W poprzednim filmie skończyliśmy
na dwóch kościach,
używanych na przykład w grze planszowej Monopoly.
Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania na nich 7?
Jeżeli dodam do siebie wyniki dwóch rzutów kostką,
jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7?
Narysowałem tutaj siatkę, która reprezentuje
wszystkie możliwe do uzyskania wyniki rzutów dwiema kośćmi.
U góry mamy rozpisane wyniki rzutu pierwszą kością,
1, 2, 3, 4, 5 lub 6.
Podobnie dla drugiej kości, po lewej mamy rozpisane wszystkie
możliwe do uzyskania wyniki.
Każde pól reprezentuje wynik rzutu dwiema kościami.
Przykładowo: to pole oznacza wyrzucenie
6 na obu kościach, prawda?
I oczywiście oznacza to,
że suma ich wartości wynosi 12, prawda?
Możemy tak samo postąpić z wszystkimi polami.
Możemy wpisać w pola sumy wartości wyrzucone na kościach.
Zobaczmy do ilu będą się sumować.
To będzie: 2, 3, 4, 5, 6, 7.
Teraz to będzie 3, kontynuujmy.
To będzie 3.
I dalej to będzie 4, 5, 6, 7, 8.
Obliczmy sumę dla wszystkich pól.
kontynuując, 5, 6, 7, 8, 9.
To było 4 + 1. To będzie 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Zaczynacie już widzieć wzór wyłaniający się z siatki, prawda?
To będzie 6, 7, 8, 9, 10, 11.
I to będzie 7, 8, 9, 10, 11, 12.
Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7?
To są wszystkie pola zawierające liczbę 7.
Zobaczę, czy mogę tutaj użyć
narzędzia do wypełniania.
Wszystkie siódemki, czyli ta, ta, ta, ta,
ta i ta.
Jakie jest prawdopodobieństwo,
całkiem przydatne narzędzie,
jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7?
Jak pamiętamy z poznanych wcześniej definicji:
jaka jest całkowita liczba wszystkich równie prawdopodobnych ... zapiszę to.
Prawdopodobieństwo 7.
Ile jest wszystkich równie prawdopodobnych wyników?
Mamy 36 wyników i wszystkie są tak samo prawdopodobne, prawda?
Łącznie mamy 36 możliwych wyników.
Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7?
Ile spośród 36 wyników skutkuje wyrzuceniem na kościach 7?
Mamy 1, 2, 3, 4, 5, 6, tak więc 6.
Prawdopodobieństwo uzyskania 7 jest równe 6 nad 36, co odpowiada 1/6.
Możemy teraz użyć tej siatki
do obliczenia prawdopodobieństw dowolnej z tych sum.
Teraz wystarczy popatrzeć na samą siatkę by stwierdzić,
że wyrzucenie 7 jest najbardziej prawdopodobne spośród wszystkich liczb.
Jeżeli popatrzymy teraz na ten wzór,
ponieważ 7 pokrywają całą przekątną,
prawdopodobieństwo uzyskania 6 jest równe prawdopodobieństwu uzyskania 8,
prawdopodobieństwo uzyskania 9
jest równe prawdopodobieństwu uzyskania 5 itd.
Obliczmy to. Widzimy, że wyrzucenie 7 jest najbardziej prawdopodobne.
Dla uzyskania pewnej intuicji, co do rzutów koścmi.
Zobaczmy co mamy w kolejnej linii.
Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 8?
8,8,8,8,8.
Ile mamy ósemek spośród całkowitej liczby wyników?
Prawdopodobieństwo uzyskania 8
jest równe 1, 2, 3, 4, 5, jest równe 5 nad 36.
Taką samą wartość ma prawdopodobieństwo wyrzucenia 6, prawda?
1,2,3,4,5 szóstek - prawdopodobieństwo uzyskania 6.
Pozwólcie, że zaznaczę szóstki tym samym zielonym kolorem,
tak żebyśmy wiedzieli, że chodzi o te właśnie szóstki.
To są wszystkie szóstki.
Nie zaszkodziłoby sobie to nawet zapamiętać,
podczas gry w Monopoly możemy dzięki temu
przewidywać o ile pól się przesuniemy po rzucie.
Najprawdopodobniej następny film
poświęcę wartości oczekiwanej,
przewidywanym kosztom i tym podobnym.
Czyli prawdopodobieństwo plus odrobina pieniędzy,
przydatna wiedza podczas gry w Monopoly.
Możemy kontynuować dla kolejnych liczb, jakie jest prawdobieństwo 5? 1, 2, 3, 4.
Cztery spośród 36 wyników daje 5.
Prawdopodobieństwo 5 wynosi 4/36, a więc 1/9.
Takie samo prawdopodobieństwo dla uzyskania 9,
równe 1/9.
Jeżeli graliście w gry planszowe
na przykład Monopoly, to macie teraz intuicję
co do prawdopodobieństw wyrzucenia poszczególnych sum liczb.
Stąd uważam, że w wielu grach planszowych
7 jest bardzo ważną liczbą,
ponieważ jest najbardziej prawdopodobnym wynikiem.
Przykładowo bardziej prawdopodobne jest, że uzyskamy 7
niż to, że wyrzucimy 9 lub 5.
Jakie prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 lub 9? To duże U oznacza "lub".
Prawdopodobieństwo wyrzucenia 5
plus prawdopodobieństwo wyrzucenia 9,
co daje nam 1/9 + 1/9 jest równe 2/9,
jednak się pomyliłem.
Widzicie, dlatego warto sobie zawsze przeliczyć.
1/6 to mniej niż 2/9.
To prawdopodobieństwo jest większe.
Pomyliłem się.
Ale popatrzmy, prawdopodobieństwo uzyskania
2 lub 11, będzie mniejsze od prawdopodobieństwa uzyskania 7.
Obliczmy to. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 2?
W zasadzie, żeby było symetrycznie to powinienem wziąć 3 lub 11.
No ale to nie problem, obliczmy to co już napisałem.
Prawdopodobieństwo uzyskania 2, jest tylko jedna sytuacja
w której mogę uzyskać 2, prawda?
To będzie 1/36, 1 nad 36 to prawdopodobieństwo wyrzucenia 2.
I 11, prawdopobieństwo wyrzucenia takiej sumy to 2 na 36, prawda?
2 nad 36 to inaczej 1/18. Zapiszę to jako 2/36.
Łącznie jest to równe 3/36, co jest równe 1/12.
Czyli prawdopodobieństwo uzyskania 2,
czyli tylko to pole lub 11 jest równe 1 nad 12. Możemy powiedzieć to inaczej,
prawdopodobieństwo uzyskania 7 jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo uzyskania 2 lub 11.
Widać, że ujawnia się tutaj dużo ciekawych własności,
czasem ciężko przewidzieć gdzie poniosą obliczenia,
ale warto poświęcić trochę czasu na analizę zwykłych kości,
ponieważ pokazują bardzo dużo ciekawych właściwości.
Można obliczyć to samo inną drogą, chociaż użycie siatki wartości
jest chyba najprostszym sposobem obliczenia prawdopobieństw.
Można zrobić to inaczej, jeżeli nie mamy przed sobą siatki z wartościami.
Jeżeli teraz spytam się, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania,
przykładowo 5.
Cóż, jest to prawdopodobieństwo... powiedzmy, że to jest kość nr 1.
metoda jest zasadniczo taka sama jak przy siatce, ale warto
znać różne sposoby radzenia sobie z tym samym problemem.
Jak mogę uzyskać 5?
Jeżeli uzyskam 1 na kości nr 1, na kości nr 2 muszę mieć 4.
Jeżeli wyrzucę najpierw 2, to następnie muszę wyrzucić 3.
Jeżeli wyrzucę 3, to potrzebuję 2.
Jeżeli wyrzucę 4, to potrzebuję 1.
Jeżeli wyrzucę 5, aha to już koniec.
To są jedyne możliwe sytuacje, gdzie wyrzucam łącznie 5.
Możemy więc spytać, jakie jest prawdopodobieństwo,
potrzebujemy wyrzucić najpierw te liczby,
następna liczba musi być taka jak w tabelce.
Mamy więc 4 prawdopodobieństwa, które dają nadzieję na wyrzucenie łącznie 5.
Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 1?
To jest 1/6. To jest kość nr 1.
To oznacza, że wyrzuciliśmy 2, 3. A to, że wyrzuciliśmy 4, prawda?
Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 1 na kości nr 1?
Jest równe 1/6. Wszystkie są równe 1/6.
To jest prawdopodobieństwo uzyskania 2.
To jest prawdopodobieństwo uzyskania 3.
A to jest prawdopodobieństwo uzyskania 4.
Wiedząc, że na pierwszej kości wypadła jedynka,
jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 4?
Mamy łącznie 6 prawdopodobieństw i widzimy,
że mamy do czynienia z drzewem, możemy wyrzucić 5 lub 6, ale te się nie liczą.
Wyrzucając je na jednej z kości wiemy, że suma będzie większa od 5.
Czyli kość nr 1 i następnie kość nr 2, mamy 1/6 szansy
wyrzucenia 4.
Dalej mamy również prawdopodobieństwa wypadnięcia innych liczb,
ale to jest jedyna sytuacja dla drugiej kości, gdzie suma wyrzuconych wartości da nam 5, prawda?
Podobnie ... to jest kość nr 2, ta kolumna.
Jeżeli najpierw wyrzucę 2,
jaką wartość muszę wyrzucić na kości nr 2?
Muszę wyrzucić 3, szansa wyrzucenia 3 jest równa 1/6.
I oczywiście sumują się do 5.
Jeżeli wyrzucę 3 tutaj, to mam 1/6 szansy wyrzucenia 2 na kości nr 2.
Dokładnie to o co mi chodziło.
Oczywiście jest dużo innych wartości, które można uzyskać,
w drugim rzucie, ale wyszukujemy tych dających nam 5.
I jeżeli wyrzucimy 4, zmienię kolory.
Jest 1/6 szansa, że wyrzucę na drugiej kości 1, żeby mieć łącznie 5, prawda?
Ile wynoszą wszystkie prawdopdobieństwa?
Zobaczmy.
Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 a później 4.
Pozwólcie, że wymażę to. Powoli kończy mi się czas.
W zasadzie to zrobię to po tej stronie.
Prawdopodobieństwo tego zdarzenia, trochę większy bałagan niż zwykle ;)
Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 i następnie 4,
jest równe 1/36, prawda?
To jest 1/6 razy 1/6.
Mamy prawdopodobieństwo 1/6 tego zdarzenia i po nim mamy prawdopdopobieństwo 1/6 kolejnego zdarzenia.
To będzie 1/36, podobnie jak poprzedni.
To jest 1/36, to jest 1/36 i to jest 1/36.
Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo 1/36,
każdy z tych wierszy odpowiada jednemu polu w narysowanej wcześniej siatce.
Uzyskaniu 2 i 3, uzyskaniu 1 i 4.
I dalej całkowite prawdopodobieństwo uzyskania 5 jest równe sumie tych wszystkich.
4/36 jest równe 1/9.
Widać tutaj, że nie trzeba rysować siatki,
wystarczy narysować drzewo, można narysować tabelkę
i na ich podstawie obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania 5,
jakie będzie prawdopodobieństwo każdego z poszczególnych przypadków i ostatecznie je zsumować.
Wszystkie sposoby działają, w zależności od przypadku
różne metody mogą się okazać bardziej użyteczne.
Do zobaczenia w następnym filmie.