Να προσθέσουμε...
να απλοποιήσουμε την απάντηση και να τη γράψουμε ως μεικτό αριθμό.
Έχουμε 3 μεικτούς αριθμούς εδώ:
3 και 1/2 + 11 και 2/5 + 4 και 3/15.
Είδαμε λοιπόν προηγουμένως ότι αυτό ισοδυναμεί με...
3 + 1/2 + 11 + 2/5 + 4 + 3/15... ας το γράψω.
Είναι το ίδιο με το...
3 + 1/2 + 11 + 2/5 + 4 + 3/15.
Ο μεικτός αριθμός 3 και 1/12 στην πραγματικότητα σημαίνει απλώς
3 + 1/12.
και εφόσον προσθέτουμε αριθμούς...
η σειρά δεν έχει σημασία...
άρα μπορούμε να προσθέσουμε όλους τους ακέραιους μαζί.
Έχουμε λοιπόν 3 + 11 + 4, και μετά μπορούμε να προσθέσουμε τα κλάσματα...
το 1/12 + 2/5 + 3/15.
Τώρα, το μπλε κομμάτι είναι απλό.
Απλώς προσθέτουμε τους αριθμούς.
3 + 11 + 14 = 18...
άρα το κομμάτι αυτό μας κάνει 18.
Αυτό εδώ όμως είναι λίγο πιο δύσκολο, γιατί ξέρουμε ότι...
όταν προσθέτουμε κλάσματα, πρέπει να έχουν τον ίδιο παρονομαστή.
Και τώρα πρέπει να κάνουμε και τα τρία αυτά κλάσματα να έχουν τον ίδιο παρονομαστή...
κι αυτός ο παρονομαστής πρέπει να είναι...
το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 12, του 5 και του 15.
Μπορούμε να το κάνουμε με τη μέθοδο της ωμής βίας.
Μπορούμε απλά να δούμε τα πολλαπλάσια.
Μπορούμε να διαλέξουμε ένα από αυτούς τους αριθμούς...
να δούμε τα πολλαπλάσιά του και μετά να εξετάσουμε αν αυτά τα πολλαπλάσια...
διαιρούμε τόσο με τους άλλους δύο αριθμούς.
Ή, ο άλλος τρόπος που μπορούμε να το κάνουμε,
είναι να πάρουμε την παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών για κάθε αριθμό...
και να πούμε ότι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πρέπει να περιέχει...
τους πρώτους παράγοντες καθένα απ' αυτούς τους αριθμούς...
ώστε να χωρά ακριβώς στους αριθμούς αυτούς.
Ας σας δείξω λοιπόν τι εννοώ μ' αυτό.
Αν πάρουμε τους πρώτους παράγοντες του 12...
το 12 είναι 2 x 6... το 6 είναι 2 x 3, άρα το 12 ισούται με 2 x 2 x 3.
Αυτοί είναι ο πρώτοι παράγοντες του 12.
Τώρα αν κάνουμε το 5, οι πρώτοι παράγοντες του...
είναι το 1 και το 5, άρα το 5 είναι ένας πρώτος αριθμός.
Αυτοί είναι οι πρώτοι παράγοντες του 5.
Απλώς το 5.
Αυτό το 1 είναι άχρηστο.
Άρα το 5 έχει μόνο το 5.
Και μετά έχουμε το 15, ας κάνουμε το 15.
Στην πραγματικότητα, όταν βρήκα τους πρώτους παράγοντες του 5...
θα έπρεπε να πω ότι το 5 είναι πρώτος αριθμός.
Δεν υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος από το 1 που να διαιρείται ακριβώς με το 5...
άρα δεν έχει νόημα καν να φτιάξουμε ένα δέντρο εδώ.
Ας κάνουμε τώρα την παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών του 15.
Το 15 είναι 3 x 5 και οι αριθμοί αυτοί είναι και οι δύο πρώτοι.
Άρα χρειαζόμαστε έναν αριθμό που έχει ως παράγοντες δύο 2άρια και ένα 3άρι, άρα...
ας κοιτάξουμε το 12 εδώ πέρα.
Έτσι λοιπόν, ο παρονομαστής μας πρέπει να έχει ως παράγοντες τουλάχιστον δύο 2άρια και ένα 3άρι....
ας το γράψουμε λοιπόν.
Πρέπει λοιπόν να είναι 2 x 2 x 3.
Πρέπει τουλάχιστον να περιλαμβάνει αυτά.
Αλλά πρέπει να έχει και ένα 5, σωστά;
Πρέπει να είναι κοινό πολλαπλάσιο και του 5.
Το 5 λοιπόν είναι ακόμα ένας πρώτος παράγοντας...
άρα πρέπει να βάλουμε κι ένα 5 εδώ.
Δεν είχα ήδη 5, άρα πρέπει να το βάλω.
Και μετά πρέπει να έχει ένα 3άρι και ένα 5άρι.
Ήδη έχουμε ένα 5.
Ήδη έχουμε ένα 3 από το 12 και ήδη έχουμε κι ένα 5 από το 5...
άρα αυτός ο αριθμός θα διαιρείται ακριβώς και με τους τρεις...
και μπορούμε να το πούμε αυτό γιατί όπως βλέπετε...
έχει ένα 12 μέσα του, έχει ένα 5 μέσα του κι έχει και ένα 15 μέσα του.
Ποιος είναι λοιπόν αυτός ο αριθμός;
2 x 2 = 4.
4 x 3 = 12.
12 x 5 = 60.
Άρα, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 12, του 5 και του 15 είναι το 60.
Άρα έχουμε 18 +...
ο παρονομαστής θα είναι το 60...
άρα όλα αυτά θα έχουν παρονομαστή το 60.
Και τα τρία αυτά κλάσματα πρέπει να αποκτήσουν παρονομαστή το 60.
Για να πάμε λοιπόν από το 12 στο 60 πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή με το 5...
άρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε...
και τον αριθμητή με το 5...5 x 1= 5.
5/60 είναι το ίδιο με 1/12.
Για να πάμε από το 5 στο 60 στον παρονομαστή...
πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 12...
άρα πρέπει να κάνουμε το ίδιο και στον αριθμητή.
12 x 2 = 24.
Το τελευταίο, για να πάμε από το 15 στο 60 πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 4...
άρα πρέπει να κάνουμε το ίδιο και στον αριθμητή.
4 x 3 = 12.
Και τώρα έχουμε κοινό παρονομαστή.
Είμαστε έτοιμοι να προσθέσουμε.
Ας το κάνουμε λοιπόν.
Αυτό θα είναι λοιπόν 18 + και μετά έχουμε το κλάσμα μας με παρονομαστή το 60...
και αριθμητή το 5 + 24 + 12.
5 + 24 = 29, 29 + 12... για να δούμε... 29 +10 μας κάνει 39...
39 + 2 μας κάνει 41.
Άρα ο αριθμητής είναι 41.
Και όσο μπορώ να δω,
το 41 και το 60 δεν έχουν κοινούς παράγοντες.
Το 41 μάλιστα μου φαίνεται πρώτος αριθμός.
Άρα, η τελική απάντηση είναι 18 και 41/60.