V předchozím videu jsme prozkoumali grafy
funkcí y se rovná 1/x na druhou a 1/x.
Zároveň jsme prozkoumali
limitu pro x jdoucí do 0.
A to v obou
případech.
V případě grafu nalevo jsme šli
ve směru stále méně záporného x,
tedy když jsme se k 0
s x blížili od záporných hodnot,
hodnoty 1/x byly čím dál vyšší, až můžeme
říct že nevlastní v kladném směru.
Stejně se chová graf,
i když jdeme zprava.
Tedy když x je čím dál
méně kladné,
hodnota funkce je také čím dál
tím vyšší až do kladného nekonečna.
Mohli bychom tedy říct, že tato
limita je nevlastní a tím skončit.
V tomto videu ale chci
nevlastní limity trochu upřesnit.
Neskončíme u toho, že
se jedná o nevlastní limitu,
porovnáme pravou a levou stranu a
vidíme, že obě míří ke kladnému nekonečnu.
Tedy zde si ukážeme, že se limity
mohou rovnat nekonečnu.
Můžete se setkat s názorem, že tato limita
je nevlastní, nebo dokonce že neexistuje,
protože se neblíží
žádné konečné hodnotě,
ale v tomto videu si ukážeme přístup,
který počítá s možností nekonečna.
Jak je to ale
u druhého grafu?
Můžeme i zde použít
tento nový způsob značení?
Pokud se k 0 blížíme zleva, funkční
hodnota míří k zápornému nekonečnu.
Když se ale blížíme k 0 zprava, blížíme
se ke kladnému nekonečnu.
V tomto případě stále nelze
říct, čemu se rovná,
jelikož zprava jde do plus nekonečna
a zleva do minus nekonečna.
Proto u této limity nemůžeme
napsat nic jiného, než že neexistuje.
Můžeme říct, čemu se
rovnají jednostranné limity.
Pokud úplně nevíte, jak na to, koukněte na
příslušné video na Khan Acadamy.
Pokud máme vypočítat limitu
funkce 1/x pro x jdoucí k nule zleva,
tedy jdeme od hodnot
menších než 0,
vidíme, že funkční hodnota funkce stále
klesá do stále větších záporných hodnot.
Proto můžeme napsat, že tato
limita je rovna minus nekonečnu.
Stejně tak můžeme vypočítat limitu
pro x jdoucí k 0 zprava z funkce 1/x.
V tomto případě se blížíme
k plus nekonečnu, tedy to je náš výsledek.
Pojďme si zkusit na toto vypočítat
příklad z Khan Academy platformy.
Máme zadané 3 grafy
označené A, B a C.
Přerušované čáry
značí asymptoty.
Který z grafů odpovídá
následujícímu tvrzení?
Limita pro x jdoucí do
1 z h(x) je rovna nekonečnu.
Video si nyní zastavte
a zkuste to sami.
Pojďme grafy
prozkoumat jednotlivě.
Zajímá nás situace,
kdy x se blíží k 1.
Na grafu A
je to zde.
Když se s x blížíme
k 1, zapíšeme si to...
Pro graf A se limita pro x jdoucí do
1 zleva rovná kladnému nekonečnu.
A limita pro x jdoucí do 1 zprava vypadá,
že jde to minus nekonečna.
Vyšli nám různé výsledky, nemůžeme
je proto sjednotit do kladného nekonečna.
Graf A tedy
vyškrtnu.
Pojďme se
podívat na B.
Čemu se rovná limita
pro x jdoucí k 1 zleva?
Tady v těch zápisech mi
chybí funkce, tedy píšu h(x).
Tedy zde teď
počítáme limitu z h(x).
Když se blížíme zleva, vypadá to,
že jdeme do kladného nekonečna.
A limita z h(x) pro x jdoucí do 1 zprava
jde také do plus nekonečna.
Tím, že se obě limity rovnají
plus nekonečnu, můžeme říct,
že B splňuje
zadání.
Abychom si však mohli být jisti,
koukneme ještě na C.
Na první pohled k x rovno
1 můžeme vidět,
že z levé strany jdeme k zápornému
nekonečnu a z pravé ke kladnému.
Jednostranné limity se zase nerovnají a
nemůžeme tedy říct, že platí dané tvrzení.
Proto můžu s klidným
svědomím i C vyškrtnou.