> 00:10:14,500
à, je ne sais pas, moins dix, moins cent, moins mille.

152
00:10:14,500 --> 00:10:20,100
J'invente des nombres. Un, zéro, zéro, un, zéro, un.

153
00:10:20,100 --> 00:10:21,800
On peut additionner ces matrices. Exact ?

154
00:10:21,800 --> 00:10:24,900
Parce qu'elles ont le même nombre d'éléments et le même nombre de colonnes.

155
00:10:24,900 --> 00:10:30,400
Par exemple, si vous les additionniez. Le premier élément ici serait un plus moins dix,

156
00:10:30,400 --> 00:10:34,400
donc, ce serait moins neuf. Deux plus moins cent, moins quatre-vingts-dix-neuf.

157
00:10:34,400 --> 00:10:39,500
Je crois que vous saisissez. On aurait exactement neuf éléments et on aurait trois lignes et trois colonnes.

158
00:10:39,500 --> 00:10:44,800
Mais, vous ne pourriez additionner ces matrices. Vous ne pourriez additionner...

159
00:10:44,800 --> 00:10:48,600
Laissez-moi le faire en utilisant une autre couleur, simplement pour montrer que c'est différent,

160
00:10:48,600 --> 00:10:52,500
Vous ne pourriez pas additionner, cette bleue, vous ne pourriez additionner cette matrice;

161
00:10:52,500 --> 00:11:03,400
moins trois, deux à la matrice; Je ne sais pas, neuf, sept.

162
00:11:03,400 --> 00:11:05,100
Et pourquoi ne pourriez-vous pas les additionner ?

163
00:11:05,100 --> 00:11:07,700
Bien, elles n'ont pas d'éléments correspondants à additionner.

164
00:11:07,700 --> 00:11:11,600
Ceci est une matrice une ligne, une colonne, celle-ci est une un par deux

165
00:11:11,600 --> 00:11:15,800
et celle-ci est une deux par un. Donc, elles n'ont pas les mêmes dimensions

166
00:11:15,800 --> 00:11:18,700
donc on ne peut pas les additionner ou les soustraire.

167
00:11:18,700 --> 00:11:22,300
Et, juste une parenthèse, quand une matrice a... quand un de ses

168
00:11:22,300 --> 00:11:26,800
dimensions est un. Donc, par exemple, ici vous avez une ligne

169
00:11:26,800 --> 00:11:30,200
et plusieurs colonnes. Ceci est appelé un vecteur ligne.

170
00:11:30,200 --> 00:11:32,500
Un vecteur est essentiellement une matrice à une dimension,

171
00:11:32,500 --> 00:11:35,700
où une des dimensions est un. Donc, c'est un vecteur ligne et similairement,

172
00:11:35,700 --> 00:11:38,800
c'est une vecteur colonne. C'est simplement un peu plus de terminologie

173
00:11:38,800 --> 00:11:41,400
que vous devriez connaître. Si vous suivez un cours d'algèbre linéaire et de calcul différentiel et intégral

174
00:11:41,400 --> 00:11:44,200
votre professeur pourrait utiliser ces termes et c'est bon qu'il vous soient

175
00:11:44,200 --> 00:11:49,015
familiers. Peu importe, j'étire à onze minutes, donc je vais continuer dans la prochaine vidéo. À bientôt.