WEBVTT 00:00:00.830 --> 00:00:02.240 W poprzednim filmie skończyliśmy 00:00:02.240 --> 00:00:04.300 na dwóch kościach, 00:00:04.300 --> 00:00:06.820 używanych na przykład w grze planszowej Monopoly. 00:00:06.820 --> 00:00:08.670 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania na nich 7? 00:00:08.670 --> 00:00:12.100 Jeżeli dodam do siebie wyniki dwóch rzutów kostką, 00:00:12.100 --> 00:00:13.140 jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7? 00:00:13.140 --> 00:00:16.190 Narysowałem tutaj siatkę, która reprezentuje 00:00:16.670 --> 00:00:18.870 wszystkie możliwe do uzyskania wyniki rzutów dwiema kośćmi. 00:00:19.180 --> 00:00:23.240 U góry mamy rozpisane wyniki rzutu pierwszą kością, 00:00:23.240 --> 00:00:25.580 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. 00:00:25.580 --> 00:00:27.510 Podobnie dla drugiej kości, po lewej mamy rozpisane wszystkie 00:00:27.510 --> 00:00:27.950 możliwe do uzyskania wyniki. 00:00:27.950 --> 00:00:32.350 Każde pól reprezentuje wynik rzutu dwiema kościami. 00:00:32.350 --> 00:00:34.070 Przykładowo: to pole oznacza wyrzucenie 00:00:34.070 --> 00:00:37.910 6 na obu kościach, prawda? 00:00:38.490 --> 00:00:40.470 I oczywiście oznacza to, 00:00:40.470 --> 00:00:42.940 że suma ich wartości wynosi 12, prawda? 00:00:43.220 --> 00:00:44.260 Możemy tak samo postąpić z wszystkimi polami. 00:00:44.260 --> 00:00:46.490 Możemy wpisać w pola sumy wartości wyrzucone na kościach. 00:00:46.490 --> 00:00:47.760 Zobaczmy do ilu będą się sumować. 00:00:48.070 --> 00:00:54.890 To będzie: 2, 3, 4, 5, 6, 7. 00:00:55.270 --> 00:00:58.020 Teraz to będzie 3, kontynuujmy. 00:00:58.020 --> 00:00:59.180 To będzie 3. 00:00:59.180 --> 00:01:05.340 I dalej to będzie 4, 5, 6, 7, 8. 00:01:05.610 --> 00:01:07.730 Obliczmy sumę dla wszystkich pól. 00:01:07.990 --> 00:01:12.930 kontynuując, 5, 6, 7, 8, 9. 00:01:13.250 --> 00:01:19.590 To było 4 + 1. To będzie 5, 6, 7, 8, 9, 10. 00:01:19.590 --> 00:01:21.680 Zaczynacie już widzieć wzór wyłaniający się z siatki, prawda? 00:01:21.680 --> 00:01:28.130 To będzie 6, 7, 8, 9, 10, 11. 00:01:28.130 --> 00:01:33.200 I to będzie 7, 8, 9, 10, 11, 12. 00:01:33.530 --> 00:01:36.220 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7? 00:01:36.510 --> 00:01:39.170 To są wszystkie pola zawierające liczbę 7. 00:01:39.170 --> 00:01:41.450 Zobaczę, czy mogę tutaj użyć 00:01:41.660 --> 00:01:43.680 narzędzia do wypełniania. 00:01:43.900 --> 00:01:50.260 Wszystkie siódemki, czyli ta, ta, ta, ta, 00:01:50.460 --> 00:01:52.520 ta i ta. 00:01:52.780 --> 00:01:54.330 Jakie jest prawdopodobieństwo, 00:01:54.330 --> 00:01:55.980 całkiem przydatne narzędzie, 00:01:56.210 --> 00:01:57.880 jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7? 00:01:57.880 --> 00:02:02.170 Jak pamiętamy z poznanych wcześniej definicji: 00:02:02.170 --> 00:02:05.520 jaka jest całkowita liczba wszystkich równie prawdopodobnych ... zapiszę to. 00:02:05.520 --> 00:02:06.710 Prawdopodobieństwo 7. 00:02:07.020 --> 00:02:10.330 Ile jest wszystkich równie prawdopodobnych wyników? 00:02:10.600 --> 00:02:14.080 Mamy 36 wyników i wszystkie są tak samo prawdopodobne, prawda? 00:02:14.330 --> 00:02:16.450 Łącznie mamy 36 możliwych wyników. 00:02:16.710 --> 00:02:18.260 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7? 00:02:18.260 --> 00:02:23.790 Ile spośród 36 wyników skutkuje wyrzuceniem na kościach 7? 00:02:24.070 --> 00:02:28.450 Mamy 1, 2, 3, 4, 5, 6, tak więc 6. 00:02:28.810 --> 00:02:37.150 Prawdopodobieństwo uzyskania 7 jest równe 6 nad 36, co odpowiada 1/6. 00:02:37.650 --> 00:02:40.330 Możemy teraz użyć tej siatki 00:02:40.330 --> 00:02:42.190 do obliczenia prawdopodobieństw dowolnej z tych sum. 00:02:42.470 --> 00:02:45.070 Teraz wystarczy popatrzeć na samą siatkę by stwierdzić, 00:02:45.070 --> 00:02:48.930 że wyrzucenie 7 jest najbardziej prawdopodobne spośród wszystkich liczb. 00:02:49.200 --> 00:02:50.640 Jeżeli popatrzymy teraz na ten wzór, 00:02:50.860 --> 00:02:54.880 ponieważ 7 pokrywają całą przekątną, 00:02:55.060 --> 00:02:57.850 prawdopodobieństwo uzyskania 6 jest równe prawdopodobieństwu uzyskania 8, 00:02:58.290 --> 00:02:59.360 prawdopodobieństwo uzyskania 9 00:02:59.360 --> 00:03:05.750 jest równe prawdopodobieństwu uzyskania 5 itd. 00:03:05.750 --> 00:03:08.700 Obliczmy to. Widzimy, że wyrzucenie 7 jest najbardziej prawdopodobne. 00:03:08.980 --> 00:03:11.940 Dla uzyskania pewnej intuicji, co do rzutów koścmi. 00:03:12.620 --> 00:03:15.760 Zobaczmy co mamy w kolejnej linii. 00:03:15.760 --> 00:03:16.870 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 8? 00:03:16.870 --> 00:03:22.250 8,8,8,8,8. 00:03:22.530 --> 00:03:26.110 Ile mamy ósemek spośród całkowitej liczby wyników? 00:03:27.220 --> 00:03:31.150 Prawdopodobieństwo uzyskania 8 00:03:32.240 --> 00:03:36.970 jest równe 1, 2, 3, 4, 5, jest równe 5 nad 36. 00:03:37.230 --> 00:03:39.300 Taką samą wartość ma prawdopodobieństwo wyrzucenia 6, prawda? 00:03:39.520 --> 00:03:45.940 1,2,3,4,5 szóstek - prawdopodobieństwo uzyskania 6. 00:03:45.940 --> 00:03:49.410 Pozwólcie, że zaznaczę szóstki tym samym zielonym kolorem, 00:03:49.410 --> 00:03:55.530 tak żebyśmy wiedzieli, że chodzi o te właśnie szóstki. 00:03:55.530 --> 00:03:57.180 To są wszystkie szóstki. 00:03:57.400 --> 00:03:59.110 Nie zaszkodziłoby sobie to nawet zapamiętać, 00:03:59.110 --> 00:04:00.890 podczas gry w Monopoly możemy dzięki temu 00:04:00.890 --> 00:04:03.210 przewidywać o ile pól się przesuniemy po rzucie. 00:04:03.210 --> 00:04:07.620 Najprawdopodobniej następny film 00:04:08.340 --> 00:04:11.950 poświęcę wartości oczekiwanej, 00:04:12.240 --> 00:04:13.900 przewidywanym kosztom i tym podobnym. 00:04:13.900 --> 00:04:15.870 Czyli prawdopodobieństwo plus odrobina pieniędzy, 00:04:15.870 --> 00:04:17.600 przydatna wiedza podczas gry w Monopoly. 00:04:17.980 --> 00:04:21.830 Możemy kontynuować dla kolejnych liczb, jakie jest prawdobieństwo 5? 1, 2, 3, 4. 00:04:22.190 --> 00:04:24.650 Cztery spośród 36 wyników daje 5. 00:04:24.970 --> 00:04:31.970 Prawdopodobieństwo 5 wynosi 4/36, a więc 1/9. 00:04:31.970 --> 00:04:33.800 Takie samo prawdopodobieństwo dla uzyskania 9, 00:04:35.390 --> 00:04:36.860 równe 1/9. 00:04:37.290 --> 00:04:39.500 Jeżeli graliście w gry planszowe 00:04:39.500 --> 00:04:42.230 na przykład Monopoly, to macie teraz intuicję 00:04:42.450 --> 00:04:44.590 co do prawdopodobieństw wyrzucenia poszczególnych sum liczb. 00:04:44.820 --> 00:04:47.050 Stąd uważam, że w wielu grach planszowych 00:04:47.250 --> 00:04:48.840 7 jest bardzo ważną liczbą, 00:04:49.040 --> 00:04:53.510 ponieważ jest najbardziej prawdopodobnym wynikiem. 00:04:53.510 --> 00:04:56.510 Przykładowo bardziej prawdopodobne jest, że uzyskamy 7 00:04:56.660 --> 00:05:02.920 niż to, że wyrzucimy 9 lub 5. 00:05:02.920 --> 00:05:11.050 Jakie prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 lub 9? To duże U oznacza "lub". 00:05:11.050 --> 00:05:13.220 Prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 00:05:13.480 --> 00:05:15.820 plus prawdopodobieństwo wyrzucenia 9, 00:05:16.040 --> 00:05:23.280 co daje nam 1/9 + 1/9 jest równe 2/9, 00:05:23.280 --> 00:05:24.280 jednak się pomyliłem. 00:05:24.470 --> 00:05:26.800 Widzicie, dlatego warto sobie zawsze przeliczyć. 00:05:27.010 --> 00:05:29.900 1/6 to mniej niż 2/9. 00:05:29.900 --> 00:05:31.450 To prawdopodobieństwo jest większe. 00:05:31.450 --> 00:05:33.650 Pomyliłem się. 00:05:33.650 --> 00:05:39.040 Ale popatrzmy, prawdopodobieństwo uzyskania 00:05:39.040 --> 00:05:49.840 2 lub 11, będzie mniejsze od prawdopodobieństwa uzyskania 7. 00:05:50.120 --> 00:05:52.200 Obliczmy to. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 2? 00:05:52.450 --> 00:05:56.640 W zasadzie, żeby było symetrycznie to powinienem wziąć 3 lub 11. 00:05:56.640 --> 00:05:58.350 No ale to nie problem, obliczmy to co już napisałem. 00:05:58.350 --> 00:06:00.310 Prawdopodobieństwo uzyskania 2, jest tylko jedna sytuacja 00:06:00.310 --> 00:06:01.190 w której mogę uzyskać 2, prawda? 00:06:01.440 --> 00:06:06.180 To będzie 1/36, 1 nad 36 to prawdopodobieństwo wyrzucenia 2. 00:06:06.450 --> 00:06:08.880 I 11, prawdopobieństwo wyrzucenia takiej sumy to 2 na 36, prawda? 00:06:09.150 --> 00:06:15.070 2 nad 36 to inaczej 1/18. Zapiszę to jako 2/36. 00:06:15.410 --> 00:06:20.390 Łącznie jest to równe 3/36, co jest równe 1/12. 00:06:20.710 --> 00:06:22.890 Czyli prawdopodobieństwo uzyskania 2, 00:06:22.890 --> 00:06:26.740 czyli tylko to pole lub 11 jest równe 1 nad 12. Możemy powiedzieć to inaczej, 00:06:26.740 --> 00:06:31.080 prawdopodobieństwo uzyskania 7 jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo uzyskania 2 lub 11. 00:06:31.080 --> 00:06:32.820 Widać, że ujawnia się tutaj dużo ciekawych własności, 00:06:32.820 --> 00:06:34.070 czasem ciężko przewidzieć gdzie poniosą obliczenia, 00:06:34.070 --> 00:06:35.780 ale warto poświęcić trochę czasu na analizę zwykłych kości, 00:06:35.780 --> 00:06:37.430 ponieważ pokazują bardzo dużo ciekawych właściwości. 00:06:38.440 --> 00:06:40.750 Można obliczyć to samo inną drogą, chociaż użycie siatki wartości 00:06:40.750 --> 00:06:42.710 jest chyba najprostszym sposobem obliczenia prawdopobieństw. 00:06:43.310 --> 00:06:47.570 Można zrobić to inaczej, jeżeli nie mamy przed sobą siatki z wartościami. 00:06:47.570 --> 00:06:50.320 Jeżeli teraz spytam się, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania, 00:06:50.620 --> 00:06:53.530 przykładowo 5. 00:06:54.800 --> 00:06:58.170 Cóż, jest to prawdopodobieństwo... powiedzmy, że to jest kość nr 1. 00:06:58.440 --> 00:07:00.370 metoda jest zasadniczo taka sama jak przy siatce, ale warto 00:07:00.370 --> 00:07:03.490 znać różne sposoby radzenia sobie z tym samym problemem. 00:07:03.790 --> 00:07:04.890 Jak mogę uzyskać 5? 00:07:04.890 --> 00:07:11.230 Jeżeli uzyskam 1 na kości nr 1, na kości nr 2 muszę mieć 4. 00:07:11.510 --> 00:07:13.180 Jeżeli wyrzucę najpierw 2, to następnie muszę wyrzucić 3. 00:07:13.180 --> 00:07:15.050 Jeżeli wyrzucę 3, to potrzebuję 2. 00:07:15.360 --> 00:07:19.230 Jeżeli wyrzucę 4, to potrzebuję 1. 00:07:19.240 --> 00:07:22.140 Jeżeli wyrzucę 5, aha to już koniec. 00:07:22.390 --> 00:07:24.670 To są jedyne możliwe sytuacje, gdzie wyrzucam łącznie 5. 00:07:24.900 --> 00:07:28.400 Możemy więc spytać, jakie jest prawdopodobieństwo, 00:07:28.610 --> 00:07:30.230 potrzebujemy wyrzucić najpierw te liczby, 00:07:30.230 --> 00:07:31.850 następna liczba musi być taka jak w tabelce. 00:07:32.390 --> 00:07:37.150 Mamy więc 4 prawdopodobieństwa, które dają nadzieję na wyrzucenie łącznie 5. 00:07:37.150 --> 00:07:38.350 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 1? 00:07:38.350 --> 00:07:40.330 To jest 1/6. To jest kość nr 1. 00:07:41.710 --> 00:07:47.320 To oznacza, że wyrzuciliśmy 2, 3. A to, że wyrzuciliśmy 4, prawda? 00:07:47.320 --> 00:07:49.340 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 1 na kości nr 1? 00:07:49.570 --> 00:07:53.000 Jest równe 1/6. Wszystkie są równe 1/6. 00:07:53.000 --> 00:07:54.030 To jest prawdopodobieństwo uzyskania 2. 00:07:54.150 --> 00:07:55.230 To jest prawdopodobieństwo uzyskania 3. 00:07:55.350 --> 00:07:57.390 A to jest prawdopodobieństwo uzyskania 4. 00:07:57.520 --> 00:08:00.760 Wiedząc, że na pierwszej kości wypadła jedynka, 00:08:00.760 --> 00:08:02.010 jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 4? 00:08:03.330 --> 00:08:05.450 Mamy łącznie 6 prawdopodobieństw i widzimy, 00:08:05.450 --> 00:08:07.170 że mamy do czynienia z drzewem, możemy wyrzucić 5 lub 6, ale te się nie liczą. 00:08:07.170 --> 00:08:09.100 Wyrzucając je na jednej z kości wiemy, że suma będzie większa od 5. 00:08:09.350 --> 00:08:12.930 Czyli kość nr 1 i następnie kość nr 2, mamy 1/6 szansy 00:08:12.930 --> 00:08:13.790 wyrzucenia 4. 00:08:13.980 --> 00:08:16.530 Dalej mamy również prawdopodobieństwa wypadnięcia innych liczb, 00:08:16.530 --> 00:08:20.000 ale to jest jedyna sytuacja dla drugiej kości, gdzie suma wyrzuconych wartości da nam 5, prawda? 00:08:20.330 --> 00:08:24.090 Podobnie ... to jest kość nr 2, ta kolumna. 00:08:24.630 --> 00:08:26.300 Jeżeli najpierw wyrzucę 2, 00:08:26.300 --> 00:08:27.450 jaką wartość muszę wyrzucić na kości nr 2? 00:08:27.450 --> 00:08:31.390 Muszę wyrzucić 3, szansa wyrzucenia 3 jest równa 1/6. 00:08:31.620 --> 00:08:33.640 I oczywiście sumują się do 5. 00:08:33.910 --> 00:08:37.060 Jeżeli wyrzucę 3 tutaj, to mam 1/6 szansy wyrzucenia 2 na kości nr 2. 00:08:37.340 --> 00:08:38.650 Dokładnie to o co mi chodziło. 00:08:38.880 --> 00:08:40.310 Oczywiście jest dużo innych wartości, które można uzyskać, 00:08:40.310 --> 00:08:41.950 w drugim rzucie, ale wyszukujemy tych dających nam 5. 00:08:42.240 --> 00:08:44.450 I jeżeli wyrzucimy 4, zmienię kolory. 00:08:44.780 --> 00:08:50.270 Jest 1/6 szansa, że wyrzucę na drugiej kości 1, żeby mieć łącznie 5, prawda? 00:08:50.550 --> 00:08:52.010 Ile wynoszą wszystkie prawdopdobieństwa? 00:08:52.010 --> 00:08:53.590 Zobaczmy. 00:08:53.590 --> 00:08:57.590 Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 a później 4. 00:08:58.220 --> 00:09:03.760 Pozwólcie, że wymażę to. Powoli kończy mi się czas. 00:09:04.940 --> 00:09:07.260 W zasadzie to zrobię to po tej stronie. 00:09:07.610 --> 00:09:15.330 Prawdopodobieństwo tego zdarzenia, trochę większy bałagan niż zwykle ;) 00:09:15.600 --> 00:09:18.120 Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 i następnie 4, 00:09:18.420 --> 00:09:21.220 jest równe 1/36, prawda? 00:09:21.220 --> 00:09:24.690 To jest 1/6 razy 1/6. 00:09:24.690 --> 00:09:27.100 Mamy prawdopodobieństwo 1/6 tego zdarzenia i po nim mamy prawdopdopobieństwo 1/6 kolejnego zdarzenia. 00:09:27.100 --> 00:09:30.130 To będzie 1/36, podobnie jak poprzedni. 00:09:30.130 --> 00:09:34.650 To jest 1/36, to jest 1/36 i to jest 1/36. 00:09:34.960 --> 00:09:38.190 Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo 1/36, 00:09:38.190 --> 00:09:40.780 każdy z tych wierszy odpowiada jednemu polu w narysowanej wcześniej siatce. 00:09:41.070 --> 00:09:43.540 Uzyskaniu 2 i 3, uzyskaniu 1 i 4. 00:09:43.760 --> 00:09:46.720 I dalej całkowite prawdopodobieństwo uzyskania 5 jest równe sumie tych wszystkich. 00:09:46.720 --> 00:09:49.380 4/36 jest równe 1/9. 00:09:49.630 --> 00:09:51.620 Widać tutaj, że nie trzeba rysować siatki, 00:09:52.150 --> 00:09:54.140 wystarczy narysować drzewo, można narysować tabelkę 00:09:54.140 --> 00:09:56.070 i na ich podstawie obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania 5, 00:09:56.070 --> 00:09:58.410 jakie będzie prawdopodobieństwo każdego z poszczególnych przypadków i ostatecznie je zsumować. 00:09:58.410 --> 00:10:01.050 Wszystkie sposoby działają, w zależności od przypadku 00:10:01.050 --> 00:10:04.300 różne metody mogą się okazać bardziej użyteczne. 00:10:04.680 --> 00:10:06.290 Do zobaczenia w następnym filmie.