Ας κάνουμε αρκετά ακόμη παραδείγματα
Έτσι ώστε να σιγουρευτούμε ότι κατανοήσαμε καλά αυτές τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις.
Ας φτιάξουμε λοιπόν μόνοι μας κάποια ορθογώνια τρίγωνα
Και θέλω να είμαι πολύ σαφής
Ο τρόπος που έχουμε ορίσει αυτές τις συναρτήσεις μέχρι στιγμής ισχύουν μόνο για ορθογώνια τρίγωνα.
Έτσι αν προσπαθήσετε να ορίσετε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών που δεν είναι μέρος ενός ορθογωνίου τριγώνου
θα δούμε ότι χρειάζεται να κατασκευάσουμε ορθογώνια τρίγωνα
Αλλά προς στιγμή ας συγκεντρωθούμε στα ορθογώνια τρίγωνα.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα τρίγωνο
όπου το μήκος της κάτω πλευράς είναι 7
και ας υποθέσουμε ότι το μήκος της άλλης πλευράς
είναι 4
Και τώρα ας υπολογίσουμε ποίο είναι το μήκος της υποτείνουσας
Με όσα γνωρίζουμε. Ας ονομάσουμε την υποτείνουσα "h"
Γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας h θα είναι ίσο με το τετράγωνο του 7 συν το τετράγωνο του 4
αυτό το γνωρίζουμε από το Πυθαγόρειο Θεώρημα.
δηλαδή ότι το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσον με το
το άθροισμα των τετραγώνων των δυο άλλων πλευρών
το τετράγωνο του h είναι ίσον με το τετράγωνο του7 συν το τετράγωνο του 4
δηλαδή αυτό είναι ίσον με σαράντα εννέα (49) συν δέκα έξη (16)
49 συν 16
σαράντα εννέα συν δέκα είναι ίσον με πενήντα εννέα συν έξι εξήντα πέντε
Αυτό είναι εξήντα πέντε, δηλαδή το εξήντα πέντε είναι το τετράγωνο του h
Ας μου επιτρέψετε να γράψω το τετράγωνο το h με διαφορετικό χρώμα
έτσι έχουμε λοιπόν το τετράγωνο του h ίσον με εξήντα πέντε
Ας δούμε αν το υπολόγισα αυτό σωστά. Σαράντα εννέα συν δέκα πενήντα εννέα , συν έξι εξήντα πέντε
ή θα μπορούσαμε να πούμε ότι το h είναι ίσον με την τετραγωνική των δυο άλλων πλευρών
τετραγωνική ρίζα
η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε . Και πραγματικά δεν μπορούμε να απλοποιήσουμε αυτό παραπάνω
αυτή είναι δέκα τρία
Αυτό είναι το ίδιο με το να λέμε δέκα τρία επί πέντε
και τα δυο από αυτούς τους αριθμούς δεν είναι τέλεια τετράγωνα
και οι δυο τους είναι πρώτοι αριθμοί και έτσι δεν μπορούμε να τους απλοποιήσουμε περισσότερο.
Έτσι αυτό είναι ίσο με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε.
Και τώρα ας βρούμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις για αυτή την γωνία επάνω εδώ
Ας ονομάσουμε αυτή την γωνία θ
Έτσι κάθε φορά που κάνετε αυτό
εσείς πάντα θα γράφετε - αυτό τουλάχιστον για μένα αξλιζει να το γράφετε-
ημ-συν-εφ=ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ
ημ
Έχω αυτό το αόριστο φωνητικό σύμπλεγμα μνήμης
από τον καθηγήτη μου στην Τριγωνομετρία
Μπορεί να έχω διαβάσει αυτό και σε κάποιο βιβλίο. Δεν το ξέρω , εσείς ξέρετε κάτι γι' αυτό;
Το ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ Μοιάζει σαν το όνομα κάποιας Ινδής Πριγκίπισσας ή οτιδήποτε άλλο
αλλά είναι μια πολύ χρήσιμη έκφραση απομνημόνευσης
έτσι μπορεί να εφαρμόσουμε το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
Ας βρούμε, ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο
Θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας θ
Αν θέλουμε να βρούμε το συνημίτονο της γωνίας μας θ , λέμε "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
Αυτό μας λέει τι θα κάνουμε για να βρούμε το "συν"
το μέρος "ΠΥ" από το "ΑΥΠΥΠΑ" μας λέει
ότι το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της παρακείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα
το συνημίτονο είναι ίσο με τον λόγο της προσκείμενης πλευράς ως πρός την υποτείνουσα
Ας κοιτάξουμε λοιπόν την γωνία θ ; ποία πλευρά είναι η παρακείμενη
καλά ξέρουμε ότι η υποτείνουσα
ξέρουμε ότι η υποτείνουσα είναι αυτή εδώ η πλευρά
Επομένως αυτή δεν μπορεί να είναι η πλεύρα που ζητάμε. Η μόνη πλευρά που μπορεί να είναι παρακείμενη σ'αυτή
δεν είναι η υποτείνουσα είναι αυτή που είναι ίση με τέσσερα
Έτσι η παράπλευρη πλευρά στην γωνία θ είναι αυτή εδώ η πλευρά
είναι ακριβώς δίπλα στην γωνία
είναι μία από τις πλευρές αυτού του είδους που σχηματίζουν την γωνία
το συν είναι ο λόγος 4 ως πρός την υποείνουσα
Η υποτείνουσα ξέρουμε ότι είναι ίση με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
δηλαδή είναι ο λόγος 4 ως προς την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και μερικές φορές οι άνθρωποι θέλουν να κατανοήσουν τι πραγματικά σημαίνει ο παρανομαστής
δεν θέλουν να έχουν ένα μη κατανοητό παρανομαστή
όπως η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και αν αυτοί δεν θέλουν - και εσύ δεν θέλεις να ξαναγράψεις ένα μη κατανοητό αριθμό στον παρανομαστή
μπορεί να πολλαπλασιάσεις τον αριθμητή και τον παρανομαστή
με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
αυτό σίγουρα δεν θα αλλάξει τον αριθμό
επειδή πολλαπλασιάζουμε αυτόν με κάτι πάνω από τον εαυτό του
δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τον αριθμό με την μονάδα
αυτό δεν αλλάζει τον αριθμό , αλλά τουλάχιστον μας απαλλάσσει από τον ακατανόητο αριθμό στον παρανομαστή
έτσι ο αριθμητής γίνεται
τέσσερες φορές η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και ο παρανομαστής γίνεται τετραγωνική ρίζα του 65 επί τετραγωνική ρίζα του 65 ίσον με 65.
Εμείς δεν απαλλαγήκαμε ακόμη από τους ακατανόητους αριθμούς, αυτοί είναι ακόμα εκεί, αλλά είναι τώρα στον αριθμητή
τώρα ας κάνουμε τις άλλες τριγωνομετρικές συναρτήσεις
ή τουλάχιστον τις υπόλοιπες βασικές συναρτήσεις
Μελλοντικά θα μάθουμε ότι υπάρχουν πολλές απ' αυτές
αλλά όλες αυτές πηγάζουν (ορίζονται) από αυτές τις βασικές
Λοιπόν ας σκεφτούμε τι είναι το ημ θ. Και ας πάμε άλλη μια φορά στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
Το ΠΥ από το "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ" μας λέει τι θα κάνουμε με το ημίτονο (ημ.)
Το ημίτονο είναι ίσον με τον λόγο της απέναντι πλευράς ως προς την υποτείνουσα
Ημίτονο είναι η απέναντι δια της υποτείνουσας (Α/Υ)
Λοιπόν γι' αυτή την γωνία ποία είναι η απέναντι πλευρά;
Πάμε ακριβώς απέναντι απ' αυτή , η οποία είναι η πλευρά με μήκος επτά
επομένως η απέναντι πλευρά έχει μήκος επτά
Αυτή είναι, αυτή εδώ - η οποία είναι η απέναντι πλευρά
και μετά η υποτείνουσα, είναι η απέναντι υπεράνω της υποτείνουσας (Α/Υ)
Η υποτείνουσα είναι η τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και για μια φορά ακόμη αν θέλουμε να κάνουμε κατανοητό αυτό
θα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρανομαστή με την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και ο αριθμητής θα είναι ίσος με επτά φορές την τετραγωνική ρίζα του εξήντα πέντε
και ο παρανομαστής θα είναι πάλι εξήντα πέντε
Και τώρα ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη !
Ας υπολογίσουμε την εφαπτομένη
Έτσι αν ζητήσω από σας την εφαπτομένη
την εφαπτομένη της γωνίας θήτα (θ)
για άλλη μια φορά ας πάμε πίσω στο "ΑΥ-ΠΥ-ΠΑ"
το ΠΑ μας λέει τι θα κάνουμε με την εφαπτομένη
αυτό μας λέει
αυτό μας λέει ότι η εφαπτομένη
είναι ίση με τον λόγο της απέναντι πλευρά υπεράνω της παρακείμενης πλευράς
είναι ίση με την απέναντι πάνω
η απέναντι πάνω από την παρακείμενη
Επομένως γι' αυτή την γωνία, ποιά είναι η απέναντι. είδη έχουμε βρει ποία είναι
είναι επτά. Η απέναντι είναι επτά
Η απέναντι είναι επτά
Επομένως είναι επτά πάνω από την παρακείμενη πλευρά
καλά αυτή η πλευρα μήκος τέσσερα είναι η παρακείμενη