私たちが前の授業で学習したものを、
少し解りやすくしてみましょう。
例えば、私がPドルを借りているとしましょう。
Pドルは私が借りた、
元金ですね。
これが元金です。
rは利率です。
私が借りているお金に利率が掛かっています。
さらに、私たちは100r%として書くことができますね?
私はそれ(pr)を、
t年間借りるとしましょう。
それでは、単利あるいは複利のいずれかを使用して、
t年の終わりに私がどれくらい金利を負うか考えるために、
方程式を私たちが考え出すことができるかどうか確かめましょう。
まずシンプルな単利からやってみましょう。
時間軸を作りましょう、0の時に、
いくら借りがあるでしょうか。
そうだね、もし私が借りた時にすぐに返済したら、
私は元金だけしか負ってないですね。
1の時に、p(元金)+r×pで、
借りたお金に何が乗ってくるか見えてきます。
前回のビデオの例題では、
rは10%の金利でしたね。
Pは100でしたね、利息の10ドル年間払わないといけなかったので、
110ドル返さなくてはいけませんでした。
これはp(1+r)と同じ考えですよね。
なぜなら、あなたは1r+rpの式を使っただけですから、
それでは、2年後にはいくらの金利がかかってきますか?
私たちは毎年別のrPを払うだけでしたね。
前回の例では金利として10ドルでした。
したがって、毎年これが10%である場合、
私たちは元金の10%を支払います。
2年間の場合ですから、p+rpの式は1年間、
それに別のrpを加えて、
それがp+1+2rになります。
pを取り出して、1+r+r。
そう、1+2r。
それで3年間の場合ですが、2年間に負ったものは何でしょうか。
そうです、p+rp+rp(2年間)に別のrpを支払えば良いのです。
もしrが元金の10%とか50%だとしたら、rpを足しましょう。
ですので答えは、p(1+3r)になります。
t年後はいくら金利が掛かっているでしょう。
元金のpに1を足して、
ここがtrになります。(t年×r)
毎年、私たちがPrを払うので、これを分配することができます。
ここがt年になります。
ですので、ここが意味をなします。
もし私がお金を借りているとして、
ある数字を例に考えてみましょう。
あなたは式を考え出すことが出来ましたので、やってみるのをお勧めします。
公式をただ暗記するだけじゃなくてね!
もし50ドルを15%の単利で15年・・・
20年にしましょう。20年後の終わりの金利は、
50ドル(1+(20×0.15)になりますね?
答えは、50ドル(1+(20×0.15)、えっと20×0.15は、
3かな?
そうだね。
だから、20年間借りると、
50ドル×4=200ドルになります。
50ドルを15%の単利で20年借りると、
最後に200ドル払う答えになります。
これは単利の場合の、
単利の式になります。
それでは、同じ考え方で複利の場合で計算してみましょう。
全部消しましょうか。
この方法で消したかったんじゃないんだけどな。
やりましょうか。
複利の場合でも1年目は、
単利と同じです。
前回のビデオでも私達は見ていますね。
pを借りると、p(元金)+(レート×元金)で、
=p(1+r)になります。
いいでしょう。
2年目で複利と単利が分かれてきます。
単利の場合、別のrpを支払って、
ここは1+2rになっていました。
複利の場合は、ここは新しい元金になりますね?
もしここが、新しい元金でしたら、
(1+r)×p(1+r)になりますね?
元々の元金はpでしたね。
1年後、p(1+r)を払いましたね。
(1+r)
2年の中では払うのは、1年の終わりの数字は何だったか、
それはp(1+r)になり、
金利によって、元金は増えました。
そう、もう一回、(p+1)を増やします。
答えはp(1+r)の2乗になります。
単利では、毎年Prを加えていた方法は、
私達は理解出来ていましたね。
単利では毎年Prを加えていました。
P(50ドル)× r(15%)を毎年加えていましたね、
3ドル。加えていきましょう。何でしたっけ?
50%
金利として、7.5ドル払っていまして、pは元金です。
rは利率(金利)です。
複利では、毎年、
p(1+r)を増やしていきます。
もし3年の場合は、
(1+r)かける
3年ですので、P(1+r)の3乗になります。
t年の場合だと、p(1+r)のy乗になります。
p(1+r)のy乗
これと同じ例を見てみましょう。
単利の場合だと200ドルになっていましたね。
複利の場合は幾らになるか見てみましょう。
元金は50ドル。
1プラス。レートは何でしたっけ?
0.15
それで20年間借り続けています。
よって、50×(1.15の20乗)が答えになります。
答えが解らないよね。
でも20乗の答えを出してみましょう。
エクセルを使ってみましょう。これを全部消しましょう。
実際はペンツールの変わりにマウスを使えば、
全てが消せます。
表を適当に選んでと。
+1.15(1+0.15)の20乗を、どんな計算も使えます、
16.37になりました。
これの答えは50×16.37になります。
50×16.37は何かな?
50を掛けて、答えは818ドル!
これで気付いたはずです、もし誰かがあなたにローンを組むとして、
「ローンを組めますよ」 「20年ローンにしますか?」と言います。
「それでは15%の金利にしましょう。」となりました。
これは本当にハッキリさせないといけない事ですが、
彼らが15%の金利を単利で貸すのか、
複利で貸すのか。
なぜなら、複利の場合はあなたが最後に払うのは・・
これを見てください。たかが50ドルを借りて、
単利より618ドルも多く払うのです。
残念ながら、世の中での多くは、
複利になってます。
複雑なのはこれだけではないんだ、でもこれらは毎年、
それを複雑にして、それらは6ヶ月ごとに、更に複雑にして、
それらは連動的にそれを複雑にします。
次々のいくつかのビデオで連続的な複利について見るべきですよ、
そしてあなたは、
eのマジックを学ぶことになりますよ。
それでは、また次のビデオで。