당신과 친구 제레미는 송어 10마리와
개복치 10마리가 있는 연못에서 낚시를 하고
매번 물고기를 잡을 때마다
다시 놔주기로 했습니다
이 때 제레미는 내기 두 가지를 했는데
첫 번째 내기를 하는건 좋지 않지만
제레미는 하고 싶어하는 거 같군요
만약 다음에 잡는 물고기 3마리가 모두 개복치라면
100달러를 주고 그렇지 않으면 20달러를 받습니다
두 번째 당신이 잡는 물고기 3마리 중
두 마리 이상이 개복치라면 50달러를 받고
그렇지 않으면 25달러를 줍니다
첫 번째 내기에서의 기댓값은 얼마일까요?
답은 소수 셋째 자리에서 반올림하여 나타내세요
잠시 동영상을 중지하시고
한번 생각해 보세요
첫 번째 내기의 기댓값은
여기서 임의 변수를 정의해봅시다
X는 재레미한테 주는 돈이아닌
첫 번째 내기로부터 얻은 이익을 X로 정의하겠습니다
임의의 값입니다
X의 기댓값은
확률은 -100달러 곱하기
물고기 세 마리를 잡을 확률입니다
-100 달러와 개복치 세 마리를 잡는 확률을 곱하면
어차피 지불할 돈이니까
돈을 내고 있는 입장이므로 -100이라고 값을 매기도록 하겠습니다
기댓값은 얻을 수 있는 이익이기 때문에
여기서는 돈을 잃기 때문입니다
다른 경우는 1에서
재레미가 개복치 3마리를 잡을 확률을 뺀 값입니다
이 경우에는 20달러를 받고
이 경우에는 20 달러를 받습니다
이제 중요한 점은
제레미가 개복치 세 마리를 잡을 확률을 구하는 것입니다
개복치는 20마리 중 10마리가 있기 때문에
10/20의 확률로 잡을 수 있습니다
아니면 1/2 확률이라고도 할 수 있습니다
개복치를 3마리를 연속으로 잡을 확률은
1/2 곱하기 1/2 곱하기 1/2와 같습니다
잡은 후 물고기를 다시 놓아주기 때문에 확률이
10분의 20으로 유지 됩니다 만약 다시 안 놓아주면
두 번째로 잡을 때에는 9/20이 됩니다
이 경우에는 잡은 물고기를 다시 놔주기 때문에
개복치를 3마리 연속으로 잡을 확률은
1/8이라고 할 수 있습니다
1에서 1/8을 빼면 7/8이 나옵니다
100달러를 줄 확률은 1/8이고
20달러를 받을 확률은 7/8입니다
얻을 수 있는 기대 이익은
1/8의 확률로 100달러를 주기 때문에
1/8과 -100을 곱합니다
그렇지만 7/8 확률로
괄호를 씌워 계산을 하겠습니다
계산기가 알아서 해줄 수 있었겠지만
보기 쉽게 하기 위해 이렇게 하겠습니다
7/8확률로 20 달러를 받으니
총 5달러의 이익을 예상할 수 있습니다
이 값이 첫 번째 내기에서의 기댓값입니다
이제 두 번째 내기로 넘어가면
만약 잡은 물고기 3마리 중 2마리가 개복치라면
재레미는 50달러를 받고 아니면 25달러를 줍니다
세 마리의 물고기 중 두 마리가 개복치일 확률 보겠습니다
다양한 방법으로 생각 할 수 있지만
물고기를 잡는 횟수는 3번이고
개복치를 잡을 확률은 1/2입니다
나올 수 있는 경우의 수를 적어보죠
개복치, 개복치, 개복치가 나올 수 있고
또 어떤 종류의 물고기가 있나요?
개복치, 개복치, 송어
개복치, 송어, 개복치
개복치, 송어, 송어
송어, 개복치, 개복치
송어, 개복치 ,송어
송어, 송어, 개복치
혹은 모두 송어 일 수도 있습니다
한번 한번 마다 2가지 경우의 수가 있습니다
2가지의 경우의 수를
3번 시도하는 거니까
1,2,3,4,5,6,7,8가지의 경우의 수가 나오는 겁니다
이 여덟 가지의 동일한 확률 중
개복치 두 마리를 잡을 경우는 몇 가지가 있을까요?
개복치 두 마리를 잡는 경우는 이 경우, 이 경우
이 경우, 이 경우가 다 입니다
예, 이 경우는 개복치 한마리고, 이 경우도 마찬가지고,
마찬가지고, 이 경우는 개복치가 없습니다
모든 8가지의 동일한 경우 중
적어도 개복치 2마리를 잡는 경우는
최소 개복치 2마리를 잡을 확률은
4/8 또는 1/2입니다
그렇다면 기댓값은 얼마일까요?
변수 Y를 예상 이익이라고 정의하고
임의의 변수 Y를
두 번째 내기의 예상 이익이라고 정의합니다
임의의 변수 Y의 기댓값은
돈을 받을 확률이 1/2이므로
50달러를 받을 확률이 1/2이고
나머지 돈을 줄 확률은 1/2입니다
이길 확률이 1/2라면
1 - 1/2의 값을 구해서
1/2 확률로 진다는 것을 알 수 있습니다
1/2 확률로 25달러를 받습니다
계산을 해 보면
1/2 곱하기 50 + 1/2 곱하기 -25입니다
이 값은 25 - 12.5이므로 12.5입니다
두 번째 내기의 기댓값은 12.50입니다
친구는 두 내기를 섞어가며 50번 하고싶어 합니다
이익을 극대화하려면 어떻게 해야 할까요?
둘 다 하기 좋은 내기지만
당신의 친구는 그다지 체계적인것 같지 않지만
두 번째 내기가 수익이 더 많겠죠
그래서 저는 50번 모두 두 번째 내기를 하겠습니다