do przeciwprostokątnej.
dodać 16,
pierwiastek kwadratowy z 65
pierwiastek kwadratowy z 65.
podzielone przez 4
podzielone przez długość przeciwprostokątnej.
przez... który bok jest przyległy?
z 65.
z obydwu stron
Zróbmy mnóstwo przykładów, aby mieć pewność, że rozumiemy
dobrze tę funkcję trygonometryczną.
Skonstruujmy nieco trójkątów prostokątnych.
Skonstruujmy nieco trójkątów prostokątnych; chcę, aby jasny był sposób, jaki zdefiniowałem
dotychczas, będzie on działał jedynie w trójkątach prostokątnych, więc jeżeli próbujemy znaleźć
funcje trygonometryczne kątów nie będących kątami trójkątów prostokątnych, zobaczymy, że
musimy skonstrułować trójkąty prostokątne, ale teraz skupmy się jedynie na trójkątach prostokątnych.
Powiedzmy, że mamy trójkąt, w którym ta długość wynosi siedem
i powiedzmy, że długość tego boku wynosi cztery.
Zauważmy, czym będzie przeciwprostokątna tutaj. Wiemy, że
— nazwijmy przeciwprostokątną „h” —
wiemy, że h do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 7 do kwadratu,
wiemy z twierdzenia Pitagorasa,
że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy
sumie kwadratów
pozostałych dwóch boków. 8 do kwadratu jest równe 7 do kwadratu dodać 4 do kwadratu.
Jest to równe 49
49 + 16,
49 + 10 wynosi 59, dodać 6 wynosi
65. A więc h podniesione do kwadratu
napiszmy: h do kwadratu
— to inny odcień żółtego — a więc h do kwadratu jest równe
65. Czy zrobiłem to porpawnie? 49 dodać 10 wynosi 59, dodać jeszcze 6
wynosi 65; możemy powiedzieć, że jest równe h jeżeli wyciągniemy pierwiastek kwadratowy
pierwiastek kwadratowy
pierwiastek kwadratowy z 65. I naprawdę nie musimy tego wcale upraszczać
to jest 13
to to samo co 13 razy 5, obydwie nie są kwadratami
oraz obydwie są pierwsze, więc nie można uprościć zapisu bardziej.
Więc jest to równe pierwiastkowi kwadratowemu
Teraz znajdźmy funkcje trygonometryczne tego oto kąta. Nazwijmy ten kąt theta.
Zawsze kiedy to robicie
możecie zanotować — a przynajmniej u mnie to działa —
„soh cah toa”.
soh...
...soh cah toa. Mam niejasne wspomnienia
mojego
nauczyciela trygonometrii, być może przeczytałem to w jakiejś książce, nie wiem — jakaś
jakaś indiańska księżniczka nazywana „soh cah toa” lub jakoś tak, ale to bardzo przydatne
skróty pamięciowe, więc zastosujmy „soh cah toa”. Znajdźmy
powiedzmy, że chcemy znaleźć cosinus. Chcemy znaleźć cosinus naszego kąta.
chcemy znaleźć cosinus naszego kąta, mówimy: „soh cah toa!”
Więc „cah”. „Cah” mówi nam, co zrobić z cosinusem,
część „cah” mówi nam,
że cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta do przeciwprostokątnej. [ang. adjacent, hypotenuse — stąd cah]
Cosinus jest równy stosunkowi przyprostokątnej przyległej do kąta
Spójrzmy na kąt theta. Którym bokiem jest przyprostokątna przyległa?
Wiemy, że przeciwprostokątna
Wiemy, że przeciwprostokątna jest tutaj, z tej strony
więc to nie może być ten bok. Jedynym innym bokiem, który jest przyległy do kąta i który
nie jest przeciwprostokątną, jest ten o długości 4.
A więc przyprostokątna przyległa jest tutaj,
jest dokładnie obok kąta, jest jednym z boków tworzących kąt.
Jest równa 4
Wiemy już, że przeciwprostokątna jest pierwiastkiem kwadratowym z 65, więc cosinus wynosi 4
podzielone przez
Czasem potrzebne jest uproszczenie mianowinika, co oznacza, że
w mianowniku nie powinna znaleźć się liczba niewymierna, jak pierwiastek z 65.
Jeśli jest taka konieczność — jeżeli chcemy przekształcić wyrażenie
usuwając niewymierność z mianownika, można pomnożyć licznik i mianownik
przez pierwiastek kwadratowy z 65.
To oczywiście nie zmieni wartości, ponieważ mnożymy wyrażenie przez liczbę podzieloną przez siebie samą, więc
w istocie mnożymy przez 1. To nie zmieni wartości, ale pozbywamy się
niewymierności z mianownika. Licznik przyjmie postać
4 razy pierwiastek z 65,
a mianownik pierwiastek z 65 razy pierwiastek z 65, czyli po prostu 65.
Nie pozbyliśmy się liczby niewymiernej, cały czas tu jest, ale teraz w liczniku.
Zajmijmy się teraz innymi funkcjami trygonometrycznymi,
a przynajmniej innymi podstawowymi funkcjami trygonometrycznymi. Nauczymy się w przyszłości wielu z nich,
ale one wszystkie pochodzą z nich,
więc pomyślmy, czym jest znak theta. Jeszcze raz wróćmy do „soh cah toa”
„soh” mówi, jak uzyskać sinus. Sinus to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej. [ang. opposite, hypotensue — „soh”]
Sinus jest równy
stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przeciwprostokątnej.
Który bok jest przyprostokątną przeciwległą dla tego kąta?
Po prostu patrzymy naprzeciwko, na co otwiera się kąt, jest on naprzeciwko boku o długości 7
a więc przyprostokątną przeciwległą jest bok długości 7.
Właśnie tutaj — to jest przyprostokątna przeciwległa,
a następnie
przeciwprostokątna, to stosunek przyprostokątnej przyległej do przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna ma długość
i ponownie, jeśli chcielibyśmy usunąć niewymierność z mianownika, moglibyśmy pomnożyć wartość pierwiastek z 65
podzielony przez pierwiastek z 65
i w licznikiu otrzymamy wtedy siedem pierwiastków z 65, a w mianowniku po prostu
ponownie 65.
Teraz zajmijmy się tangensem!
Zajmijmy się tangensem.
Jeżeli mielibyśmy obliczyć tangens
tangens kąta theta,
wracamy ponownie do soh cah
toa, fragment toa mówi nam, jak uzyskać tangens
mówi on nam
mówi nam, że tangens
jest równy stosunkowi przyprostokątnej przeciwległej do przyległej. Przeciwległej
do
przyprostokątnej przeciwległej do przyległej
więc dla tego kąta
wiemy już, że przyprostokątna przeciwległa to bok o długości 7, kąt jest narzeciw boku
o długości 7
więc to bok o długości 7
ten o długości 4 jest przyległy
bok o długości 4 jest przyległy, więc przyprostokątna przyległa to bok długości 4
a więc jest to 7
i zakończyliśmy