اهلاً بكم في عرض استخدام المعادلة التربيعية
المعادلة التربيعية، تبدو وكأنها شيئ
معقد جداً
وعندما ترى المعادلة التربيعية لأول مرة
ستقول، حسناً، ليس انها تبدو شيئ
معقد وحسب، وانما هي شيئ معقد بالفعل
لكن اتمنى انكم سترون، من خلال هذا
العرض، انها في الواقع ليست صعبة الاستخدام
وفي المستقبل سوف اوضح لكم
كيف تم اشتقاقها
بشكل عام، لقد تعلمتم كيفية تحليل
معادلة من الدرجة الثانية الى عواملها
لقد تعلمنا انه اذا كان لدينا x^2 -
x - 6 = 0
اذا كانت لدي هذه المعادلة، x^2 - x - 6 =
0، حيث يمكنكم ان تحللوا هذه كالتالي (x - 3) و
(x + 2) = 0
ما يعني ان اي من x - 3 = 0 او ان
x + 2 = 0
اذاً x - 3 = 0 او x + 2 = 0
اذاً x اما تساوي 3 او -2
والتمثيل البياني لهذا سيكون، اذا كان لدي
الاقتران f(x) = x^2 - x - 6
هذا المحور هو محور f(x(
ربما ان محور y مألوفاً اكثر بالنسبة لكم، ولأجل هذا الغرض
من هذه المسألة، فهو لا يهم
وهذا محور x
واذا اردت ان امثل هذه المعادلة بيانياً، x^2 - x
- 6، فسوف تبدو هكذا
قليلاً ما تشبه --هذا f(x) = -6
والتمثيل البياني سوف يبدو هكذا تقريباً
يرتفع لأعلى، سوف يستمر بالارتفاع لأعلى بهذا الاتجاه
ونعلم انه يمر بالنقطة -6، لأنه عندما x = 0
فإن f(x) = -6
لذا انا اعلم انه يمر بهذه النقطة
واعلم انه عندما f(x) = 0، اذاً f(x) =
0 على طول محور x، اليس كذلك؟
لأن هذا 1
هذا 0
هذا -1
وهنا عندما f(x)= 0، على طول
محور x هذا، صحيح؟
ونحن نعلم انه يساوي 0 على النقطة x = 3 و
x = -2
هذا ما قد اوجدناه هنا
ربما عندما نقوم بحل مسائل التحليل الى العوامل لم
ندرك ما نقوم به بيانياً
لكن اذا قلنا ان f(x( يساوي هذا الاقتران
نضعه مساوياً لصفر
اذاً نقول هذا الاقتران، متى
يساوي هذا الاقتران صفر؟
متى يساوي 0؟
حسناً، يساوي 0 على هذه النقاط، اليس كذلك؟
لأنه هنا حيث f(x) = 0
ثم ما كنا نفعله عندما اوجدنا هذا عن طريق
التحليل الى العوامل، هو ايجاد قيم x التي تجعل f(x(
= 0، وهما هاتان النقطتان
وباستخدام بعض المصطلحات، فإنهما ايضاً يسميان
بالاصفار، او الجذور، لـ f(x(
دعونا نقوم بمراجعة ذلك قليلاً
اذا كان لدي شيئ كـ f(x) = x^2
+ 4x + 4، وسألتكم اين الاصفار، او
جذور f(x(
هذا يعادل ان نقول، اين يقاطع f(x(
محور x؟
ويقاطع محور x عندما f(x(
= 0، صحيح؟
اذا فكرتم بالتمثيل البياني الذي قمت برسمه
دعونا نفترض انه اذا كان f(x) = 0، بالتالي يمكننا ان
نقول، 0 = x^2 + 4x + 4
وكما نعلم، فإنه يمكننا ان نحلل تلك الى عواملها، فتصبح (x
+ 2) × (x + 2)
ونعلم ان ذلك يساوي 0 على النقطة x = -2
x = -2
حسناً، ذلك --x = -2
اذاً الآن نعلم كيفية ايجاد الاصفار عندما تكون
المعادلة الحالية سهلة التحليل
لكن دعونا نضع حالة عندما لا تكون هذه المعادلة
سهلة التحليل
لنفترض ان لدينا f(x) = 10x^2
- 9x + 1
حسناً، عندما انظر اليها، اذا اردت ان اقسمها على 10
فسوف احصل على بعض الكسور هنا
ومن الصعب جداً ان نتخيل تحليل هذه العبارة التربيعية الى عواملها
وهذا ما يسمى معادلة تربيعية، او
متعدد حدود من الدرجة الثانية
لكن دعونا نضع --نحن نحاول حلها
لأننا نريد ان نجدها عندما تساوي 0
10x^2 - 9x + 1-
نريد ان نجد قيم x التي تجعل هذه
المعادلة تساوي 0
وهنا يمكننا ان نستخدم اداة تدعى بالمعادلة التربيعية
والآن سوف اعطيكم واحداً من الاشياء في الرياضيات
التي ربما تكون فكرة جيدة للحفظ
ان المعادلة التربيعية تقول ان جذور العبارة التربيعية
تساوي --ودعونا نفترض ان المعادلة التربيعية هي
ax^2 + bx + c = 0
اذاً في هذا المثال، a = -10
b = -9، و c = 1
هذه الصيغة هي جذور x = -b + او -
الجذر التربيعي لـ c × a × b^2 - 4
كل ذلك مقسوماً على 2a
اعلم ان ذلك يبدو معقداً، لكن كلما استخدمتموه اكثر
سوف ترون انه ليس بذلك السوء
وهذه فكرة جيدة للحفظ
دعونا نطبق المعادلة التربيعة على هذه المعادلة
التي قد كتبناها في الاسفل
لقد قلت --وانظروا، ان الـ a عبارة عن معامل
عبارة x، اليس كذلك؟
a عبارة عن معامل عبارة x^2
b هو معامل عبارة x، و c هو الثايت
اذاً دعونا نطبقها على هذه المعادلة
ما هي قيمة b؟
حسناً، b = -9
يمكننا ان نرى هنا
b = -9، و a = -10
c = 1
اليس كذلك؟
اذا كان b = -9 --دعونا نفترض، انه -9
+ او - الجذر التربيعي لـ -9^2
حسناً، هذا يساوي 81
-4 × a
a = -10
- 10 × c، اي 1
اعلم ان هذا فوضوي، لكن اتمنى انكم
تفهموه
وكل ذلك مقسوماً على 2 × a
حسناً، a = -10، اذاً 2 × a = -20
دعونا نبسط ذلك
- × -9 = موجب 9
+ او - الجذرالتربيعي لـ 81
لدينا -4 × -10
هذا -10
اعلم انه فوضوي، اعتذر
عن ذلك، × 1
اذاً -4 × -10 = 40، موجب 40
موجب 40
ثم لدينا جميع ذلك مقسوماً على -20
حسناً، 81 + 40 = 121
اذاً هذا 9 + او - الجذر التربيعي
لـ 121 / -20
الجذر التربيعي لـ 121 هو 11
سأذهب هنا
اتمنى انكم لم تفقدوا السيطرة لما اقوم بفعله
اذاً هذا 9 + او - 11 / -20
واذا قلنا 9 + 11 / -20، فهذا 9
+ 11 = 20، اذاً 20 / -20
ما يساوي -1
هذا جذر الـ 1
هذا 9 + --لأن هذا + او -
والجذر الآخر سيكون 9 - 11 / -20
ما يساوي -2 / -20
ما يساوي 1 / 10
هذا هو الجذر الآخر
اذا اردنا ان نمثل هذه المعادلة بيانياً، فسوف نرى انها
تتقاطع مع محور x
او ان f(x) = 0 على النقطة x =
-1 و x = 1/10
سوف اقوم بحل امثلة اكثر في الجزء الثاني، لأنني
اعتقد، انني ربما ازعجكم
بهذا
لذا اراكم في الجزء الثاني من استخدام
المعادلة التربيعية
.