"Ти и приятелят ти Джеръми ловите риба на едно езеро,
в което има десет пъстърви и десет риби луна.
Всеки път, когато един от вас хване риба,
я пуска обратно във водата.
Джеръми ти предлага да избереш между два различни облога.
Облог номер едно...
Не окуражаваме обзалагането,
но предполагам, че Джеръми иска да се обзалага.
"Ако всички следващи три риби, които хване, са риби луна, ти ще
му платиш 100 долара, а иначе той ще ти плати 20 долара.
Облог номер две. Ако ти хванеш поне две риби луна от следващите
три риби, които хванеш, той ще ти плати 50 долара,
а иначе ти ще му платиш 25 долара.
Какво е математическото очакване за облог 1?
Закръгли отговора си до най-близкия цент."
Окуражавам те да спреш видеото
и да опиташ да помислиш самостоятелно върху това.
Да видим. Математическото очакване за облог едно.
Математическото очакване за облог едно, като ще кажем, че облог едно е ...
Нека просто дефинираме една случайна променлива тук,
за да направим това малко по-добре.
Да кажем, че "х" е равно на това, което плащаш или, предполагам
може да се каже, понеже може и да получиш нещо,
каква е очакваната ти печалба от облог едно.
Това е случайна променлива.
Математическото очакване на "х" ще е равно на, да видим...
Каква е вероятността... това ще е –100
долара по вероятността той да хване три риби.
Вероятността Джеръми да хване три риби луна,
че следващите три риби, които той хване,
ще са риби луна, по 100 долара.
Ти ще платиш това.
И, след като ти ще го платиш, ще го запишем като –100,
понеже казваме, че това е очакваната ти печалба,
така че тук губиш пари.
Това ще е едно минус тази вероятност,
вероятността Джеръми да хване три риби луна.
В тази ситуация той ще ти плати 20 долара.
Тук ще получиш 20 долара.
Важното нещо да намерим тук е
вероятността Джеръми да хване три риби луна.
Рибите луна са 10 от 20 риби, така че всеки даден
път, в който той опита да хване риба, има 10 на 20 шанс
или можеш да кажеш вероятност от една втора,
че това ще е риба луна.
Вероятността да хванеш три риби луна поред
ще е 1/2 по 1/2, по 1/2.
Те връщат рибата обратно и затова си остава 10 от 20 риби.
Ако не връщаше рибата обратно,
тогава за втората риба луна щеше да имаш девет от 20
шанс да е риба луна.
В този случай те продължават да връщат
рибата, всеки път, когато я уловят.
Има 1/8 шанс Джеръми да улови
три риби луна, така че това тук е 1/8.
Едно минус 1/8, това е 7/8.
Имаш вероятност от 1/8 да изплатиш 100 долара
и 7/8 шанс да получиш
20 долара, така че това ни дава...
Очакваната печалба тук –
има 1/8 шанс, вероятност от една осма,
че ще изгубиш 100 долара, тоест, по –100.
Но после имаш 7/8 шанс да получиш –
ще поставя скоби тук, за да поясня това.
Мисля, че редът на действията на
калкулатора щеше да се погрижи за това, но
ще го направя, за да изглежда по един и същи начин.
Има 7/8 шанс да получиш 20 долара.
Очакваната ти печалба тук е +5 долара.
Очакваната ти печалба тук е равна на пет долара.
Това е математическото очакване за облог едно.
Нека помислим за облог две.
Ако хванеш поне две риби луна от следващите три риби,
които уловиш, той ще ти плати 50, иначе ти ще му платиш 25.
Нека помислим за вероятността да хванеш поне
две риби луна от следващите три риби, които уловиш.
Има много начини да помислим върху това, но след като
има само три пъти, през които опитваш да хванеш
рибата и има само един от два резултата, можеш да напишеш
всички възможни резултати, които са вероятни тук.
Можеш да имаш риба луна, риба луна, риба луна.
Може...какъв е другият вид риба, който можеш да хванеш?
Пъстърва. Можеш да хванеш риба луна, риба луна, пъстърва.
Може да е риба луна, пъстърва, риба луна.
Може да е риба луна, пъстърва, пъстърва.
Може да е пъстърва, риба луна, риба луна.
Може да е пъстърва, риба луна, пъстърва.
Може да е пъстърва, пъстърва, риба луна.
Или може всички да са пъстърви.
Виждаш, че всяка от тези, всеки път, когато хвърлиш въдицата, има
две вероятности, всеки път, когато опиташ да хванеш риба, има
две възможности, така че, ако правиш това три пъти,
има две по две по две възможности.
Едно, две, три, четири, пет, шест,
седем, осем възможности.
От всички тези еднакво вероятни възможности
колко от тях включват хващане на поне две риби луна?
Поне две риби луна хващаш в този случай, в този случай,
в този случай, в този случай и мисля, че това е всичко.
Да, тук има само една риба луна, една риба луна,
една риба луна и николко риби луна.
В четири от осемте еднакво вероятни
резултати хващаш поне две риби луна.
Вероятността ти да хванеш поне две риби луна
е равна на 4/8 или 1/2.
Да видим, какво е математическото очакване?
Да кажем, че Y е очакваната печалба от залога.
Нека Y да е равно на, друга случайна променлива,
на очакваната печалба от облог две.
Математическото очакване на случайната ни променлива Y –
имаш шанс от 1/2 да спечелиш.
Имаш шанс от 1/2 да получиш 50 долара и
шанс от 1/2, останалата част от вероятността...
Ако има шанс от 1/2 да спечелиш,
ще има 1 – 1/2 или
1/2 шанс да загубиш.
Тоест, имаш 1/2 шанс да трябва да платиш 25 долара.
Да видим колко е това.
Това е 1/2 по 50 плюс 1/2 по –25.
Това ще е 25 минус 12,50 и това е равно на 12,50.
Математическото очакване за облог две е 12,50.
"Приятелят ти казва, че е съгласен да направи
и двата облога в комбинация общо 50 пъти.
Ако искаш да максимизираш математическото очакване, какво трябва да направиш?"
Облог номер две – всъщност, и двата облога са добри,
предполагам приятелят ти не е толкова вещ,
но облог номер две има по-висока очаквана печалба,
така че ще се съглася на облог номер две всеки път.
Всеки път ще избера облог номер две.