Pojďme se naučit něco o maticích. Takže co je, nebo co myslím tím, když řeknu matice?
No, slovo matice (v AJ: matrices) je jen množné číslo slova matice (v AJ: matrix).
Tohle slovo asi znáte spíše z Hollywoodu než z matematiky.
Takže, co je matice? No, je to vlastně docela jednoduchá věc.
Je to prostě tabulka čísel. To je všechno.
Nakreslíme si matici.
Tahle modrá barva vypadá jak pasta na zuby, použiju jinou.
Tohle je příklad matice. Řekněme, že, nevím, vyberu nějaké náhodné číslice;
Pět, jedna, dvě, tři, nula, mínus pět. Tohle je matice.
Je to prostě tabulka čísel, často ji chcete pojmenovat nějakou proměnnou,
takže použijete velké písmeno. Můžeme použít velké „A“.
V některých knihách ji píšou tučně, takže tučné „A“ může být matice.
A teď jak ji zapisujeme. Takže, tuhle matici nazýváme,
podle dohody, maticí typu 2×3.
A někdo dokonce píše „2×3“ pod to tučné písmeno, které představuje matici.
Co je dva? A co znamená tři?
No, dva je počet řádků. Máme tu jeden řádek, dva řádky. Tohle je řádek, tohle je řádek.
Máme tu tři sloupce: jeden, dva, tři.
Proto o téhle matici říkáme, že je typu 2×3.
Řekneme-li, že B, napíšu ho tučně,
je-li B matice typu 5×2, znamená to, že B bude mít,
chvilinku, jen tam napíšu čísla: nula, mínus pět, deset.
Že má pět řádků a dva sloupce.
Tady budeme mít další sloupec. Řekněme: mínus deset, tři,
jenom tam píšu náhodná čísla. Sedm, dva, pí.
Tohle je matice typu 5×2.
Takže myslím, že už rozumíte tomu, že matice je prostě tabulka čísel.
Můžete ji vyjádřit jako proměnnou,
tučné velké písmeno. Někdy sem napíšete 2×3.
A dokonce můžete ukázat na konkrétní člen matice.
V tomto příkladu, v tom nahoře, kde máme matici A.
Kdyby chtěl někdo zmínit, řekněme, tenhle člen matice.
Kde je? Tohle je druhá řada, je v řadě dvě.
A je ve druhém sloupci. Správně?
Tohle je sloupec jedna, tohle je sloupec dvě. Řada jedna, řada dvě.
Takže je ve druhé řadě a druhém sloupci.
Takže můžeme napsat, že A, za to dáme
dva, dva, A 2,2 se rovná nule.
Nebo můžeme napsat, někdy se píše malé a,
a 2,2 se rovná 0.
No co je A? Obojí je to samé.
Dělám to jen proto, abych vám ukázal značení,
tohle je jen ustálení značení.
Takže kolik je a jedna, tři?
To znamená, že jsme v prvním řádku a ve třetím sloupci.
První řádek: jedna, dva, tři. Je to tahle hodnota, přímo tady.
Takže se to rovná dvěma.
Tohle je jen značení, zápis toho, co je matice;
je to tabulka čísel, kterou můžeme značit takhle.
Tímhle způsobem můžeme vyjádřit její prvky.
Možná se ptáte
„Sale, tohle je sice hezké, tabulka čísel,
nóbl slova a nóbl značení. Ale k čemu to je dobré?“
A to je to zajímavé.
Matice je jen vyjádření dat. Je to způsob, jak zapsat data.
To je ono. Tabulka čísel.
Ale může být použita k vyjádření celé řady věcí.
Co děláte v algebře,
nejspíš ji používáte k vyjádření lineárních rovnic.
Ale později se naučíme, udělám o tom celou sadu videí
na aplikaci matic na celou hromadu různých věcí.
Může představovat; je to hodně silný nástroj
a když děláte počítačovou grafiku, matice… Členy vyjadřují pixely na obrazovce,
mohou představovat body v soustavě souřadnic,
mohou představovat… Všechno možné!
Existuje tuna věcí, kterou mohou představovat.
Ale je důležité si uvědomit,
že matice není přírodní, přirozená věc.
Není jako spousta matematických konceptů, které jsme se učili.
Je to způsob, jak vyjádřit matematické koncepty.
Způsob jak vyjádřit hodnoty. Ale musíte definovat,
co je to za hodnoty, co představují.
Ale, vraťme se trochu zpátky
k tomu, co to vážně představuje.
A, ou, moje manželka je tady. Hledá naši kartotéku.
Ale zpátky k tomu, co jsem dělal.
zpátky k tomu, co je matice,
co ve skutečnosti představuje. Musíme se naučit pravidla.
Protože, ehm, přinejmenším zpočátku,
je to to nejtěžší. Jak sčítat matice?
Jak vynásobit matice? Co je inverzní matice?
Jak zjistíme determinant matice?
Vím, že tahle slova zní neznámě, strašidelně.
Zvlášť pokud z nich nejste zmatení už z hodin algebry.
Takže se všechny ty věci nejprve naučíme.
Všechno jsou to vážně pravidla vymyšlená lidmi.
A potom, později, udělám celou řádku videí o tom, jak je pochopit,
co ve skutečnosti představují. Pojďme na to.
Takže řekněme, že chci sečíst tyhle dvě matice.
Řekněme, že první z nich, změním barvu. Řekněme,
udělám jen nějaké malé, abych neplýtval místem.
Takže máme matici: tři, mínus jedna, nevím,
dvě, nula. Nazvěme si ji A, velké A.
Řekněme, že matice B, prostě si vymýšlím čísla.
Matice B je: mínus sedm, dvě, tři, pět.
Takže ptám se: Kolik je A,
udělám ji tučně, jako je to v učebnicích, kolik je A plus B?
Takže sčítám tyhle dvě matice. A ještě jednou, tohle jsou lidmi vymyšlená pravidla.
Někdo definoval, jak sčítat matice.
Mohli to definovat nějak jinak. Ale oni řekli:
budeme sčítat matice tak,
jak vám to za chvilku ukážu, je to užitečné pro celou řadu věcí.
Takže když sčítáme dvě matice, v podstatě sčítáme
odpovídající si prvky. Jak to funguje?
Sečtěte prvek, který je v prvním řádku a prvním sloupci
s prvkem, který je v prním řádku, prvním sloupci. Dobře, máme tu
tři plus mínus sedm. Takže tři plus mínus sedm.
To bude prvek 1,1. Teď prvek v řádku jedna, sloupci dvě
bude mínus jedna plus dvě.
Dáme okolo nich závorky, abychom rozeznali,
že to jsou oddělené prvky. A určitě uhádnete, jak budeme pokračovat.
Tenhle prvek bude dva plus tři. Tenhle poslední prvek bude nula plus pět.
To se rovná čemu? Tři plus mínus sedm, to jsou mínus čtyři.
Mínus jedna plus dvě je jedna. Dvě plus tři jsou pět.
A nula plus pět se rovná pět. Takže tady to máme, takhle někdo definoval součet dvou matic.
A podle této definice, určitě vidíte, že to bude to samé
jako B plus A. Správně? A pamatujte, tady se už musíme zamyslet,
protože už nesčítáme jen čísla. Víte, že jedna plus dvě je to samé jako dvě plus jedna.
Neboli jakákoliv dvě čísla, nezáleží na tom, v jakém pořadí je sčítáte.
Ale u matice to není hned vidět. Ale když to definujeme takhle,
nezáleží na tom jestli sčítáme A plus B nebo B plus A, správně?
Kdybychom udělali B plus A, tohle by bylo mínus sedm plus tři.
Tohle by bylo dvě plus mínus jedna. Vyjdou nám stejná čísla.
To je sčítání matic.
A určitě si umíte představit, že odčítání matic je v podstatě to samé.
Uděláme… Víte co, ukážeme si to. Kolik by bylo A mínus B?
Vidíte, tohle je velké B, je to matice,
proto to dělám tučné. Je to to samé jako
A plus (mínus jedna krát B). Co je B? B je
mínus sedm, dvě, tři, pět. A když to vynásobíte mínus jedničkou,
když násobíte matici,
vynásobíte tím číslem každý její prvek.
Takže tohle se rovná A, matice A, plus matice, každý prvek
vynásobíme mínus jedničkou. Takže sedm,
mínus dvě, mínus tři, pět.
A teď uděláme to samé, co tady nahoře. Víme, co je A.
Tohle se bude rovnat, podívejme se na to, A je tady nahoře.
Takže tři plus sedm je deset, mínus jedna a mínus dvě se rovná mínus tři,
dvě plus mínus tři bude mínus jedna a nula plus pět je pět.
A nemusíme na to jít přes všechny tyhle kroky.
Mohli bychom prostě jen odečíst tyhle prvky od těchto
a dostaneme tu samou hodnotu.
Udělal jsem to, abych vám ukázal násobení matice
reálným číslem, nějaké reálné číslo krát matice
je prostě vynásobení každého členu té matice tím číslem.
Podle téhle definice sčítání matic, co víme?
No, víme, že obě matice musí mít stejnou velikost,
kvůli tomu jak sčítáme. Takže například,
můžeme sečíst tyhle dvě matice. Můžeme sečíst, nevím,
jedna, dvě, tři, čtyři, pět, šest, sedm, osm, devět v téhle matici
s, nevím, mínus deset, mínus sto, mínus tisíc,
vymýšlím si čísla, jedna, nula, nula, jedna, nula, jedna.
Tyhle dvě matice můžeme sčítat, správně?
Mají stejný počet řádků a stejný počet sloupců.
Takže, například, kdybych je sčítal. První prvek by byl jedna plus mínus deset,
tedy mínus devět. Dvě plus mínus sto je mínus devadesát osm.
Myslím, že to chápete. Máme přesně devět prvků ve třech řadách a třech sloupcích.
Ale nemůžeme sečíst tyhle dvě matice.
Udělám to jinou barvou, abych ukázal, co se liší.
Nemůžeme sečíst, tuhle modrou, nemůžeme sečíst tuhle matici:
mínus tři, dva s maticí, nevím, devět, sedm.
A proč je nemůžeme sečíst?
No, nemají odpovídající si prvky, které bychom mohli sčítat.
Tahle má jednu řadu krát dva sloupce, tedy typu 1×2,
a tahle je 2×1. Takže nemají stejné rozměty,
nemůžeme je sčítat ani odčítat.
A jenom jako poznámku, když matice … když je jeden z jejích rozměrů jedna.
Takže například, tady máme jednu řadu a více sloupců.
Tomu vlastně říkáme linární vektor.
Vektor je v podstatě jednorozměrná matice,
kde jeden z rozměrů je jedna. Takže tohle je řádkový vektor
a podobně, tohle je sloupcový vektor. To je jen nějaká terminologie navíc,
kterou byste měli znát. Až budete mít lineární algebru a kalkulus,
váš profesor může tyhle termíny používat a je fajn je už znát.
Nicméně, už máme přes jedenáct minut, takže budu pokračovat v dalším videu. Uvidíme se.