很抱歉上來先咳了一聲
我想我的感冒還沒完全好
但是現在我想接著上次的等腰直角三角形講
上節課中 我們學習了等腰三角形的一條直角邊
等於 2 的第二次方除 2 乘斜邊
讓我們再解決多幾個問題
假設三角形的斜邊
請記住這在個等腰直角三角形才行
如果這個角是45度
那麽 另外一個也是45度
如果我跟你說這條斜邊長度是
我說10
我們知道它是斜邊因爲它是直角的對邊
那麽這條邊 假設爲x 是多長呢
x等於斜邊的(√2)/2倍
於是 x=[(√2)/2]10
或者也可以寫成x=5√2 對吧
10除以2 所以x=5√2
這一邊和這一邊是相等的
對吧 這是個等腰三角形
因爲這兩個角是相等的
由此得知這一邊也是5√2
如果你不確定
讓我們用勾股定理驗證一下
由勾股定理得出
5√2的平方加上5√2的平方
等於斜邊的平方
這裡斜邊是10 等於100
這個等於25乘以2 等於50
再加上25乘以2 是50 這裡加起來是100
等於100
很顯然 這是正確的
所以這是對的
我們用勾股定理證明了它
這是我們在一開始得出的這個等式
如果你忘了這是怎麽證明的
你可以去看上一個影片
我現在將要介紹另外一種三角形
同樣的 我將提出幾個問題
然後用勾股定理解答出來
這是另外一種三角形 叫做30-60-90三角形
如果我沒有足夠時間講完
我會在另外一節課中介紹
比方說 有一個直角三角形
這個不是很漂亮 但我們湊合用一下吧
這是一個直角三角形
如果已知這個角是30度
我們知道一個三角形所有角度數相加爲180度
所以這個是30度 這個是90度
假設這個是x度
因爲三角形所有角相加度數等於180
可以得出x=60 對吧
所以這個角爲60度
這就是爲什麽它被叫做30-60-90三角形
因爲這反映了三角形三個角的大小
如果已知這條斜邊
這個三角形的斜邊
現在我們不再稱它爲c
我們稱它爲h 我們想算出其他的邊
怎麽算呢
我們可以主要利用勾股定理來做到
這裡我將利用一個小竅門
畫一個跟這個一模一樣的三角形
但把它翻轉到另一邊
這是一個一樣的三角形 只不過面朝另一個方向
這個角是90度
然後我們知道這兩個角互爲補角
如果你忘記了鄰補角的定義
你可以參考以前
關於"角"的教學影片
這個角是90度 這個角也是90度
你也可以看出來 這是正確的
這兩個三角形是一樣的
因爲我們把左邊的三角形翻轉到右邊
我們還知道這個角度數爲30度
同時 這個角是60度 對吧
如果這個角是30度 這個角也是30度
於是 這個大角從這裡到這裡
是60度
如果這個角是60度
這個上面的角是60度
那麽由我們在等腰直角三角形影片
中的定理得知
如果這兩個角相等
這兩個角的非公共的兩條邊相等
哪兩條不是它們的公共邊呢
是這條 和這一條
假設這條邊長度爲h 那麽這條邊長度也爲h
這個角也是60度
如果我們注意到這個60度角 和這個60度角
同理 它們的非公共邊也相等
它們公共邊是這個邊
於是它們的非公共邊是這一邊和這一邊
所以這一邊長度爲h 這一邊也是h
對吧
所以 事實證明 如果三角形有三個60度角
它的三條邊都等長
換句話說 它是一個等邊三角形
請記住這一點
這也是很有道理的
無論你如何看它
等邊三角形都是對稱的
所以 等邊三角形的所有角相等
所有邊的長度也相等
最開始問題中
我們只有左邊這一半的三角形
整個這一條邊長度爲h
如果這整條邊長度爲h
那麽這裡的這條邊 原來的三角形的一邊
爲了更清楚地說明
我們換另外一種顏色來表示
這是這條邊的一半 對吧
這是h/2 這也是h/2
讓我們回來再看原來的這個三角形
這是個30度角
這是斜邊
因爲它是直角的對邊
我們知道30度角的對邊是
斜邊長度的1/2
再讓我們重述一下
我們複製了左邊的三角形 得到一個等邊三角形
得出這整條邊和斜邊長度一樣
這是整條邊的一半
所以 它是斜邊的1/2
讓我們記住
30度角的對邊是斜邊長度的1/2
讓我重新畫一下
因爲之前的那幅圖看起來有點亂
回到最開始的地方
這是一個直角
這是斜邊
如果這個角是30度
剛才我們推導出
30度角的對邊
這個角的對邊
等於斜邊的1/2
如果這條邊等於斜邊的1/2
那麽這條邊等於多少呢
這裡 我們可以再次用到勾股定理
我們知道這條邊的平方加上這條邊的平方
假設這條邊爲A 等於h的平方
於是我們得到
這個等於 (h^2)/4+A^2 等於h^2
兩邊都減去h^2
得到A^2=h^2-(h^2)/4
等於A的平方
沒地方寫了
我們在這裡接著寫
兩邊同時取平方根
我們得到 A等於√(3/4)的
也就是√3/2
h平方的平方根是h
這個A 請注意這不是面積
這是這條邊的長度
早知道我不應該用A來表示的
A=√3/2h
我們推導出了30-60-90三角形
所有邊和斜邊的關係
這是60度角
如果已知斜邊
並且這是一個30-60-90三角形
那麽30度角的對邊
是斜邊的1/2
同時 60度角的對邊
是斜邊的√3/2倍
下節課
我將告訴你如何應用這些性質
你可能暫時記不住
但你最好記住並且練習它
因爲它會讓你在考試中做題速度變快
這樣就可以用這條性質
來快速解答相關題目
下節課再見