1 00:00:00,267 --> 00:00:02,523 Wir haben hier drei Ungleichungen, 2 00:00:02,523 --> 00:00:05,814 die Beträge enthalten, und darunter haben wir 3 00:00:05,814 --> 00:00:07,114 potentielle Werte für x, 4 00:00:07,114 --> 00:00:09,654 und was ich in diesem Video tun will, ist, zu sehen, 5 00:00:09,654 --> 00:00:13,270 für welche dieser potentiellen Werte für x die Ungleichung gilt 6 00:00:13,270 --> 00:00:15,444 Also, fangen wir zuerst mit der grünen an, 7 00:00:15,444 --> 00:00:16,175 hier links. 8 00:00:16,175 --> 00:00:18,776 Sie sagt aus, dass der Betrag von x weniger ist als 9 00:00:18,776 --> 00:00:22,067 der Betrag von minus 7. 10 00:00:22,067 --> 00:00:23,754 Also, denken wir darüber nach, welcher dieser Werte für x 11 00:00:23,754 --> 00:00:25,339 dies wahr machen würde. 12 00:00:25,339 --> 00:00:27,655 Und bevor ich auch nur einen der x-Werte ausprobiere, 13 00:00:27,655 --> 00:00:30,011 sehen wir, ob wir die Ungleichung vereinfachen können. 14 00:00:30,011 --> 00:00:32,226 Die Sache, die vielleicht für dich offensichtlich ist, und die dich ermutigen könnte, 15 00:00:32,226 --> 00:00:34,136 diese Aufgabe alleine auszuprobieren bevor ich sie durcharbeite, 16 00:00:34,136 --> 00:00:35,944 was dich direkt anspringen könnte, ist, dass wir wissen, 17 00:00:35,944 --> 00:00:38,300 was der Betrag von -7 ist. 18 00:00:38,300 --> 00:00:40,068 Der Betrag von -7 ist, wie weit 19 00:00:40,068 --> 00:00:43,116 von 0 ist -7 auf dem Zahlenstrahl entfernt? 20 00:00:43,116 --> 00:00:44,680 Nun, es es 7 nach links. 21 00:00:44,680 --> 00:00:47,382 Die Distanz von -7 zu 0 ist 7, 22 00:00:47,382 --> 00:00:49,109 man könnte auch sagen, 23 00:00:49,109 --> 00:00:53,051 dass der Betrag jeder Zahl immer 24 00:00:53,051 --> 00:00:55,225 die nicht-negative Version der Zahl ist. 25 00:00:55,225 --> 00:00:58,415 Also ist das hier, der Betrag von -7, 26 00:00:58,415 --> 00:01:00,548 das ist einfach nur 7. 27 00:01:00,548 --> 00:01:02,844 Also wäre eine äquivalente Ungleichung, 28 00:01:02,844 --> 00:01:06,724 dass der Absolutwert von x weniger als 7 sein darf. 29 00:01:06,724 --> 00:01:09,873 Also sehen wir, ob das für x = -8 wahr ist. 30 00:01:09,873 --> 00:01:11,864 Wenn x = -8 31 00:01:11,864 --> 00:01:14,953 dann schreiben wir -8 überall dort hin, wo wir ein "x" sehen. 32 00:01:14,953 --> 00:01:17,309 Also, ist der Betrag von -8 33 00:01:17,309 --> 00:01:20,560 kleiner als 7? 34 00:01:20,560 --> 00:01:22,003 Ist das wahr? 35 00:01:22,003 --> 00:01:23,750 Nun, der Betrag von -8 36 00:01:23,750 --> 00:01:26,086 ist ganz einfach 8, 37 00:01:26,086 --> 00:01:28,077 also, ist 8 kleiner als 7? 38 00:01:28,077 --> 00:01:29,987 Nein, es ist größer als 7. 39 00:01:29,987 --> 00:01:32,507 Also, x = -8 40 00:01:32,507 --> 00:01:34,579 erfüllt nicht die Ungleichung. 41 00:01:34,579 --> 00:01:37,078 Was ist nun mit x = -2? 42 00:01:37,078 --> 00:01:39,089 Überall wo wir ein x sehen schreiben wir eine -2. 43 00:01:39,089 --> 00:01:41,913 Also muss der Betrag von -2 44 00:01:41,913 --> 00:01:43,518 weniger sein als 7. 45 00:01:43,518 --> 00:01:46,119 Was ist der Betrag von -2? 46 00:01:46,119 --> 00:01:48,856 Es ist einfach nur +2. 47 00:01:48,856 --> 00:01:51,505 Ist +2 kleiner als 7? 48 00:01:51,505 --> 00:01:53,558 Natürlich 2 ist kleiner als 7. 49 00:01:53,558 --> 00:01:57,621 Also erfüllt x = -2 50 00:01:57,621 --> 00:02:00,079 unsere Ungleichung. 51 00:02:00,079 --> 00:02:03,147 Der Betrag von -2 ist kleiner als 52 00:02:03,147 --> 00:02:05,220 der Betrag von -7. 53 00:02:05,220 --> 00:02:07,658 Und zuletzt, x = 6. 54 00:02:07,658 --> 00:02:10,340 Also ist der Betrag der Betrag von 6. 55 00:02:10,340 --> 00:02:13,123 Nochmal, überall wo ich x sehe schreibe ich die 6. 56 00:02:13,123 --> 00:02:14,484 x ist gleich 6. 57 00:02:14,484 --> 00:02:15,906 Wir sagen also, der Betrag von 6, 58 00:02:15,906 --> 00:02:18,731 ist der weniger als 7? 59 00:02:18,731 --> 00:02:21,839 Nun, der Betrag von 6 ist ganz einfach 6. 60 00:02:21,839 --> 00:02:24,419 6 ist 6 Schritte von der 0 entfernt. 61 00:02:24,419 --> 00:02:26,248 Ist 6 weniger als 7? 62 00:02:26,248 --> 00:02:28,787 Ja, natürlich, 6 ist weniger als 7. 63 00:02:28,787 --> 00:02:32,201 Also, x = 6 und x = -2, 64 00:02:32,201 --> 00:02:35,100 beide Werte erfüllen die Ungleichung. 65 00:02:35,100 --> 00:02:38,595 Nun lasst uns die violette Aufgabe lösen. 66 00:02:38,595 --> 00:02:40,586 Und nochmal, ich schlage vor, dass du das Video pausierst 67 00:02:40,586 --> 00:02:42,719 und versuchst, die Aufgabe alleine zu lösen. 68 00:02:42,719 --> 00:02:44,954 Versuchen wir x = -4 69 00:02:44,954 --> 00:02:47,392 Also, wenn x = -4, 70 00:02:47,392 --> 00:02:49,769 dann behaupten wir, dass der Betrag von -4 71 00:02:49,769 --> 00:02:52,105 größer ist als 5. 72 00:02:52,105 --> 00:02:53,670 Betrag von -4, 73 00:02:53,670 --> 00:02:55,559 nun, das ist ganz einfach 4. 74 00:02:55,559 --> 00:02:58,871 Ist 4 größer als 5. 75 00:02:58,871 --> 00:03:00,801 Nein, 4 ist kleiner als 5. 76 00:03:00,801 --> 00:03:02,975 Also funktioniert das nicht. 77 00:03:02,975 --> 00:03:04,499 Nun versuchen wir x = 3 78 00:03:04,499 --> 00:03:07,120 Überall, wo wir x seehen ersetzen wir es durch eine 3. 79 00:03:07,120 --> 00:03:08,644 Der Betrag von 3, 80 00:03:08,644 --> 00:03:10,391 ist der größer als 5? 81 00:03:10,391 --> 00:03:12,626 Betrag von 3 ist einfach 3, 82 00:03:12,626 --> 00:03:14,353 also ist 3 größer als 5? 83 00:03:14,353 --> 00:03:16,791 Nein, 3 ist kleiner als 5. 84 00:03:16,791 --> 00:03:18,599 Ich denke, du siehst es jetzt, 85 00:03:18,599 --> 00:03:19,899 hoffentlich bekommst du den Dreh raus. 86 00:03:19,899 --> 00:03:22,043 Also, zum letzten Wert, wenn x = - 9 87 00:03:22,043 --> 00:03:25,029 Der Betrag von -9, 88 00:03:25,029 --> 00:03:27,244 der müsste größer als 5 sein. 89 00:03:27,244 --> 00:03:29,215 Betrag von -9, 90 00:03:29,215 --> 00:03:30,942 nun, das ist einfach 9. 91 00:03:30,942 --> 00:03:32,404 Also ist es einfach nur 9, 92 00:03:32,404 --> 00:03:34,802 und ist das größer als 5? 93 00:03:34,802 --> 00:03:36,915 Nun, natürlich, 9 ist größer als 5. 94 00:03:36,915 --> 00:03:40,531 Also erfüllt x = -9 die Ungleichung. 95 00:03:40,531 --> 00:03:42,725 Nun gut, lasst uns nun die Aufgabe 96 00:03:42,725 --> 00:03:44,981 in diesem hell-violetten Farbton machen. 97 00:03:44,981 --> 00:03:48,333 Der Betrag von x muss größer sein 98 00:03:48,333 --> 00:03:49,877 als -16. 99 00:03:49,877 --> 00:03:52,600 Also gibt es etwas sehr interessantes an dieser Aufgabe. 100 00:03:52,600 --> 00:03:54,469 Wir müssen uns nicht einmal die Werte für x anschauen. 101 00:03:54,469 --> 00:03:58,918 Kannst du dir irgendein x vorstellen, das die Ungleichung nicht erfüllen würde? 102 00:03:58,918 --> 00:04:01,194 Nun, denk einfach eine Weile darüber nach. 103 00:04:01,194 --> 00:04:02,799 Der Betrag einer Zahl, 104 00:04:02,799 --> 00:04:05,471 wird der Betrag jemals negativ. 105 00:04:05,471 --> 00:04:08,376 Nein, der Betrag einer Zahl 106 00:04:08,376 --> 00:04:10,997 ist immer 0 oder positiv. 107 00:04:10,997 --> 00:04:12,541 Er wird nicht-negativ sein. 108 00:04:12,541 --> 00:04:16,360 also ist das hier 0 oder positiv, 109 00:04:16,360 --> 00:04:18,514 wir könnten es auch nicht-negativ nennen. 110 00:04:18,514 --> 00:04:21,338 0 oder positiv. 111 00:04:21,338 --> 00:04:23,878 Also wenn dieses Ding hier 0 oder positiv ist, 112 00:04:23,878 --> 00:04:26,174 etwas, das 0 oder größer ist, 113 00:04:26,174 --> 00:04:28,815 etwas das immer 0 oder positiv ist 114 00:04:28,815 --> 00:04:30,989 wird immer größer als eine negative Zahl sein. 115 00:04:30,989 --> 00:04:34,869 Also ist das eigentlich für alle Werte für x wahr. 116 00:04:34,869 --> 00:04:36,109 Wir müssen sie nicht einmal ausprobieren. 117 00:04:36,109 --> 00:04:37,876 Wir könnten sie ausprobieren, wir werden sie sogar ausprobieren, 118 00:04:37,876 --> 00:04:38,912 nur, damit du das siehst, 119 00:04:38,912 --> 00:04:40,436 aber es wird für jedes beliebige x gelten, 120 00:04:40,436 --> 00:04:41,818 denn wenn du den Betrag nimmst, 121 00:04:41,818 --> 00:04:44,560 wenn x = 0 dann wird er 0 sein, 122 00:04:44,560 --> 00:04:47,445 aber für jeden anderen Wert für x, für jeden Wert verschieden von 0, 123 00:04:47,445 --> 00:04:50,351 wird der Betrag von diesem Wert positiv sein. 124 00:04:50,351 --> 00:04:52,382 Und lasst uns einfach sehen, wir könnten hier jedes x einsetzen, 125 00:04:52,382 --> 00:04:54,536 und diese Aussage wäre wahr. 126 00:04:54,536 --> 00:04:57,015 Betrag von x = -15 127 00:04:57,015 --> 00:04:58,762 Nun, der Betrag von -15 128 00:04:58,762 --> 00:05:01,342 Ist der größer als -16? 129 00:05:01,342 --> 00:05:02,744 Nun, der Betrag von -15 130 00:05:02,744 --> 00:05:05,832 ist +15 und natürlich ist +15 131 00:05:05,832 --> 00:05:07,783 größer als -16 132 00:05:07,783 --> 00:05:10,343 Eine positive Zahl ist immer größer als eine negative Zahl. 133 00:05:10,343 --> 00:05:12,090 Also ist die Ungleichung erfüllt. 134 00:05:12,090 --> 00:05:14,518 Wenn x = 3, Betrag von 3, 135 00:05:14,518 --> 00:05:16,326 ist der größer als -16? 136 00:05:16,326 --> 00:05:18,399 Oh, Entschuldigung, lasst mich das anders schreiben. 137 00:05:18,399 --> 00:05:22,584 Betrag von 3, ist der größer als -16? 138 00:05:22,584 --> 00:05:24,291 Natürlich der Betrag von 3 ist 3. 139 00:05:24,291 --> 00:05:26,853 Und 3 ist positiv, also wird es 140 00:05:26,853 --> 00:05:27,877 größer sein als jede negative Zahl. 141 00:05:27,877 --> 00:05:29,075 Also funktionert das. 142 00:05:29,075 --> 00:05:31,109 Und wie ich bereits gesagt habe, jedes x würde hier funktionieren. 143 00:05:31,109 --> 00:05:33,060 Und zuletzt, wenn x = 9, 144 00:05:33,060 --> 00:05:36,432 Nun, der Betrag von 9, wenn x = 9 145 00:05:36,432 --> 00:05:39,317 Ist der größer als -16? 146 00:05:39,317 --> 00:05:41,085 Nun, natürlich, der Betrag ist einfach 9, 147 00:05:41,085 --> 00:05:43,503 Und der ist größer als -16. 148 00:05:43,503 --> 00:05:45,799 Sogar wenn x = 0, dann hätte man 149 00:05:45,799 --> 00:05:49,923 0 größer -16, was definitiv wahr ist. 150 00:05:49,923 --> 00:05:53,923 Also funktioniert hier jedes x.