让我们先来把上次视频里面学到的概念
概括总结一下
假设我借入"P"元
(这个字母P表示的是)"P"元,也就是我借得的
本金
那么我在这边写个"本-金"
这里的字母"r",表示利率,就是利息率
就是我借钱时候同意支付的利息率
也可以用百分比表示,我们在这里写成100r%,是吧?
然后,我要借多久呢---嗯
谁知道呢,"t"年吧
好,让我们试着用等式写出
在"t"年年末我应该还多少钱
咱们用单利和复利两种计算方法都来试试
让我们先来看单利,这个比较容易
在时间轴上,时间点为0的时候
我应该还多少钱呢?
好,我在这个时间点开始借钱
如果我立刻归还,那么我仅需还本金"P"元,对吧?
时间轴1这个时候,我欠了本金"P"元+利息
在这里这个利息看成是我对使用本金所支付的租用费用,那么这里就是"rP"
在上一个关于利息的介绍的视频里面
在那个例子里面,"r"我用了10%表示
本金"P"是100元。所以我在还钱的时候,得还10元
作为使用本金的租用费用,也就是一共我得还110元
这个等同于"P(1+r)", 对吧?
乘进去以后,你可以得到"1P + rP"
到了第二年年末,咱们得还多少钱呢?
其实,每年我们需要支付的利息都可以表示为"rP",是不是?
在上次那个例子里,"rP"(利息)等于10元
(单利计算时,利息率每年固定不变)因此如果这里是10%,每年支付的利息都是固定的
都是本金的10%
所以在第二年年末,我们要还的钱变成了"(P+rP)+rP"
括号里面是我们第一年期末要还的本金+利息,然后再加一个"rP"
也可以写成"P(1+2r)"
把P提出来,得到了简化公式
"P(1+2r)"
第三年年末,就是在前两年的基础上再加第三年的利息
也就是"P+rP+rP+rP",最后这个"rp"表示第三年的利息
看到吧,不管"r"代表的是本金的10%还是50%
这里我再写上一个"rP", 看到了吧,无论是哪个,我的等式都可以写成"P(1+3r)"
那么在t年的年末,我欠了多少钱呢?
是的,这里写的P就是本金,用它来乘以"(1+tr)"
这里应该写成"tr"。(整个公式为P(1+tr))
在这个地方,我们可以这样理解这个公式,把这个"P"乘进去,每年我们都需支付"Pr"这么多的利息
我们一共需要支付t年
那么这样想,这个地方就更好理解了
让我们用点实际数字举例看看
假设我借入了一些钱
建议你也要用几个数字来动手做一做
千万别死记硬背这些公式
假设我以15%的年利率借得50块钱,咱们用单利来计算看看
让我们来看借20年应该还多少,那么到了20年年末
我欠的钱就应该是本金"50(1+20x0.15)",是不是?
也就是应该等于,20x0.15等于多少啊?
应该是3,对吧?
没错
好,那这个就成了50x4,结果等于200
那么借了20年后,我应该归还200块
那么,以15%的单利的年利率,借入50元,借款期为20年
到期时,一共要还200元
这是在单利的情况下
这个就是单利的计算公式
下面我们来看看复利的计算公式
我来把这些先擦掉
哦我可不想这么擦
好的,擦掉了
OK,在复利情况下,第一年的利息计算和单利是一样的
记得吗?这个和单利的计算方法一样
我们在之前的视频里面看到过的
用我欠的本金"P",加上利息率乘以本金,即"rP"
结果就等于"P(1+r)"
就这么简单
从第二年开始,单利和复利的计算方法就完全不一样了
在单利情况下,我们要做的就是加上一个"rP"
也就是"P(1+2r)"
在复利的情况下,这个"P(1+r)" (第一年的本金和利息之和)
变成了新的本金,对不对?
那么如果这个是新的本金,我们需要支付的钱就变成了
"(1+r)"乘以这个"P(1+r)" ,也就是新的本金,是吧?
我们的原始本金是"P"
在第一年年末,我们需要偿还的钱就是用"(1+r)"乘以这个原始本金P
这个地方应该写成 "(1+r)"
好的,那到了第二年年末,我们得把在第一年年末的偿还的总数变成
新的本金,也就是"P(1+r)"
我们把这个新的本金再乘以r的百分比
也就是"P(1+r)(1+r)"
这里就可以写成"P(1+r)的平方"
所以你可以这样来理解
以单利计算时,每一年我们加上一个"Pr"
在这个单利情况下,我们每年都是加上一个Pr,这里写成"(+Pr)"
如果假设本金50块,年利息率15%,每年
我们就加上3块,哦不对,应该加上是多少?
15%
应该是我们每年加7.5元的利息,在这里"P"代表本金
"r"表示了年利息率
如果用复利来计算,每年我们都得对
"P(1+r)"做乘法,对吧?
那么在第三年年末,我们应该用这个“P(1+r)的平方”
乘以"(1+r)"
在第三年年末,这个公式变成了"P(1+r)的三次方"
那么到了t年年末,公式就应该是
"本金P(1+r)的t次方"
让我们同样来看看实际的例子,还是刚才那个例子
我们用单利计算时,一共欠200块
让我们看看复利的方法计算的话,我们欠多少
本金是50块
1加上。。。 利率是多少?
0.15
让我们来借20年
这个等式就写成了"50x1.15"的20次方
是不是写在这看不清楚了,让我们来看看
我得怎么算出这个20次方
让我来用Excel算一下,我把这些先去掉
其实我应该用我的鼠标,不用这个笔
来清除这些
好,咱们随便选一个空格
接着我在这个空格输入,"+1.15的20次方"
其实你用任何计算器都可以算得,结果是16.37
好的,那这个地方就等于"50x16.37"
"50x 16.37"的结果是多少?
输入“+50 x"这个格(16.37),结果是818
好的,现在你知道了,如果有人借给你一笔贷款
他们对你说,哦,好吧,我借给你,你需要贷款20年对吧?
我愿意借,贷款的年利率就15%好了
这时候特别要注意和他弄清楚
这15%的年利息率是按照单利计算的呢?
还是按照复利计算的?
如果是按照复利方法来计算的话,最后到期时
你看这里,这样说吧,为了借到50块,按照复利计息
而不是单利计息的话,你最后得多还618块
更不幸的是,在现实生活中
绝大多数情况下计算利息的方法都是采用复利计算法
复利还仅仅是其中一部分,他们不仅仅是采用
一年复利一次,甚至也不是
半年复利一次,他们实际上用的是连续复利法来计算
这也是为什么你得来看接下来的几个视频
我将在里面介绍介绍连续复利是怎么回事
真正开始学习连续复利里的”e“的魔力
好吧,咱们下次视频再见