Õpime tundma maatrikseid. Mida ma mõtlen kui ma räägin maatriksitest?
Maatriksid on kõigest maatriks mitmuses.
Mis on sõna millega te olete ilmselt rohkem tuttavad tänu Hollywoodile, mitte aga matemaatikale.
Nii, mis on maatriks? See on tegelikult idee poolest päris lihtne.
Maatriks on lihtsalt üks arvudest koosnev tabel.
Las ma joonistan teile ühe maatriksi.
Mulle ei meeldi see hambapasta värvi sinine, nii et kasutan mõnda teist värvi.
See on üks näide maatriksist. Valime näiteks mõned juhuslikud numbrid.
Viis, üks, kaks, kolm, null, miinus viis. See on maatriks.
See on lihtsalt üks arvudest koosnev tabel. Maatriksi tähistamiseks
kasutatakse tihti suurtähti. Nii, et te võiksite kasutada suurt A tähte.
Mõnedes raamatutes tehakse need rasvases trükis. See suur rasvane A võiks olla maatriks.
Ja natuke kirjaviisist. Inimesed nimetaksid seda maatriksiks. Või meie nimetaksime
seda maatriksit, lihtsalt kokkuleppeliselt, kaks korda kolm maatriksiks.
Ja mõnikord isegi kirjutatakse 'kaks korda kolm' rasvase tähe alla, millega maatriks on tähistatud.
Mis on kaks? Ja, mis on kolm?
Kaks näitab ridade arvu. Meil on üks rida, kaks rida. See on rida ja see on rida.
Meil on kolm tulpa: üks, kaks, kolm.
Selle pärast kutsutaksegi seda kaks korda kolm maatriksiks.
Kui ma ütleksin, ma teen selle B ekstra rasvaseks.
Kui B on viis korda kaks maatriks, see tähendab B oleks, ma võin, las ma teen ühe
ma panen sisse numbrid, üks, kaks, null , miinus viis, kümme.
Nii, et sellel on viis rida ja kaks veergu.
Ma lisan veel ühe veeru siia. Vaatame: miinus kümme, kolm,
Ma kirjutan praegu juhuslikke arve siia. Seitse, kaks, pii.
See on viis korda kaks maatriks.
Ma arvan, et nüüd teil peaks olema tekkinud arusaam, et maatriks on
lihtsalt üks arvudest koosnev tabel. Te saate seda esitada muutuja kujul
kui te kujutate seda rasvase suure tähega. Mõnikord kirjutatakse kaks korda kolm siia.
Ja maatriksi elementidele saab tegelikult viidata.
Selles näites, ülemine näide, kus meil on maatriks A.
Kui keegi tahaks viidata näiteks sellele maatriksi elemendile.
Nii, mis see on? See asub teises reas. Reas number kaks.
Ja see asub teises veerus. Õigus?
See on esimene veerg, see on teine veerg. Esimene rida, teine rida.
Nii, et see asub teises reas, teises veerus.
Mõnikord kirjutatakse see kujul A ja siis kirjutatakse, kas teate,
kaks koma kaks on võrdne nulliga.
Või nad võivad kirjutada, mõnikord nad kirjutavad väikse a,
kaks koma kaks on võrdne nulliga.
Seega, mida kujutab endast A? Need on mõlemad üks ja seesama.
Ma teen seda ainult selleks, et tutvustada teile kirjaviisi, kuna
suur osa sellest seisneb vaid kirjaviisis.
Seega, mida tähendab siin üks koma kolm?
See tähendab, et me asume esimesel real ja kolmandas veerus.
Esimene rida: üks, kaks kolm. See on see väärtus siinsamas.
See võrdub kahega.
Seega on see maatriksi esitus kokkuleppeliselt.
Maatriks on numbritest koosnev tabel ja seda saab esitada sellisel moel.
Me saame esitada selle erinevaid elemente sellisel viisil.
Te küsite ehk,
"Sal, see on küll väga tore, numbritest koosnev tabel
ilustatud sõnade ja edeva kirjaviisiga. Milleks see kasulik on?"
Siinkohal läheb asi huvitavaks.
Maatriks on viis andmete esitamiseks.
See on kõik, mis ta on. Numbritest koosnev tabel.
Kuid teda saab kasutada terve hulga nähtuste esitamiseks.
Kui te õpite seda Algebra I või Algebra II loengus
siis kasutate te maatrikseid ilmselt lineaarsete võrduste esitamiseks.
Kuid meie õpime hiljem, et, ja ma teen terve hulga videosid sellest
kuidas maatrikseid kasutada paljude erinevate asjade jaoks.
Kuid see võib esitada, on väga võimas ja kui te tegelete
arvutigraafikaga, siis maatriksite... elemendid võivad kujutada näiteks piksleid teie ekraanil.
nad võivad kujutada punkte koordinaattasandil.
nad võivad kujutada mida iganes!
Nad võivad kujutada väga paljusid asju.
Tähtis on aga mõista, et maatriks
ei ole loomulik nähtus.
See ei sarnane kõigile matemaatilistele mõistetele, mida me oleme varem vaadanud.
See on viis matemaatiliste mõistete kujutamiseks.
Või väärtuste kujutamiseks. Kuid igal juhul on vaja
defineerida, mida see esitab.
Lükkame hetkeks tahaplaanile selle,
mida ta täpsemalt endast kujutab.
Ning, ohhoo, mu abikaasa on siin. Tal on vaja meie kartoteegikappi.
Igatahes, tagasi selle juurde, millega ma tegelesin.
Seega, asetame tahaplaanile selle, mis on maatriks
ja mida ta endast kujutab. Heidame pilgu konventsioonidele.
Arvan, et vähemalt alguses kipub see olema
kõige raskem osa. Kuidas liidetakse maatrikseid?
Kuidas korrutatakse maatrikseid? Kuidas maatrikseid ümber pöörata?
Kuidas leida maatriksi determinanti.
Ma tean, et kõik need sõnad ei pruugi olla tuttavad, välja arvatud kui
olete olnud neist segaduses juba oma algebra loengutes.
Seega õpetan ma teile kõiki neid asju esimesena.
Mis on tegelikult kõik inimeste poolt defineeritud konventsioonid.
Ning hiljem teen ma terve hulga videosid intuitsioonist, millele need põhinevad,
ning mida nad tegelikult kujutavad. Seega - alustame.
Ütleme siis, et ma tahan liita need kaks maatriksit.
Ütleme, et esimene, las ma muudan värvust. Ütleme, et
ma teen suhteliselt väikesed, et mitte ruumi raisata.
Kirjutame maatriksi: kolm, miinus üks, ma ei tea,
kaks, null. Ma ei tea, nimetame seda suurtähega A.
Ning ütleme et maatriks B ja ma mõtlen välja suvalisi arve.
Maatriks B on võrne: miinus seitse, kaks, kolm, viis.
Seega minu küsimus teile on: Mis on A
ja ma teen selle paksus kirjas nagu nad kirjutavad õpikutes, pluss
maatriks B? Seega liidan ma kaks maatriksit. Ja jällegi,
see on vaid inimeste poolt kokku lepitud. Keegi defineeris, kuidas maatrikseid liidetakse.
Nad oleksid seda väga hästi võinud ka teismoodi defineerida. Kuid nad ütlesid:
me hakkame maatrikseid liitma viisil nagu ma
teile kohe näitan, kuna see viis on kasulik terve hulga nähtuste jaoks.
Seega, kui te liidate kaks maatriksit, siis põhiolemuselt liidate te vaid
nende vastavad elemendid. Seega, kuidas see töötab?
Tuleb liita element mis asub esimesel real ja esimeses veerus
elemendiga, mis asub esimesel real ja esimeses veerus. Okei, see teeb
kolm pluss miinus seitse. Seega, kolm pluss miinus seitse.
See on üks-üks element. Seejärel, esimese rea teise veeru element
saab olema miinus üks pluss kaks.
Asetame nende ümber sulud nii et on näha et nad on
eraldiseisvad elemendid. Võib juba aimata, kuidas see edasi läheb.
See element on kaks pluss kolm. See viimane element saab olema null pluss viis.
Seega, millega see võrdub? Kolm pluss miinus seitse, see teeb miinus neli.
Miinus üks pluss kaks, on kokku üks. Kaks pluss kolm on viis.
Ning null pluss viis on viis. Siin see on, selliselt on inimesed defineerinud, kuidas peab maatriksite liitmine välja nägema.
Selle definitsiooni järgi võite ette kujutada, et see saab olema täpselt sama
nagu B pluss A, eks? Pidage meeles, see on miski, mille peale peame mõtlema
kuna me ei liida enam arve. Te teate, et üks pluss kaks on sama nagu
kaks pluss üks. Ükskõik milliste kahe tavalise arvu puhul, ei mängi mingit rolli, mis järjekorras te
neid liidate. Maatriksite puhul ei ole see aga täiesti enesestmõistetav, kuid kui me selle sellisel kujul defineerime
siis ei ole vahet, kas me liidame A ja B või B ja A, õigus?
Kui me liidaksime B ja A, see oleks vaid miinus seitse pluss kolm.
See oleks kaks pluss miinus üks. Tulemused oleksid igal juhul samasugused.
See on maatriksite liitmine.
Võib ette kujutada, et maatriksite lahutamine on olemuselt sama loogika järgi.
Me võiksime, las ma näitan teile. Kuidas oleks A miinus B?
Te võiksite samuti vaadata, et see on suur B, see on maatriks
selle pärast teengi ma ta eriti paksu. Kuid see on sama nagu
A pluss miinus üks korrutada B-ga. Mis on B? B on
miinus seitse, kaks, kolm, viis. Kui korrutada maatriksit
skalaariga, mingi tavalise arvuga
siis korrutatakse iga maatriksi element selle arvuga.
See on seega võrdne A, maatriks A pluss see maatriks mida me korrutame
miinus üks korda iga elemendiga. Seega seitse,
miinus kaks, miinus kolm, viis. Seejärel saame teha
mida me siinsamas üleval just tegime. Me teame, mis on A, seega
see võrduks, heidame pilgu, A on siin üleval. Seega, kolm pluss
seitse on kümme, miinus üks pluss miinus kaks on miinus kolm,
kaks pluss miinus kolm on miinus üks ja null pluss viis on viis.
Meil ei tarvitsenud isegi läbida seda harjutust siin.
Meil oleks sõna otseses mõttes piisanud vaid nende elementide lahutamisest
et saada tulemuseks samad väärtused.
Ma tegin seda kuna tahtsin teile näidata, et maatriksi korrutamine
skalaari, väärtuse või arvuga
tähendab kõigest kõigi maatriksi elementide korrutamist selle arvuga.
Kokkuvõtteks... maatriksi liitmise definitsiooni järgi teame me mida?
Esiteks, et mõlemad maatriksid peavad olema samade mõõtmetega,
definitsiooni järgi, kuidas me neid liidame. Näiteks,
neid kahte maatriksit saab omavahel liita. Võimalik on liita, ma ei tea,
üks, kaks, kolm, neli, viis, kuus, seitse, kaheksa, üheksa, selle maatriksiga;
ma ei tea, miinus kümme, miinus sada, miinus tuhat
ma mõtlen arve välja. Üks, null, null, üks, null, üks.
Neid kahte maatriksit saab omavahel liita, õigus?
Seda seepärast, et neil on sama arv ridu ja sama arv veerge.
Võtame däiteks, kui teil oleks vaja neid omavahel liita. Esimene element siin üleval oleks üks pluss miinus kümme,
seega, see oleks miinus üheks. Kaks pluss miinus sada on miinus üheksakümmend kaheksa.
Ma usun et te adute essentsi. Teil oleks täpselt üheksa elementi ja teil oleks kolm rida ja kolm veergu.
Kuid neid kahte maatriksit omavahel liita ei saa. Ei ole võimalik liita...
Lubage ma kasutan erinevat värvi, selleks et rõhutada nende erinevust,
Te ei saaks liita seda sinist maatriksit, te ei saaks liita seda maatriksit
miinus kolm, kaks, selle maatriksiga; ma ei tea, üheksa seitse.
Miks neid liita ei saa?
Selle pärast, et neil puuduvad vastavad elemendid, mida omavahel liita.
See on üks rida kaks veergu, see on üks kahele
ning see on kaks ühele. Seega, nad ei ole samade mõõtmetega
ja me ei saa neid maatrikseid omavahel liita ega lahutada.
Kõrvalepõige - kui maatriksil on, kui üks tema
mõõtmetest on üks. Seega, näiteks, siin on üks rida
ja mitu veergu. Seda nimetatakse tegelikult reavektoriks.
Vektor on sisuliselt ühemõõtmeline maatriks mille üks
dimensioonidest võrdub ühega. Seega, see siin on reavektor ja sarnaselt
on see siin veeruvektor. Natuke lisaterminoloogiat
mida teil on vaja teada. Kui te kuulate lineaaralgebra ja differentsiaal- ning integraalarvutuse loenguid
siis teie õppejõud võib kasutada neid termineid ja on hea olla
nendega kursis. Igatahes, käes on üheteistkümnes minut, seega jätkan ma järgmises videos. Kuulmiseni.