WEBVTT

00:00:01.010 --> 00:00:04.520
İkinci dereceden denklem videosuna hoşgeldiniz

00:00:04.520 --> 00:00:06.730
ikinci dereceden denklem kulağa

00:00:06.730 --> 00:00:07.810
karmaşık gelebilir

00:00:07.810 --> 00:00:09.930
Hatta denklemi ilk gördüğünüzde,

00:00:09.930 --> 00:00:11.590
kulağa karmaşık gelen bu denklemler

00:00:11.590 --> 00:00:13.110
gerçekten çok karmaşıkmış diyceksiniz

00:00:13.110 --> 00:00:14.930
ama umarım ki bu sunum

00:00:14.930 --> 00:00:16.580
boyunca öyle olmadığını anlayacaksınız

00:00:16.580 --> 00:00:19.040
ve gelecek sunumlarda bu denklemlerin nereden türediğini

00:00:19.040 --> 00:00:21.300
size göstereceğim

00:00:21.300 --> 00:00:24.810
Bu zamana kadar bu denklemlerin nasıl

00:00:24.810 --> 00:00:25.810
çözüleceğini gördünüz

00:00:25.810 --> 00:00:30.910
Öğrendiklerimize göre, x'in karesi eksi

00:00:30.910 --> 00:00:40.340
x eksi 6 eşittir 0

00:00:40.340 --> 00:00:42.970
Bu denklem üzerinden gidersek, x kare eksi x eksi x eşittir

00:00:42.970 --> 00:00:48.720
sıfır, ve sizde bunu x eksi 3 ve

00:00:48.720 --> 00:00:52.210
x artı 2 eşittir 0 olarak çözümleyebilirsiniz.

00:00:52.210 --> 00:00:54.955
Bu da demektir ki x eksi 3, 0'a yada

00:00:54.955 --> 00:00:57.073
x artı 2, 0'a eşittir.

00:00:57.073 --> 00:01:03.512
Yani x eksi 3, 0'a ya da x artı 2, 0'a eşit.

00:01:03.512 --> 00:01:08.500
Buna göre de, x, 3'e yada -2'ye eşittir.

00:01:08.500 --> 00:01:17.980
Bu denklemin grafiksel görünümü ise, denklemi

00:01:17.980 --> 00:01:26.150
f'in x'i, x kare eksi x eksi 6 ya eşittir olarak alırsak ortaya çıkar.

00:01:26.150 --> 00:01:28.760
Yani bu eksen f(x) ekseni olur.

00:01:28.760 --> 00:01:32.670
y ekseni size daha tanıdık gelmiş olabilir, ancak bu türde

00:01:32.670 --> 00:01:34.780
bir problem için, bu çok ta farketmeyecektir.

00:01:34.780 --> 00:01:36.270
Bu da x ekseni.

00:01:36.270 --> 00:01:40.430
Eğer ki ben bunu grafiksel olarak çizersem, x kare eksi x

00:01:40.430 --> 00:01:42.380
eksi 6, grafik şu şekilde gözükür

00:01:42.380 --> 00:01:50.130
Birde - bu f'in x'i, -6 ya eşittir.

00:01:50.130 --> 00:01:52.900
grafiği şöyle bişey olur:

00:01:52.900 --> 00:01:57.150
Gittikçe yukarı yükselir.

00:02:00.030 --> 00:02:03.150
ve grafik -6 dan geçer, çünkü x, 0'a eşit olduğunda

00:02:03.150 --> 00:02:05.110
f'in x'i, -6 ya eşit olur.

00:02:05.110 --> 00:02:07.800
Bu sebepten dolayı grafiğin bu noktadan geçtiğini anlayabiliyorum.

00:02:07.800 --> 00:02:11.520
Ve biliyorum ki f'in x'i, 0'a eşit, yani f'in x'i

00:02:11.520 --> 00:02:14.960
x ekseninde 0'a eşit. Değil mi?

00:02:14.960 --> 00:02:16.600
Çünkü bu 1.

00:02:16.600 --> 00:02:17.870
Bu da 0.

00:02:17.870 --> 00:02:19.160
Bu da -1.

00:02:19.160 --> 00:02:21.510
Yani burası f'in x'inin 0'a eşit olduğu yer,

00:02:21.510 --> 00:02:23.420
x ekseni ile birlikte, değil mi?

00:02:23.420 --> 00:02:29.210
Ve biliyoruz ki x'in, 3'e veya -2'ye eşit olduğu bölgelerde,

00:02:29.210 --> 00:02:32.330
denklem 0'a eşit.

00:02:32.330 --> 00:02:34.360
İşte bu da tam burda çözdüğümüz şey.

00:02:34.360 --> 00:02:36.440
Belkide bu tür problemleri yaparken,

00:02:36.440 --> 00:02:38.940
yaptıklarımızın grafiksel olarak farkında değildik.

00:02:38.940 --> 00:02:42.070
Ama eğer f'in x'inin bu fonksyona eşit olduğunu söylersek

00:02:42.070 --> 00:02:43.270
biz bunu 0'a eşitlemiş oluyoruz.

00:02:43.270 --> 00:02:44.820
Yani diyoruz ki, bu fonksyon

00:02:44.820 --> 00:02:48.220
ne zaman 0'a eşit olur?

00:02:48.220 --> 00:02:49.390
Ne zaman 0'a eşit olur?

00:02:49.390 --> 00:02:51.720
Gördüğümüz gibi, bu noktalarda 0'a eşit değil mi?

00:02:51.720 --> 00:02:55.360
Çünkü burası f'in x'inin, 0'a eşit olduğu yer.

00:02:55.360 --> 00:02:57.490
Ve bunu çarpanlarına ayırarak çözerken yaptığımız şey ise

00:02:57.490 --> 00:03:01.970
f'in x'ini, 0'a eşitleyen sayıların

00:03:01.970 --> 00:03:04.160
bu iki nokta olduğunu farketmemizdi.

00:03:04.160 --> 00:03:06.740
Ve kısa bir terim, bu noktalara,

00:03:06.740 --> 00:03:09.860
f'in x'inin "kök"leri denir.

00:03:09.860 --> 00:03:12.470
Şimdi biraz tekrar yapalım.

00:03:14.810 --> 00:03:23.700
Eğer, f'in x'i, x kare artı

00:03:23.700 --> 00:03:29.550
4x artı 4 gibi bir denklemim olsaydı, ve size

00:03:29.550 --> 00:03:31.770
bu denklemin köklerini sorsaydım,

00:03:31.770 --> 00:03:33.970
Bu f'in x'inin, x eksenini hangi noktalarda

00:03:33.970 --> 00:03:36.300
keser demekle aynı şeydir.

00:03:36.300 --> 00:03:38.210
ve denklemler, x eksenini, f'in x'i

00:03:38.210 --> 00:03:39.440
0'a eşitken keser, değil mi?

00:03:39.440 --> 00:03:42.120
Eğer benim az önce çizdiğim grafiği düşünürseniz.

00:03:42.120 --> 00:03:45.720
Diyelim ki, f'in x'i, 0'a eşit, buna göre

00:03:45.720 --> 00:03:51.860
hemen diyebiliriz ki, 0, x kare artı 4x artı 4 e eşittir.

00:03:51.860 --> 00:03:53.940
ve biliyoruz ki, bunu x artı 2 çarpı x artı iki

00:03:53.940 --> 00:03:57.080
olarak çarpanlarına ayırabiliriz.

00:03:57.080 --> 00:04:07.090
Ve biliyoruz ki bu denklemde de x eksi 2, 0'a eşit.

00:04:07.090 --> 00:04:10.170
x ise -2'ye eşit.

00:04:13.940 --> 00:04:18.270
Evet bu biraz -- x, -2'ye eşittir.

00:04:18.270 --> 00:04:22.380
Şimdi, denklemin köklerini bulmayı

00:04:22.380 --> 00:04:24.560
köklerine ayırmak kolay olduğu zaman biliyoruz.

00:04:24.560 --> 00:04:27.500
Ancak şimdi de, çarpanlarına ayrılması zor olan bir denklem

00:04:27.500 --> 00:04:28.850
üzerinde çalışalım.

00:04:28.850 --> 00:04:32.120
Diyelim ki, f'in x'i, -10x kare, eksi 9x artı 1

00:04:39.750 --> 00:04:45.380
e eşit.

00:04:45.380 --> 00:04:47.580
Ben buna baktığım zaman, her ne kadar da 10 a bölsem bile

00:04:47.580 --> 00:04:48.650
kesirli sayılar çıkacağını görüyorum.

00:04:48.650 --> 00:04:53.130
ve bu denklemi ikinci dereceden çarpanlarına ayırmak çok güç.

00:04:53.130 --> 00:04:54.860
Asıl bunlar, ikinci dereceden denklemler

00:04:54.860 --> 00:04:57.580
ya da ikinci dereceden çok terimliler.

00:04:57.580 --> 00:04:59.600
Konuya geri dönersek -- Biz bu denklemi çözmek istiyoruz.

00:04:59.600 --> 00:05:02.420
Çünkü ne zaman sonucunun 0'a eşit olacağını merak ediyoruz.

00:05:02.420 --> 00:05:07.130
-10x kare, eksi 9x artı 1.

00:05:07.130 --> 00:05:09.090
Bu denklemi 0'a eşitleyecek

00:05:09.090 --> 00:05:11.260
x değerini bulmaya çalışacağız.

00:05:11.260 --> 00:05:13.730
İşte tam burda, ikinci dereceden denklem dediğimiz bir araç kullanacağız.

00:05:13.730 --> 00:05:15.625
ve şiimdi size, matematikte çok nadir ezberlenmesi gereken

00:05:15.625 --> 00:05:18.030
şeylerden bir tanesini anlatacağım.

00:05:18.030 --> 00:05:21.330
İkinci dereceden denklem der ki, denklemin kökleri eşittir:

00:05:21.330 --> 00:05:24.810
--ve diyelim ki bu denklem

00:05:24.810 --> 00:05:31.900
ax kare, artı bx artı c eşittir 0,

00:05:31.900 --> 00:05:35.790
bu örnekte a, -10'a eşit.

00:05:35.790 --> 00:05:39.940
b, -9'a ve c'de 1'e eşit.

00:05:39.940 --> 00:05:48.040
Bunun formülü ise: x kökleri eşittir, -b artı ya da eksi

00:05:48.040 --> 00:05:58.060
b kare'nin kare kökü, eksi 4 çarpı a çarpı c,

00:05:58.060 --> 00:06:00.230
ve bunların hepsi bölü 2a.

00:06:00.230 --> 00:06:02.843
Biliyorum, bu karmaşık gözüküyor, ancak siz bunu kullandıkça,

00:06:02.843 --> 00:06:04.400
o kadar da kötü olmadığını anlayacaksınız.

00:06:04.400 --> 00:06:07.720
ve bu da ezberlemek için güzel bir fikir.

00:06:07.720 --> 00:06:10.730
Mesela, bu denklemi, şimdi yazdığımız

00:06:10.730 --> 00:06:12.670
bu denkleme uygulayalım.

00:06:12.670 --> 00:06:15.260
Şimdi söyledim -- ve bakın, buradaki a sadece x üzerindeki

00:06:15.260 --> 00:06:18.610
katsayı, değil mi?

00:06:18.610 --> 00:06:20.300
a, x kare terimindeki katsayıdır.

00:06:20.300 --> 00:06:23.570
b ise, x terimindeki katsayıdır, ve c sabittir.

00:06:23.570 --> 00:06:25.100
Hadi bunu bu denkleme uygulayalım.

00:06:25.100 --> 00:06:26.250
b nedir?

00:06:26.250 --> 00:06:28.700
b, -9

00:06:28.700 --> 00:06:29.970
Burda görebiliriz.

00:06:29.970 --> 00:06:33.980
b, -9, a ise -10

00:06:33.980 --> 00:06:34.970
c de 1

00:06:34.970 --> 00:06:36.090
Değil mi?

00:06:36.090 --> 00:06:42.350
Eğer b, -9'sa -- diyelim ki -9.

00:06:42.350 --> 00:06:49.260
Artı ya da eksi, -9'un karesinin karekökü.

00:06:49.260 --> 00:06:49.810
Bu da 81'e eşit.

00:06:49.810 --> 00:06:53.140
Eksi 4 çarpı a.

00:06:56.940 --> 00:06:59.760
a, -10'a eşit.

00:06:59.760 --> 00:07:03.240
-10 kere c, yani 1.

00:07:03.240 --> 00:07:05.110
Biliyorum bu çok karışık bir şey, ancak umuyorum ki

00:07:05.110 --> 00:07:06.470
anlayabiliyorsunuzdur.

00:07:06.470 --> 00:07:09.560
ve bunların hepsi, bölü 2a.

00:07:09.560 --> 00:07:14.050
a, -10'a eşit, yani 2a'da -20.

00:07:14.050 --> 00:07:14.990
Şimdi bunu sadeleştirelim.

00:07:14.990 --> 00:07:19.410
Eksi çarpı -9, 9 eder.

00:07:19.410 --> 00:07:26.460
Artı yada eksi 81'in karekökü.

00:07:26.460 --> 00:07:30.660
Elimizde -4 çarpı -10 var.

00:07:30.660 --> 00:07:31.870
Bu bir -10.

00:07:31.870 --> 00:07:33.280
Biliyorum bu çok karmaşık oldu, bunun için

00:07:33.280 --> 00:07:34.380
gerçekten çok özür dilerim, çarpı 1.

00:07:34.380 --> 00:07:39.410
Yani -4 çarpı -10, 40 yapar, pozitif 40.

00:07:39.410 --> 00:07:41.040
Pozitif 40.

00:07:41.040 --> 00:07:46.070
ve bunların hepsi bölü -20.

00:07:46.070 --> 00:07:48.300
Bildiğiniz gibi, 81 artı 40, 121.

00:07:48.300 --> 00:07:52.330
Bu da 9 artı yada eksi 121'in

00:07:52.330 --> 00:07:58.290
kare kökü üzeri -20.

00:07:58.290 --> 00:08:01.620
121'in kare kökü 11.

00:08:01.620 --> 00:08:03.170
Şimdi buraya gidelim.

00:08:03.170 --> 00:08:06.184
Umuyorum ki, yaptığım şeyleri takip edebiliyorsunuzdur.

00:08:06.184 --> 00:08:13.720
Şimdi, bu 9 artı yada eksi 11, üzeri -20.

00:08:13.720 --> 00:08:19.090
ve eğer 9 artı 11 üzeri, -20 dersek bu 9,

00:08:19.090 --> 00:08:22.540
artı 11, 20 eder ve bu da 20 bölü -20 eder.

00:08:22.540 --> 00:08:23.730
Yani -1.

00:08:23.730 --> 00:08:24.900
Bu köklerden birtanesi.

00:08:24.900 --> 00:08:28.260
Bu, 9 artı -- çünkü bu artı yada eksi.

00:08:28.260 --> 00:08:33.790
ve diğer kökt te, 9 eksi 11 üzeri -20.

00:08:33.790 --> 00:08:37.720
Yani, -2 bölü -20.

00:08:37.720 --> 00:08:40.700
Yani, 1 bölü 10.

00:08:40.700 --> 00:08:42.690
Bu da denklemin ikinci kökü.

00:08:42.690 --> 00:08:48.950
Eğer bu denklemin grafiğini çizersek, göreceğimiz şey,

00:08:48.950 --> 00:08:52.640
köklerin x ekseni ile çakışacağı olacaktır.

00:08:52.640 --> 00:08:57.770
Ya da f'in x'i, x'in -1 yada 1/10,

00:08:57.770 --> 00:09:01.690
olduğu zamanlarda, 0'a eşit.

00:09:01.690 --> 00:09:04.080
İkinci bölümde çok daha fazla örnek çözeceğim, çünkü

00:09:04.080 --> 00:09:06.100
kafanızı bu video ile karıştırmış

00:09:06.100 --> 00:09:08.120
olabileceğimi düşünüyorum.

00:09:08.120 --> 00:09:11.680
O zaman, ikinci dereceden denklemleri kullanacağımız, videonun ikinci bölümünde

00:09:11.680 --> 00:09:12.150
görüşürüz.

00:09:12.150 --> 00:09:14.083
.