1 00:00:00,830 --> 00:00:02,240 W poprzednim filmie skończyliśmy 2 00:00:02,240 --> 00:00:04,300 na dwóch kościach, 3 00:00:04,300 --> 00:00:06,820 używanych na przykład w grze planszowej Monopoly. 4 00:00:06,820 --> 00:00:08,670 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania na nich 7? 5 00:00:08,670 --> 00:00:12,100 Jeżeli dodam do siebie wyniki dwóch rzutów kostką, 6 00:00:12,100 --> 00:00:13,140 jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7? 7 00:00:13,140 --> 00:00:16,190 Narysowałem tutaj siatkę, która reprezentuje 8 00:00:16,670 --> 00:00:18,870 wszystkie możliwe do uzyskania wyniki rzutów dwiema kośćmi. 9 00:00:19,180 --> 00:00:23,240 U góry mamy rozpisane wyniki rzutu pierwszą kością, 10 00:00:23,240 --> 00:00:25,580 1, 2, 3, 4, 5 lub 6. 11 00:00:25,580 --> 00:00:27,510 Podobnie dla drugiej kości, po lewej mamy rozpisane wszystkie 12 00:00:27,510 --> 00:00:27,950 możliwe do uzyskania wyniki. 13 00:00:27,950 --> 00:00:32,350 Każde pól reprezentuje wynik rzutu dwiema kościami. 14 00:00:32,350 --> 00:00:34,070 Przykładowo: to pole oznacza wyrzucenie 15 00:00:34,070 --> 00:00:37,910 6 na obu kościach, prawda? 16 00:00:38,490 --> 00:00:40,470 I oczywiście oznacza to, 17 00:00:40,470 --> 00:00:42,940 że suma ich wartości wynosi 12, prawda? 18 00:00:43,220 --> 00:00:44,260 Możemy tak samo postąpić z wszystkimi polami. 19 00:00:44,260 --> 00:00:46,490 Możemy wpisać w pola sumy wartości wyrzucone na kościach. 20 00:00:46,490 --> 00:00:47,760 Zobaczmy do ilu będą się sumować. 21 00:00:48,070 --> 00:00:54,890 To będzie: 2, 3, 4, 5, 6, 7. 22 00:00:55,270 --> 00:00:58,020 Teraz to będzie 3, kontynuujmy. 23 00:00:58,020 --> 00:00:59,180 To będzie 3. 24 00:00:59,180 --> 00:01:05,340 I dalej to będzie 4, 5, 6, 7, 8. 25 00:01:05,610 --> 00:01:07,730 Obliczmy sumę dla wszystkich pól. 26 00:01:07,990 --> 00:01:12,930 kontynuując, 5, 6, 7, 8, 9. 27 00:01:13,250 --> 00:01:19,590 To było 4 + 1. To będzie 5, 6, 7, 8, 9, 10. 28 00:01:19,590 --> 00:01:21,680 Zaczynacie już widzieć wzór wyłaniający się z siatki, prawda? 29 00:01:21,680 --> 00:01:28,130 To będzie 6, 7, 8, 9, 10, 11. 30 00:01:28,130 --> 00:01:33,200 I to będzie 7, 8, 9, 10, 11, 12. 31 00:01:33,530 --> 00:01:36,220 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7? 32 00:01:36,510 --> 00:01:39,170 To są wszystkie pola zawierające liczbę 7. 33 00:01:39,170 --> 00:01:41,450 Zobaczę, czy mogę tutaj użyć 34 00:01:41,660 --> 00:01:43,680 narzędzia do wypełniania. 35 00:01:43,900 --> 00:01:50,260 Wszystkie siódemki, czyli ta, ta, ta, ta, 36 00:01:50,460 --> 00:01:52,520 ta i ta. 37 00:01:52,780 --> 00:01:54,330 Jakie jest prawdopodobieństwo, 38 00:01:54,330 --> 00:01:55,980 całkiem przydatne narzędzie, 39 00:01:56,210 --> 00:01:57,880 jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7? 40 00:01:57,880 --> 00:02:02,170 Jak pamiętamy z poznanych wcześniej definicji: 41 00:02:02,170 --> 00:02:05,520 jaka jest całkowita liczba wszystkich równie prawdopodobnych ... zapiszę to. 42 00:02:05,520 --> 00:02:06,710 Prawdopodobieństwo 7. 43 00:02:07,020 --> 00:02:10,330 Ile jest wszystkich równie prawdopodobnych wyników? 44 00:02:10,600 --> 00:02:14,080 Mamy 36 wyników i wszystkie są tak samo prawdopodobne, prawda? 45 00:02:14,330 --> 00:02:16,450 Łącznie mamy 36 możliwych wyników. 46 00:02:16,710 --> 00:02:18,260 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 7? 47 00:02:18,260 --> 00:02:23,790 Ile spośród 36 wyników skutkuje wyrzuceniem na kościach 7? 48 00:02:24,070 --> 00:02:28,450 Mamy 1, 2, 3, 4, 5, 6, tak więc 6. 49 00:02:28,810 --> 00:02:37,150 Prawdopodobieństwo uzyskania 7 jest równe 6 nad 36, co odpowiada 1/6. 50 00:02:37,650 --> 00:02:40,330 Możemy teraz użyć tej siatki 51 00:02:40,330 --> 00:02:42,190 do obliczenia prawdopodobieństw dowolnej z tych sum. 52 00:02:42,470 --> 00:02:45,070 Teraz wystarczy popatrzeć na samą siatkę by stwierdzić, 53 00:02:45,070 --> 00:02:48,930 że wyrzucenie 7 jest najbardziej prawdopodobne spośród wszystkich liczb. 54 00:02:49,200 --> 00:02:50,640 Jeżeli popatrzymy teraz na ten wzór, 55 00:02:50,860 --> 00:02:54,880 ponieważ 7 pokrywają całą przekątną, 56 00:02:55,060 --> 00:02:57,850 prawdopodobieństwo uzyskania 6 jest równe prawdopodobieństwu uzyskania 8, 57 00:02:58,290 --> 00:02:59,360 prawdopodobieństwo uzyskania 9 58 00:02:59,360 --> 00:03:05,750 jest równe prawdopodobieństwu uzyskania 5 itd. 59 00:03:05,750 --> 00:03:08,700 Obliczmy to. Widzimy, że wyrzucenie 7 jest najbardziej prawdopodobne. 60 00:03:08,980 --> 00:03:11,940 Dla uzyskania pewnej intuicji, co do rzutów koścmi. 61 00:03:12,620 --> 00:03:15,760 Zobaczmy co mamy w kolejnej linii. 62 00:03:15,760 --> 00:03:16,870 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 8? 63 00:03:16,870 --> 00:03:22,250 8,8,8,8,8. 64 00:03:22,530 --> 00:03:26,110 Ile mamy ósemek spośród całkowitej liczby wyników? 65 00:03:27,220 --> 00:03:31,150 Prawdopodobieństwo uzyskania 8 66 00:03:32,240 --> 00:03:36,970 jest równe 1, 2, 3, 4, 5, jest równe 5 nad 36. 67 00:03:37,230 --> 00:03:39,300 Taką samą wartość ma prawdopodobieństwo wyrzucenia 6, prawda? 68 00:03:39,520 --> 00:03:45,940 1,2,3,4,5 szóstek - prawdopodobieństwo uzyskania 6. 69 00:03:45,940 --> 00:03:49,410 Pozwólcie, że zaznaczę szóstki tym samym zielonym kolorem, 70 00:03:49,410 --> 00:03:55,530 tak żebyśmy wiedzieli, że chodzi o te właśnie szóstki. 71 00:03:55,530 --> 00:03:57,180 To są wszystkie szóstki. 72 00:03:57,400 --> 00:03:59,110 Nie zaszkodziłoby sobie to nawet zapamiętać, 73 00:03:59,110 --> 00:04:00,890 podczas gry w Monopoly możemy dzięki temu 74 00:04:00,890 --> 00:04:03,210 przewidywać o ile pól się przesuniemy po rzucie. 75 00:04:03,210 --> 00:04:07,620 Najprawdopodobniej następny film 76 00:04:08,340 --> 00:04:11,950 poświęcę wartości oczekiwanej, 77 00:04:12,240 --> 00:04:13,900 przewidywanym kosztom i tym podobnym. 78 00:04:13,900 --> 00:04:15,870 Czyli prawdopodobieństwo plus odrobina pieniędzy, 79 00:04:15,870 --> 00:04:17,600 przydatna wiedza podczas gry w Monopoly. 80 00:04:17,980 --> 00:04:21,830 Możemy kontynuować dla kolejnych liczb, jakie jest prawdobieństwo 5? 1, 2, 3, 4. 81 00:04:22,190 --> 00:04:24,650 Cztery spośród 36 wyników daje 5. 82 00:04:24,970 --> 00:04:31,970 Prawdopodobieństwo 5 wynosi 4/36, a więc 1/9. 83 00:04:31,970 --> 00:04:33,800 Takie samo prawdopodobieństwo dla uzyskania 9, 84 00:04:35,390 --> 00:04:36,860 równe 1/9. 85 00:04:37,290 --> 00:04:39,500 Jeżeli graliście w gry planszowe 86 00:04:39,500 --> 00:04:42,230 na przykład Monopoly, to macie teraz intuicję 87 00:04:42,450 --> 00:04:44,590 co do prawdopodobieństw wyrzucenia poszczególnych sum liczb. 88 00:04:44,820 --> 00:04:47,050 Stąd uważam, że w wielu grach planszowych 89 00:04:47,250 --> 00:04:48,840 7 jest bardzo ważną liczbą, 90 00:04:49,040 --> 00:04:53,510 ponieważ jest najbardziej prawdopodobnym wynikiem. 91 00:04:53,510 --> 00:04:56,510 Przykładowo bardziej prawdopodobne jest, że uzyskamy 7 92 00:04:56,660 --> 00:05:02,920 niż to, że wyrzucimy 9 lub 5. 93 00:05:02,920 --> 00:05:11,050 Jakie prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 lub 9? To duże U oznacza "lub". 94 00:05:11,050 --> 00:05:13,220 Prawdopodobieństwo wyrzucenia 5 95 00:05:13,480 --> 00:05:15,820 plus prawdopodobieństwo wyrzucenia 9, 96 00:05:16,040 --> 00:05:23,280 co daje nam 1/9 + 1/9 jest równe 2/9, 97 00:05:23,280 --> 00:05:24,280 jednak się pomyliłem. 98 00:05:24,470 --> 00:05:26,800 Widzicie, dlatego warto sobie zawsze przeliczyć. 99 00:05:27,010 --> 00:05:29,900 1/6 to mniej niż 2/9. 100 00:05:29,900 --> 00:05:31,450 To prawdopodobieństwo jest większe. 101 00:05:31,450 --> 00:05:33,650 Pomyliłem się. 102 00:05:33,650 --> 00:05:39,040 Ale popatrzmy, prawdopodobieństwo uzyskania 103 00:05:39,040 --> 00:05:49,840 2 lub 11, będzie mniejsze od prawdopodobieństwa uzyskania 7. 104 00:05:50,120 --> 00:05:52,200 Obliczmy to. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 2? 105 00:05:52,450 --> 00:05:56,640 W zasadzie, żeby było symetrycznie to powinienem wziąć 3 lub 11. 106 00:05:56,640 --> 00:05:58,350 No ale to nie problem, obliczmy to co już napisałem. 107 00:05:58,350 --> 00:06:00,310 Prawdopodobieństwo uzyskania 2, jest tylko jedna sytuacja 108 00:06:00,310 --> 00:06:01,190 w której mogę uzyskać 2, prawda? 109 00:06:01,440 --> 00:06:06,180 To będzie 1/36, 1 nad 36 to prawdopodobieństwo wyrzucenia 2. 110 00:06:06,450 --> 00:06:08,880 I 11, prawdopobieństwo wyrzucenia takiej sumy to 2 na 36, prawda? 111 00:06:09,150 --> 00:06:15,070 2 nad 36 to inaczej 1/18. Zapiszę to jako 2/36. 112 00:06:15,410 --> 00:06:20,390 Łącznie jest to równe 3/36, co jest równe 1/12. 113 00:06:20,710 --> 00:06:22,890 Czyli prawdopodobieństwo uzyskania 2, 114 00:06:22,890 --> 00:06:26,740 czyli tylko to pole lub 11 jest równe 1 nad 12. Możemy powiedzieć to inaczej, 115 00:06:26,740 --> 00:06:31,080 prawdopodobieństwo uzyskania 7 jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo uzyskania 2 lub 11. 116 00:06:31,080 --> 00:06:32,820 Widać, że ujawnia się tutaj dużo ciekawych własności, 117 00:06:32,820 --> 00:06:34,070 czasem ciężko przewidzieć gdzie poniosą obliczenia, 118 00:06:34,070 --> 00:06:35,780 ale warto poświęcić trochę czasu na analizę zwykłych kości, 119 00:06:35,780 --> 00:06:37,430 ponieważ pokazują bardzo dużo ciekawych właściwości. 120 00:06:38,440 --> 00:06:40,750 Można obliczyć to samo inną drogą, chociaż użycie siatki wartości 121 00:06:40,750 --> 00:06:42,710 jest chyba najprostszym sposobem obliczenia prawdopobieństw. 122 00:06:43,310 --> 00:06:47,570 Można zrobić to inaczej, jeżeli nie mamy przed sobą siatki z wartościami. 123 00:06:47,570 --> 00:06:50,320 Jeżeli teraz spytam się, jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania, 124 00:06:50,620 --> 00:06:53,530 przykładowo 5. 125 00:06:54,800 --> 00:06:58,170 Cóż, jest to prawdopodobieństwo... powiedzmy, że to jest kość nr 1. 126 00:06:58,440 --> 00:07:00,370 metoda jest zasadniczo taka sama jak przy siatce, ale warto 127 00:07:00,370 --> 00:07:03,490 znać różne sposoby radzenia sobie z tym samym problemem. 128 00:07:03,790 --> 00:07:04,890 Jak mogę uzyskać 5? 129 00:07:04,890 --> 00:07:11,230 Jeżeli uzyskam 1 na kości nr 1, na kości nr 2 muszę mieć 4. 130 00:07:11,510 --> 00:07:13,180 Jeżeli wyrzucę najpierw 2, to następnie muszę wyrzucić 3. 131 00:07:13,180 --> 00:07:15,050 Jeżeli wyrzucę 3, to potrzebuję 2. 132 00:07:15,360 --> 00:07:19,230 Jeżeli wyrzucę 4, to potrzebuję 1. 133 00:07:19,240 --> 00:07:22,140 Jeżeli wyrzucę 5, aha to już koniec. 134 00:07:22,390 --> 00:07:24,670 To są jedyne możliwe sytuacje, gdzie wyrzucam łącznie 5. 135 00:07:24,900 --> 00:07:28,400 Możemy więc spytać, jakie jest prawdopodobieństwo, 136 00:07:28,610 --> 00:07:30,230 potrzebujemy wyrzucić najpierw te liczby, 137 00:07:30,230 --> 00:07:31,850 następna liczba musi być taka jak w tabelce. 138 00:07:32,390 --> 00:07:37,150 Mamy więc 4 prawdopodobieństwa, które dają nadzieję na wyrzucenie łącznie 5. 139 00:07:37,150 --> 00:07:38,350 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 1? 140 00:07:38,350 --> 00:07:40,330 To jest 1/6. To jest kość nr 1. 141 00:07:41,710 --> 00:07:47,320 To oznacza, że wyrzuciliśmy 2, 3. A to, że wyrzuciliśmy 4, prawda? 142 00:07:47,320 --> 00:07:49,340 Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania 1 na kości nr 1? 143 00:07:49,570 --> 00:07:53,000 Jest równe 1/6. Wszystkie są równe 1/6. 144 00:07:53,000 --> 00:07:54,030 To jest prawdopodobieństwo uzyskania 2. 145 00:07:54,150 --> 00:07:55,230 To jest prawdopodobieństwo uzyskania 3. 146 00:07:55,350 --> 00:07:57,390 A to jest prawdopodobieństwo uzyskania 4. 147 00:07:57,520 --> 00:08:00,760 Wiedząc, że na pierwszej kości wypadła jedynka, 148 00:08:00,760 --> 00:08:02,010 jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 4? 149 00:08:03,330 --> 00:08:05,450 Mamy łącznie 6 prawdopodobieństw i widzimy, 150 00:08:05,450 --> 00:08:07,170 że mamy do czynienia z drzewem, możemy wyrzucić 5 lub 6, ale te się nie liczą. 151 00:08:07,170 --> 00:08:09,100 Wyrzucając je na jednej z kości wiemy, że suma będzie większa od 5. 152 00:08:09,350 --> 00:08:12,930 Czyli kość nr 1 i następnie kość nr 2, mamy 1/6 szansy 153 00:08:12,930 --> 00:08:13,790 wyrzucenia 4. 154 00:08:13,980 --> 00:08:16,530 Dalej mamy również prawdopodobieństwa wypadnięcia innych liczb, 155 00:08:16,530 --> 00:08:20,000 ale to jest jedyna sytuacja dla drugiej kości, gdzie suma wyrzuconych wartości da nam 5, prawda? 156 00:08:20,330 --> 00:08:24,090 Podobnie ... to jest kość nr 2, ta kolumna. 157 00:08:24,630 --> 00:08:26,300 Jeżeli najpierw wyrzucę 2, 158 00:08:26,300 --> 00:08:27,450 jaką wartość muszę wyrzucić na kości nr 2? 159 00:08:27,450 --> 00:08:31,390 Muszę wyrzucić 3, szansa wyrzucenia 3 jest równa 1/6. 160 00:08:31,620 --> 00:08:33,640 I oczywiście sumują się do 5. 161 00:08:33,910 --> 00:08:37,060 Jeżeli wyrzucę 3 tutaj, to mam 1/6 szansy wyrzucenia 2 na kości nr 2. 162 00:08:37,340 --> 00:08:38,650 Dokładnie to o co mi chodziło. 163 00:08:38,880 --> 00:08:40,310 Oczywiście jest dużo innych wartości, które można uzyskać, 164 00:08:40,310 --> 00:08:41,950 w drugim rzucie, ale wyszukujemy tych dających nam 5. 165 00:08:42,240 --> 00:08:44,450 I jeżeli wyrzucimy 4, zmienię kolory. 166 00:08:44,780 --> 00:08:50,270 Jest 1/6 szansa, że wyrzucę na drugiej kości 1, żeby mieć łącznie 5, prawda? 167 00:08:50,550 --> 00:08:52,010 Ile wynoszą wszystkie prawdopdobieństwa? 168 00:08:52,010 --> 00:08:53,590 Zobaczmy. 169 00:08:53,590 --> 00:08:57,590 Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 a później 4. 170 00:08:58,220 --> 00:09:03,760 Pozwólcie, że wymażę to. Powoli kończy mi się czas. 171 00:09:04,940 --> 00:09:07,260 W zasadzie to zrobię to po tej stronie. 172 00:09:07,610 --> 00:09:15,330 Prawdopodobieństwo tego zdarzenia, trochę większy bałagan niż zwykle ;) 173 00:09:15,600 --> 00:09:18,120 Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 i następnie 4, 174 00:09:18,420 --> 00:09:21,220 jest równe 1/36, prawda? 175 00:09:21,220 --> 00:09:24,690 To jest 1/6 razy 1/6. 176 00:09:24,690 --> 00:09:27,100 Mamy prawdopodobieństwo 1/6 tego zdarzenia i po nim mamy prawdopdopobieństwo 1/6 kolejnego zdarzenia. 177 00:09:27,100 --> 00:09:30,130 To będzie 1/36, podobnie jak poprzedni. 178 00:09:30,130 --> 00:09:34,650 To jest 1/36, to jest 1/36 i to jest 1/36. 179 00:09:34,960 --> 00:09:38,190 Każde z tych zdarzeń ma prawdopodobieństwo 1/36, 180 00:09:38,190 --> 00:09:40,780 każdy z tych wierszy odpowiada jednemu polu w narysowanej wcześniej siatce. 181 00:09:41,070 --> 00:09:43,540 Uzyskaniu 2 i 3, uzyskaniu 1 i 4. 182 00:09:43,760 --> 00:09:46,720 I dalej całkowite prawdopodobieństwo uzyskania 5 jest równe sumie tych wszystkich. 183 00:09:46,720 --> 00:09:49,380 4/36 jest równe 1/9. 184 00:09:49,630 --> 00:09:51,620 Widać tutaj, że nie trzeba rysować siatki, 185 00:09:52,150 --> 00:09:54,140 wystarczy narysować drzewo, można narysować tabelkę 186 00:09:54,140 --> 00:09:56,070 i na ich podstawie obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania 5, 187 00:09:56,070 --> 00:09:58,410 jakie będzie prawdopodobieństwo każdego z poszczególnych przypadków i ostatecznie je zsumować. 188 00:09:58,410 --> 00:10:01,050 Wszystkie sposoby działają, w zależności od przypadku 189 00:10:01,050 --> 00:10:04,300 różne metody mogą się okazać bardziej użyteczne. 190 00:10:04,680 --> 00:10:06,290 Do zobaczenia w następnym filmie.