여기 어느 영상 장면이 있습니다
스포츠 역사상 가장 흥미진진한 순간 중 하나이죠
더욱 더 흥미진진하게 하는 것은 해설자가 독일어로 말하고 있다는 것이죠
교육용으로 이용하는 것이니 괜찮다고 생각해요
이것에 관련된 수학 문제를 풀거거든요
이제 같이 이 동영상을 본 후 질문을 하겠습니다
..
자 이제 이 영상은 어떤 언어로 보든 재밌죠?
여기서 질문은 우사인 볼트는 얼마나 빠르게 가고 있었나요?
우사인 볼트가 100m 달렸을 때 평균 속력는 얼마인가요?
방금 영상을 충분히 본 후 생각해보세요
그리고 잠시 영상을 멈추고 각자 식을 먼저 세워본 후
함께 풀어봅시다 멈추고 풀어보세요
일단 우사인 볼트가 100m 갈 때 평균 속력을 알아야겠죠?
생각해봐야 할 것은
평균 속력, 혹은 평균 속력 비율이죠
이 개념에 대해 이미 알고있을 수도 있어요
거리가 속력이나 속도 곱하기
거리가 그냥 속도 x 시간이라고 쓸게요
곱하기를 저렇게 쓸수도 있겠지만 더 어려운 수학을 풀게되면
전통적으로 쓰는 곱하기 부호는 매우 헷갈릴 수 있어요
왜냐면 그게 변수 x와 똑같이 생겼거든요
그래서 대신, 곱하기를 이렇게 쓸게요
즉 거리는 속도 ∙ 시간이죠
다행히 무슨말인지 알 수 있죠?
예를들어 속력이 1초당 10m라면
문제랑은 상관 없지만 만약 누가 1초에 10m를 가는데
이렇게 2초 동안 가죠?
그러면 총 20m 간다는 것을 알 수 있죠
2초동안 1초당 10m 갔어요
계산이 맞죠? 10 x 2는 20이니까요
살펴보면 분모에 초가 있고
위의 분자에도 초가 있어요
위에도 있고 아래도 있으므로
그럼 약분되서 없어지고 미터만 남게 되요
그러니 20m만 남아있죠
이 내용이 이해가 되었으면 하네요
간단한 예를 봤으니
실제 문제에 대해서 생각해 봅시다
무슨 정보가 있죠?
여기 거리가 있나요?
동영상에서 거리가 얼마죠?
생각할 시간 좀 드릴게요
...
이 경기는 100m 였어요
그래서 거리는 100이죠
100m요
또 무엇을 알고 있나요?
속력를 찾아야하니 그걸 알아낼 거에요
여기서 다른 것들은 아는 것이 뭐가 있나요?
시간을 알 수 있나요?
시간 알아요?
우사인 볼트가 100m 뛰는데 걸린 시간이 얼마죠?
생각해볼 수 있게 몇 초 드릴게요
모든 과정을 재고 있진 않았어요
대신 세계 기록이라는 것을 보여줬고요
여기 시간이 초로 나타나있고
우사인 볼트가 100m 뛰는데 걸린 시간이죠
9.58초였어요. 그러면 초 대신 s를 쓰도록 하죠
그러니 주어진 정보에서 구하고자 하는 것은
속력를 초당 몇 미터를 갔는지 형태로 알려주는 것이죠
속력를 초당 미터 형태로 계산할 수 있는지 생각해보세요
거리도 알고, 시간도 알아요
공식 안에 이 값들을 대입해보도록 하죠
거리가 100m이고
100m 에요
속력은 모르기 때문에, 속력을 구하니까 바로 여기에 쓸게요
똑같은 색깔로 쓸거에요
속력 곱하기 시간인데요, 시간이 얼마라고요?
시간은 알죠?
9.58초이죠
9.58초요
그리고 속력을 알고싶습니다
속력을 구하고자 하는 거죠
그래서 우린 이걸 어떻게 하죠?
여기 식의 우변을 보면
9.58초 곱하기 속력이라고 썼어요
만약 우변을 9.58초로 나눌 수 있다면
우변에는 그냥 속력이 있을거고, 이게 알고싶은 것이죠
그럼 왜 그냥
우변을 9.58초로 나누지 않죠? 하고 말하겠죠?
그 이유는 만약 9를 했으면 단위가 다 약분되어 없어지는데
차원 해석법을 하고 있다는 가정하에 그래요 (이 말이 이해 안 가도 그다지 걱정하진 마세요)
단위가 약분되고 9.58또한 약분돼요
그러나 방정식의 한 변을 숫자로 나눌 수는 없어요
처음 시작할 때, 이것은 바로 여기 위에 있는 얘와 같았어요
만약 우변을 9.58로 나누면,
이 등식이 성립하기 위해서는 좌변 또한 9.58로 나누어야 해요
그러니 그냥 우변만을 나누면 안돼요
이 등식이 성립하기 위해서는 좌변도 나누어야 해요
만약 어떤 것과 다른 것이 같다고 하면,
그리고 그 다른 것을 또 다른 것으로 나누었으면,
그 둘이 같기 위해서는
처음 것을 또 다른 것으로 나누어야겠죠?
그래서 9.58초로 나누어요
그래서 우변에는
이 둘은 상쇄되고
좌변에 100을 9.58로 나누는 것이 남아 있어요
단위는 초당 미터인데
구하고자 하는 속력의 단위입니다
100을 9.58로 나누기 위해 계 산기를 꺼내요
9.58초로 나누어진 100m가 있어요
이것은 결과적으로
세 개의 유효 숫자가 있네요
그러니 10.4라고 하도록 하죠
10.4 라고 값을 구했고
10.4의 단위는 초당 미터인데
초당 미터는 구하려는 속력과 같죠
그 다음 문제는 답을 초당 미터로 구했는데
이 단위는 운전할 때 쓰지 않아요
속도계를 초당 미터가 아니고
시간당 킬로미터 아니면 시간당 마일입니다
그 다음에 할 것은 이 속력을 주어진 단위로 바꾸는 것입니다
100m당 평균 속력, 혹은 속력이에요
그러나 시간당 킬로미터로 생각해봅시다
한 번 먼저 계산해보세요
그럼 단계별로 같이 해보죠
아래에 그냥 다시 쓸게요
10.4로 시작했고, 미터를 파란색으로 쓰고
초를 자주색으로 쓸게요
시간당 킬로미터를 알고싶은데 초당 미터를 알고 있으니
차근차근 바꿔봅시다
우선 초당 킬로미터로 생각해봅시다
어떻게 계산 해야할지 잠깐 생각해보세요
초당 킬로미터로 바꾸려면 무엇을 해야하는지요
만약 초당 10.4m를 가면
10.4m가 몇 킬로미터죠?
킬로미터는 미터보다 1000배 더 크므로
그러므로 10.4m는 훨씬 적은 킬로미터겠죠?
1000으로 나눠봅시다
다른 방법으로 생각해보면
단위를 바꾸려면 미터 단위를 킬로미터 단위로 바꿔야해요
킬로미터를 원했으니까 미터 단위를 없애야겠죠?
그러므로 미터가 분자에 있으면
미터로 나누어야 하고, 그러면 미터는 약분이 되어 없어질 거에요
그러나 단순한 방법은
작은 단위인 미터에서 큰 단위인 킬로미터로 가는 것이므로
10.4m는 훨씬 작은 숫자의 킬로미터겠죠?
이렇게 생각하면 1 킬로미터당 몇 미터죠?
1km는 1000m와 같아요
얘는 바로 여기 있어요, 1000m 분의 1km
이것은 1 분의 1 이고, 원래 값은 변하지 않아요
결국은 1을 곱하고 있는 것이죠
이렇게 하면 무슨 값을 갖게 되나요?
미터는 약분으로 없어지고 킬로미터와 초만 남는데,
10.4를 1000으로 나눈 것이죠
10.4를 1000으로 나누려면 우선 10으로 나누어 보면
1.04라는 답을 얻게 될 것이고, 100으로 나누면 0.104가 되죠
1000으로 나누면 0.0104가 나오니까 10.4를 1000으로 나눈 것과 같습니다
단위는 초당 킬로미터가 되네요
킬로미터고 초는 바로 여기 있어요
등호 기호를 쓸게요
자 이제 이것을 시간당 킬로미터로 환산해봐요
그리고 이것도 생각해볼 시간을 좀 드릴게요
한 시간에는 3600초가 있으니까 1초당 몇 킬로미터를 가든
한 시간에는 3600배를 하면 되겠죠
그리고 단위도 맞출 수 있구요
지금 하고 있어요
이만큼 많이 하면 3600을 곱해야겠죠
한 시간에는 3600초가 있어요
1시간은 3600초
다른 방법으로 생각해보면
분모에 시간을 두고 초를 생각해봅시다
만약 시간당 초를 곱하면
한 시간에는 3600초가 있어요
초는 약분되어 사라질 것이고
분모에 시간만 남겨져 있을 거에요
초는 약분되어 사라지고 시간당 킬로미터만 남았고
이 숫자에 3600을 곱해야 해요
이걸 위해 계산기를 꺼내죠
계산기 꺼낼게요
0.0104 x 3600을 해야하고 이것은 37. ...가 나오네요
그냥 37.4라고 할게요
그니까 37.4
37.4 킬로미터네요
시간당 킬로미터요
37.4 시간당 킬로미터
바로 이것이 우리가 구한 평균 속력이에요
그리고 마지막으로 하고 싶은 것은, 미국에 살고 있는 우리들
이것을 야드파운드법, 영국 단위로 바꿔보아요.
그런데 웃기게도
영국에서는 쓰이지 않고, 오히려 미국에서 쓰이죠
구한 값을 시간당 마일로 바꿔보죠
모를까봐 말씀드리는데
1.61km는 = 1 mile과 같아요
이것을 시간당 마일로 환산할 수 있게 시간 좀 드릴게요
...
여기에서도 볼 수 있듯이 마일은
킬로미터보다 조금 커요
그러니까 특정 길이의 시간에 37.4km를 가면
여러분은 특정 길의의 시간에 조금 적은 길이의 마일을 가게 될 거에요
아니면 특별히 1.61로 나누어도 되고요
다시 써봐요
만약 시간당 37.4km가 있으면
더 큰 단위를 쓸 거에요
마일로 바꿔 쓸 거에요
그러니까 1보다 큰 것으로 나눌 거에요
1, 파란색으로 쓸게요
1 마일, 1마일은 1.61km와 같으니
아니면 1km당 1.61마일이 있다고 해도 되죠
그리고 다시 단위를 맞추는 작업을 해봐요
분자에 있는 킬로미터 단위를 마일로 바꾸고 싶기에
킬로미터가 분모에 있었으면 좋겠고 분자에 마일이 있었으면 하는 거죠
그게 분자에 마일이 있는 이유에요
다시 곱하거나 이 경우에는
1.61로 나누면
앞의 값을 그냥 1.61로 나누어 봅시다
그러면 23 정도가 나오니까 반올림하면 23.3이네요
값은 23.3이 나오죠
시간당 23.3km가 나오네요
시간당 20마일, 매우 빠르네요
우사인 볼트는 역시 가장 빠른 사람이네요 하지만 다르게 생각해보세요
차가 시간당 23.3마일 가는 것은 그다지 빨라 보이지 않네요
특히 동물 세계와 비교해서는
그다지 놀랍지 않아요
사실 돌진하는 코끼리에 비해서는 느려요
돌진하는 코끼리는 시간당 25마일이라고 하더군요