Bienvenidos a la presentación del uso de la ecuación cuadrática
La ecuación cuadrática suena como algo
muy complicado.
Y cuando observas la ecuación cuadrática por primera vez
expresarás que no sólo suena como algo
complicado; es realmente complicado.
Afortunadamente, observarás a través de esta
presentación que en realidad no es difícil de utilizar.
En una presentación posterior te mostraré
como se llega a esta.
En genera, haz aprendido como factorizar
una ecuación de segundo grado.
Has aprendido que, por ejemplo, si tenemos x al cuadrado
menos x, menos 6, igual a 0.
Si tengo esta ecuación. x cuadrada menos x igual
a cero, puedes factorizarla como x menos 3 y
x mas 2 igual a cero.
Lo que significa que tanto x menos 3 es igual a cero o
x mas 2 es igual a 0.
Así, x menos 3 igual a cero o x mas 2 igual a cero.
Por lo que x es igual a 3 o -2.
Una representación gráfica de esto sería, si tengo
la función f(x) es igual a x al cuadrado menos x menos 6.
Éste eje es el eje f(x).
Estarás mas familiarizado con el eje 'y', y para el propósito
de este tipo de problemas, no importa.
Y este es el eje de las x.
Si yo dibujara la gráfica de esta ecuación, x al cuadrado,
menos x menos 6, se observaría como esto.
Un poco como - este es f(x) igual a -6.
Y la gráfica realizará algo como esto.
Subirá, se mantendrá subiendo en esta dirección.
Observa que atraviesa en -6, porque cuabdo x es igual a 0,
f(x) es igual a -6.
Por lo que sé que atraviesa por este punto.
Y yo sé que cuando f(x) es igual a cero, tambien
f(x) es igual a 0 a lo largo del eje x, ¿cierto?
Porque este es 1.
Este es 0.
Este es -1.
Así que aquí es donde f(x) es igual a 0,
a lo largo de del eje x, ¿correcto?
Sabemos que es igual a 0 en los puntos x igual a 3 y
x igual a -2.
Estas son las soluciones.
Es probable que cuando estabamos en los problemas de factorización no
teníamos en mente la representación gráfica de lo que estabamos haciendo.
Pero si decimos que f(x) es igual a esta función,
la estamos igualando a 0.
Por lo que estamos diciendo,
¿en dónde ésta función es igual a 0?
¿Cuando es igual a 0?
Bueno, es igual a 0 en estos puntos, ¿correcto?
Porque aquí es en donde f(x) es igual a 0.
Y lo que estamos haciendo al resolverla por
factorización es, ahora sabemos, los valores de x que hacen a
f(x) igual a 0, que son estos dos puntos.
Un poco de terminología, tambien se les llama
los ceros, o las raíces, de f(x).
Revisemos esto un poco.
Si tengo algo así como f(x) es igual a x cuadrada mas
4x mas 4, y les pregunto en dónde están los ceros o
las raíces de f(x).
Es lo mismo que decir, ¿en dónde f(x)
intersecta el eje x?
E intersecta el eje x cuando f(x) es
igual a 0, ¿correcto?
Si piensas en la gráfica que acabo de dibujar.
Digamos que f(x) es igual a 0, podremos
decir que 0 es igual a x cuadrada mas 4x mas 4.
Y sabemos, factorizando, que
(x + 2)(x + 2).
Y sabemos que es igual a cerso en x igual a -2.
x es igual a -2.
Esto es x igual a -2.
Así que ahora sabemos como encontrar los ceros
cuando la ecuación es fácil de factorizar.
Hagamos ahora una ecuación que
no sea fácil de factorizar.
Digamos que tenemos f(x) es igual a
-10x cuadrada menos 9x mas 1.
Cuando la observamos, aún si dividieramos entre 10
tendríamos algunas fracciones aquí.
Y es difícil imaginar la factorización de ésta cuadrática.
Y esto es lo que se conoce como una ecuación cuadrática, o
un polinomio de segundo grado.
A trabajar - Intentaremos resolverla.
Queremos encontrar cuando es igual a 0.
-10x cuadrada -9x mas 1.
Deseamos encontrar los valores de x que hacen
esta ecuación igual a cero.
Y aquí es donde podemos utilizar una herramienta llamada la ecuación cuadrática.
Ahora les daré una de las pocas cosas en matemáticas
que es una buena idea memorizar.
La ecuación cuadrática dice que las raíces de una cuadrática
son iguales a -- digamos que la ecuación cuadrática es
a x cuadrada mas b x mas c igual a cero.
Así, en este ejemplo, a es -10.
b es -9, y c es 1.
La fórmula para las raíces es -b mas/menos
la raíz cuadrada de b cuadrada menos 4 veces a por c,
todo dividido entre 2a.
Sé que se ve complicado, pero entre mas la utilices observarás
que no está tan mal.
Y esta es una buena idea para memorizar.
Apliquemos la ecuación cuadrática a esta ecuación
que acabamos de escribir.
Como mencioné, basta mirar los coeficientes
en el término x, ¿correcto?
a es el coeficiente en el término al cuadrado.
b es el coeficiente en el término en x, y c es la constante.
Apliquemos a ésta ecuación.
¿Cuánto es b?
Bueno, b es -9.
Lo podemos observar aquí.
b es -9, a es -10.
c es 1.
¿Correcto?
Así que si b es -9, esto es -9.
Mas o menos la raíz cuadrada de -9 al cuadrado.
Eso es 81.
Menos 4 veces a.
a es -10.
-10 veces c, que es 1.
Hay un poco de desorden, pero con suerte
estás comprendiendo.
Y todo esto dividido por 2 veces a.
a es -10, así que 2 veces a es -20.
Simplifiquemos.
- -9, resulta en 9 positivo.
Mas o menos la raíz cuadrada de 81.
Tenemos 4 veces -10.
Esto es -10.
Está muy desordenado, una disculpa
por eso, multiplicado por 1.
Así que 4 veces -10 es 40, 40 positivo.
40 positivo.
Y tenemos todo esto dividido entre -20.
81 mas 40 es 121.
Así que esto es 9 mas/menos la raíz cuadrada
de 121 dividido entre -20.
La raíz cuadrada de 121 es 11.
Aquí lo ponemos.
Con suerte, no te perderás en lo que hago.
Así que es 9 mas/menos 11 dividido entre -20.
Si 9 mas 11 dividido entre -20, es 9
mas 11 resulta en 20, 20 dividido entre -20.
Que resulta en -1.
Esta es una de las raíces.
Esto es 9 mas -- debido a que es mas o menos.
Y la otra raíz será 9 menos 11 dividido entre -20.
Que resulta en -2 dividido entre -20.
Que es igual a 1 sobre 10.
Esta es la otra raíz.
Si graficaramos esta ecuación, observaríamos que
intersecta al eje x.
O, f(x) es igual a 0 en los puntos
x es igual a -1 y x igual a 1/10.
Realizaré mas ejemplos en la segunda parte, porque
creo haberte confundido un poco
con este ejemplo.
Nos veremos en la parte 2 de
usando la ecuación cuadrática.
Adios.