0:00:00.000,0:00:03.380
很抱歉上來先咳了一聲
0:00:03.390,0:00:06.349
我想我的感冒還沒完全好
0:00:06.359,0:00:10.558
但是現在我想接著上次的等腰直角三角形講
0:00:10.558,0:00:19.135
上節課中 我們學習了等腰三角形的一條直角邊
0:00:19.135,0:00:25.602
等於 2 的第二次方除 2 乘斜邊
0:00:25.602,0:00:26.850
讓我們再解決多幾個問題
0:00:26.850,0:00:31.370
假設三角形的斜邊
0:00:31.370,0:00:35.760
請記住這在個等腰直角三角形才行
0:00:35.760,0:00:37.530
如果這個角是45度
0:00:37.530,0:00:39.160
那麽 另外一個也是45度
0:00:39.160,0:00:41.996
如果我跟你說這條斜邊長度是
0:00:41.996,0:00:44.832
我說10
0:00:44.832,0:00:47.670
我們知道它是斜邊因爲它是直角的對邊
0:00:47.670,0:00:51.540
那麽這條邊 假設爲x 是多長呢
0:00:51.590,0:00:55.610
x等於斜邊的(√2)/2倍
0:00:55.660,0:01:00.640
於是 x=[(√2)/2]10
0:01:00.640,0:01:08.380
或者也可以寫成x=5√2 對吧
0:01:08.410,0:01:12.240
10除以2 所以x=5√2
0:01:12.280,0:01:14.170
這一邊和這一邊是相等的
0:01:14.200,0:01:17.900
對吧 這是個等腰三角形
0:01:17.900,0:01:19.970
因爲這兩個角是相等的
0:01:20.010,0:01:23.670
由此得知這一邊也是5√2
0:01:23.700,0:01:25.920
如果你不確定
0:01:25.970,0:01:27.650
讓我們用勾股定理驗證一下
0:01:27.700,0:01:29.060
由勾股定理得出
0:01:29.060,0:01:36.170
5√2的平方加上5√2的平方
0:01:36.170,0:01:37.700
等於斜邊的平方
0:01:37.730,0:01:40.330
這裡斜邊是10 等於100
0:01:40.380,0:01:44.120
這個等於25乘以2 等於50
0:01:44.200,0:01:49.460
再加上25乘以2 是50 這裡加起來是100
0:01:49.490,0:01:50.760
等於100
0:01:50.800,0:01:53.850
很顯然 這是正確的
0:01:53.850,0:01:54.890
所以這是對的
0:01:54.940,0:01:56.610
我們用勾股定理證明了它
0:01:56.610,0:01:58.810
這是我們在一開始得出的這個等式
0:01:58.810,0:02:00.990
如果你忘了這是怎麽證明的
0:02:00.990,0:02:02.620
你可以去看上一個影片
0:02:02.660,0:02:06.770
我現在將要介紹另外一種三角形
0:02:06.820,0:02:11.780
同樣的 我將提出幾個問題
0:02:11.810,0:02:15.400
然後用勾股定理解答出來
0:02:15.460,0:02:20.560
這是另外一種三角形 叫做30-60-90三角形
0:02:20.560,0:02:27.430
如果我沒有足夠時間講完
0:02:27.470,0:02:29.270
我會在另外一節課中介紹
0:02:29.270,0:02:34.480
比方說 有一個直角三角形
0:02:34.480,0:02:42.170
這個不是很漂亮 但我們湊合用一下吧
0:02:42.220,0:02:46.230
這是一個直角三角形
0:02:46.230,0:02:47.700
如果已知這個角是30度
0:02:47.730,0:02:51.660
我們知道一個三角形所有角度數相加爲180度
0:02:51.660,0:02:53.950
所以這個是30度 這個是90度
0:02:54.000,0:02:55.600
假設這個是x度
0:03:02.080,0:03:03.700
因爲三角形所有角相加度數等於180
0:03:03.700,0:03:08.270
可以得出x=60 對吧
0:03:08.270,0:03:10.010
所以這個角爲60度
0:03:10.060,0:03:13.310
這就是爲什麽它被叫做30-60-90三角形
0:03:13.340,0:03:16.750
因爲這反映了三角形三個角的大小
0:03:16.790,0:03:21.660
如果已知這條斜邊
0:03:21.660,0:03:23.840
這個三角形的斜邊
0:03:23.890,0:03:26.030
現在我們不再稱它爲c
0:03:26.030,0:03:28.550
我們稱它爲h 我們想算出其他的邊
0:03:28.630,0:03:30.000
怎麽算呢
0:03:30.080,0:03:33.730
我們可以主要利用勾股定理來做到
0:03:33.730,0:03:35.620
這裡我將利用一個小竅門
0:03:35.680,0:03:39.430
畫一個跟這個一模一樣的三角形
0:03:39.430,0:03:44.080
但把它翻轉到另一邊
0:03:44.080,0:03:48.870
這是一個一樣的三角形 只不過面朝另一個方向
0:03:48.920,0:03:50.170
這個角是90度
0:03:50.220,0:03:53.470
然後我們知道這兩個角互爲補角
0:03:53.470,0:03:55.450
如果你忘記了鄰補角的定義
0:03:55.450,0:03:57.560
你可以參考以前
0:03:57.590,0:04:00.290
關於"角"的教學影片
0:04:00.320,0:04:02.000
這個角是90度 這個角也是90度
0:04:02.070,0:04:03.340
你也可以看出來 這是正確的
0:04:03.380,0:04:06.780
這兩個三角形是一樣的
0:04:06.830,0:04:08.520
因爲我們把左邊的三角形翻轉到右邊
0:04:08.560,0:04:11.650
我們還知道這個角度數爲30度
0:04:11.690,0:04:17.210
同時 這個角是60度 對吧
0:04:17.210,0:04:21.100
如果這個角是30度 這個角也是30度
0:04:21.100,0:04:26.820
於是 這個大角從這裡到這裡
0:04:26.890,0:04:29.650
是60度
0:04:29.650,0:04:33.880
如果這個角是60度
0:04:33.930,0:04:37.500
這個上面的角是60度
0:04:37.500,0:04:42.330
那麽由我們在等腰直角三角形影片
0:04:42.330,0:04:44.480
中的定理得知
0:04:44.510,0:04:47.340
如果這兩個角相等
0:04:47.340,0:04:52.260
這兩個角的非公共的兩條邊相等
0:04:52.290,0:04:53.570
哪兩條不是它們的公共邊呢
0:04:53.570,0:04:55.760
是這條 和這一條
0:04:55.800,0:04:59.340
假設這條邊長度爲h 那麽這條邊長度也爲h
0:04:59.340,0:05:03.290
這個角也是60度
0:05:03.290,0:05:06.980
如果我們注意到這個60度角 和這個60度角
0:05:06.980,0:05:11.300
同理 它們的非公共邊也相等
0:05:11.300,0:05:12.300
它們公共邊是這個邊
0:05:12.400,0:05:15.460
於是它們的非公共邊是這一邊和這一邊
0:05:15.500,0:05:18.360
所以這一邊長度爲h 這一邊也是h
0:05:18.390,0:05:20.080
對吧
0:05:20.080,0:05:24.280
所以 事實證明 如果三角形有三個60度角
0:05:24.280,0:05:26.690
它的三條邊都等長
0:05:26.720,0:05:28.030
換句話說 它是一個等邊三角形
0:05:28.060,0:05:29.790
請記住這一點
0:05:29.880,0:05:30.950
這也是很有道理的
0:05:31.000,0:05:33.020
無論你如何看它
0:05:33.020,0:05:34.250
等邊三角形都是對稱的
0:05:34.300,0:05:36.100
所以 等邊三角形的所有角相等
0:05:36.150,0:05:38.580
所有邊的長度也相等
0:05:38.630,0:05:42.690
最開始問題中
0:05:42.740,0:05:44.250
我們只有左邊這一半的三角形
0:05:44.250,0:05:48.180
整個這一條邊長度爲h
0:05:48.180,0:05:52.820
如果這整條邊長度爲h
0:05:52.820,0:05:56.520
那麽這裡的這條邊 原來的三角形的一邊
0:05:56.520,0:05:57.920
爲了更清楚地說明
0:05:57.920,0:06:00.110
我們換另外一種顏色來表示
0:06:00.160,0:06:02.660
這是這條邊的一半 對吧
0:06:02.660,0:06:08.870
這是h/2 這也是h/2
0:06:08.930,0:06:14.770
讓我們回來再看原來的這個三角形
0:06:14.770,0:06:16.400
這是個30度角
0:06:16.450,0:06:18.210
這是斜邊
0:06:18.210,0:06:20.040
因爲它是直角的對邊
0:06:20.130,0:06:23.370
我們知道30度角的對邊是
0:06:23.410,0:06:25.730
斜邊長度的1/2
0:06:25.730,0:06:28.440
再讓我們重述一下
0:06:28.490,0:06:31.360
我們複製了左邊的三角形 得到一個等邊三角形
0:06:31.400,0:06:34.290
得出這整條邊和斜邊長度一樣
0:06:34.290,0:06:36.460
這是整條邊的一半
0:06:36.510,0:06:38.340
所以 它是斜邊的1/2
0:06:38.340,0:06:39.470
讓我們記住
0:06:39.470,0:06:42.520
30度角的對邊是斜邊長度的1/2
0:06:42.520,0:06:46.480
讓我重新畫一下
0:06:46.480,0:06:47.570
因爲之前的那幅圖看起來有點亂
0:06:47.620,0:06:50.360
回到最開始的地方
0:06:50.360,0:06:55.710
這是一個直角
0:06:55.750,0:06:59.260
這是斜邊
0:06:59.310,0:07:01.310
如果這個角是30度
0:07:01.340,0:07:06.020
剛才我們推導出
0:07:06.060,0:07:08.050
30度角的對邊
0:07:08.110,0:07:09.630
這個角的對邊
0:07:09.680,0:07:12.440
等於斜邊的1/2
0:07:12.490,0:07:17.220
如果這條邊等於斜邊的1/2
0:07:17.220,0:07:18.750
那麽這條邊等於多少呢
0:07:18.820,0:07:21.990
這裡 我們可以再次用到勾股定理
0:07:21.990,0:07:25.640
我們知道這條邊的平方加上這條邊的平方
0:07:25.670,0:07:30.560
假設這條邊爲A 等於h的平方
0:07:30.590,0:07:36.120
於是我們得到
0:07:42.620,0:07:50.360
這個等於 (h^2)/4+A^2 等於h^2
0:07:50.360,0:07:53.840
兩邊都減去h^2
0:07:53.890,0:08:00.110
得到A^2=h^2-(h^2)/4
0:08:14.480,0:08:15.860
等於A的平方
0:08:15.890,0:08:18.520
沒地方寫了
0:08:18.520,0:08:21.390
我們在這裡接著寫
0:08:21.390,0:08:23.590
兩邊同時取平方根
0:08:23.620,0:08:30.790
我們得到 A等於√(3/4)的
0:08:30.790,0:08:35.040
也就是√3/2
0:08:35.040,0:08:39.670
h平方的平方根是h
0:08:39.670,0:08:42.640
這個A 請注意這不是面積
0:08:42.640,0:08:44.250
這是這條邊的長度
0:08:44.250,0:08:45.420
早知道我不應該用A來表示的
0:08:45.490,0:08:51.730
A=√3/2h
0:08:51.760,0:08:55.480
我們推導出了30-60-90三角形
0:08:55.510,0:08:59.480
所有邊和斜邊的關係
0:08:59.480,0:09:00.990
這是60度角
0:09:01.070,0:09:02.830
如果已知斜邊
0:09:02.900,0:09:05.680
並且這是一個30-60-90三角形
0:09:05.740,0:09:08.660
那麽30度角的對邊
0:09:08.660,0:09:09.910
是斜邊的1/2
0:09:09.910,0:09:14.230
同時 60度角的對邊
0:09:14.230,0:09:18.060
是斜邊的√3/2倍
0:09:18.060,0:09:19.620
下節課
0:09:19.620,0:09:22.440
我將告訴你如何應用這些性質
0:09:22.460,0:09:23.930
你可能暫時記不住
0:09:23.980,0:09:25.900
但你最好記住並且練習它
0:09:25.960,0:09:28.710
因爲它會讓你在考試中做題速度變快
0:09:28.710,0:09:31.540
這樣就可以用這條性質
0:09:31.560,0:09:35.660
來快速解答相關題目
0:09:35.700,0:09:37.480
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