0:00:00.730,0:00:01.250 Να προσθέσουμε... 0:00:01.250,0:00:03.570 να απλοποιήσουμε την απάντηση και να τη γράψουμε ως μεικτό αριθμό. 0:00:03.570,0:00:06.740 Έχουμε 3 μεικτούς αριθμούς εδώ: 0:00:06.740,0:00:10.130 3 και 1/2 + 11 και 2/5 + 4 και 3/15. 0:00:10.130,0:00:13.870 Είδαμε λοιπόν προηγουμένως ότι αυτό ισοδυναμεί με... 0:00:13.870,0:00:16.219 3 + 1/2 + 11 + 2/5 + 4 + 3/15... ας το γράψω. 0:00:16.219,0:00:23.180 Είναι το ίδιο με το... 0:00:23.180,0:00:27.330 3 + 1/2 + 11 + 2/5 + 4 + 3/15. 0:00:27.330,0:00:30.170 Ο μεικτός αριθμός 3 και 1/12 στην πραγματικότητα σημαίνει απλώς 0:00:30.170,0:00:32.840 3 + 1/12. 0:00:32.840,0:00:35.930 και εφόσον προσθέτουμε αριθμούς... 0:00:35.930,0:00:37.690 η σειρά δεν έχει σημασία... 0:00:37.690,0:00:39.500 άρα μπορούμε να προσθέσουμε όλους τους ακέραιους μαζί. 0:00:39.500,0:00:46.500 Έχουμε λοιπόν 3 + 11 + 4, και μετά μπορούμε να προσθέσουμε τα κλάσματα... 0:00:46.500,0:00:57.080 το 1/12 + 2/5 + 3/15. 0:00:57.080,0:00:58.650 Τώρα, το μπλε κομμάτι είναι απλό. 0:00:58.650,0:00:59.540 Απλώς προσθέτουμε τους αριθμούς. 0:00:59.540,0:01:05.360 3 + 11 + 14 = 18... 0:01:05.360,0:01:06.740 άρα το κομμάτι αυτό μας κάνει 18. 0:01:06.740,0:01:09.080 Αυτό εδώ όμως είναι λίγο πιο δύσκολο, γιατί ξέρουμε ότι... 0:01:09.080,0:01:12.120 όταν προσθέτουμε κλάσματα, πρέπει να έχουν τον ίδιο παρονομαστή. 0:01:12.120,0:01:14.590 Και τώρα πρέπει να κάνουμε και τα τρία αυτά κλάσματα να έχουν τον ίδιο παρονομαστή... 0:01:14.590,0:01:17.030 κι αυτός ο παρονομαστής πρέπει να είναι... 0:01:17.030,0:01:21.910 το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 12, του 5 και του 15. 0:01:21.910,0:01:24.210 Μπορούμε να το κάνουμε με τη μέθοδο της ωμής βίας. 0:01:24.210,0:01:25.530 Μπορούμε απλά να δούμε τα πολλαπλάσια. 0:01:25.530,0:01:28.310 Μπορούμε να διαλέξουμε ένα από αυτούς τους αριθμούς... 0:01:28.310,0:01:31.020 να δούμε τα πολλαπλάσιά του και μετά να εξετάσουμε αν αυτά τα πολλαπλάσια... 0:01:31.020,0:01:34.080 διαιρούμε τόσο με τους άλλους δύο αριθμούς. 0:01:34.080,0:01:36.330 Ή, ο άλλος τρόπος που μπορούμε να το κάνουμε, 0:01:36.330,0:01:39.590 είναι να πάρουμε την παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών για κάθε αριθμό... 0:01:39.590,0:01:42.670 και να πούμε ότι το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο πρέπει να περιέχει... 0:01:42.670,0:01:45.960 τους πρώτους παράγοντες καθένα απ' αυτούς τους αριθμούς... 0:01:45.960,0:01:47.200 ώστε να χωρά ακριβώς στους αριθμούς αυτούς. 0:01:47.200,0:01:48.910 Ας σας δείξω λοιπόν τι εννοώ μ' αυτό. 0:01:48.910,0:01:54.640 Αν πάρουμε τους πρώτους παράγοντες του 12... 0:01:54.640,0:02:03.020 το 12 είναι 2 x 6... το 6 είναι 2 x 3, άρα το 12 ισούται με 2 x 2 x 3. 0:02:03.020,0:02:05.310 Αυτοί είναι ο πρώτοι παράγοντες του 12. 0:02:05.310,0:02:08.940 Τώρα αν κάνουμε το 5, οι πρώτοι παράγοντες του... 0:02:08.940,0:02:12.900 είναι το 1 και το 5, άρα το 5 είναι ένας πρώτος αριθμός. 0:02:12.900,0:02:14.670 Αυτοί είναι οι πρώτοι παράγοντες του 5. 0:02:14.670,0:02:16.210 Απλώς το 5. 0:02:16.210,0:02:17.660 Αυτό το 1 είναι άχρηστο. 0:02:17.660,0:02:19.880 Άρα το 5 έχει μόνο το 5. 0:02:19.880,0:02:23.340 Και μετά έχουμε το 15, ας κάνουμε το 15. 0:02:23.340,0:02:25.620 Στην πραγματικότητα, όταν βρήκα τους πρώτους παράγοντες του 5... 0:02:25.620,0:02:27.620 θα έπρεπε να πω ότι το 5 είναι πρώτος αριθμός. 0:02:27.620,0:02:30.880 Δεν υπάρχει αριθμός μεγαλύτερος από το 1 που να διαιρείται ακριβώς με το 5... 0:02:30.880,0:02:33.070 άρα δεν έχει νόημα καν να φτιάξουμε ένα δέντρο εδώ. 0:02:33.070,0:02:38.230 Ας κάνουμε τώρα την παραγοντοποίηση πρώτων αριθμών του 15. 0:02:38.230,0:02:43.450 Το 15 είναι 3 x 5 και οι αριθμοί αυτοί είναι και οι δύο πρώτοι. 0:02:43.450,0:02:48.210 Άρα χρειαζόμαστε έναν αριθμό που έχει ως παράγοντες δύο 2άρια και ένα 3άρι, άρα... 0:02:48.210,0:02:49.310 ας κοιτάξουμε το 12 εδώ πέρα. 0:02:49.310,0:02:55.165 Έτσι λοιπόν, ο παρονομαστής μας πρέπει να έχει ως παράγοντες τουλάχιστον δύο 2άρια και ένα 3άρι.... 0:02:55.165,0:02:56.080 ας το γράψουμε λοιπόν. 0:02:56.080,0:02:59.530 Πρέπει λοιπόν να είναι 2 x 2 x 3. 0:02:59.530,0:03:01.390 Πρέπει τουλάχιστον να περιλαμβάνει αυτά. 0:03:01.390,0:03:04.120 Αλλά πρέπει να έχει και ένα 5, σωστά; 0:03:04.120,0:03:06.380 Πρέπει να είναι κοινό πολλαπλάσιο και του 5. 0:03:06.380,0:03:09.050 Το 5 λοιπόν είναι ακόμα ένας πρώτος παράγοντας... 0:03:09.050,0:03:09.900 άρα πρέπει να βάλουμε κι ένα 5 εδώ. 0:03:09.900,0:03:11.670 Δεν είχα ήδη 5, άρα πρέπει να το βάλω. 0:03:11.670,0:03:14.390 Και μετά πρέπει να έχει ένα 3άρι και ένα 5άρι. 0:03:14.390,0:03:16.550 Ήδη έχουμε ένα 5. 0:03:16.550,0:03:20.440 Ήδη έχουμε ένα 3 από το 12 και ήδη έχουμε κι ένα 5 από το 5... 0:03:20.440,0:03:24.090 άρα αυτός ο αριθμός θα διαιρείται ακριβώς και με τους τρεις... 0:03:24.090,0:03:26.350 και μπορούμε να το πούμε αυτό γιατί όπως βλέπετε... 0:03:26.350,0:03:30.570 έχει ένα 12 μέσα του, έχει ένα 5 μέσα του κι έχει και ένα 15 μέσα του. 0:03:30.570,0:03:31.790 Ποιος είναι λοιπόν αυτός ο αριθμός; 0:03:31.790,0:03:33.810 2 x 2 = 4. 0:03:33.810,0:03:36.460 4 x 3 = 12. 0:03:36.460,0:03:38.640 12 x 5 = 60. 0:03:38.640,0:03:43.090 Άρα, το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο του 12, του 5 και του 15 είναι το 60. 0:03:43.090,0:03:45.000 Άρα έχουμε 18 +... 0:03:45.000,0:03:47.490 ο παρονομαστής θα είναι το 60... 0:03:47.490,0:03:51.040 άρα όλα αυτά θα έχουν παρονομαστή το 60. 0:03:51.040,0:03:54.160 Και τα τρία αυτά κλάσματα πρέπει να αποκτήσουν παρονομαστή το 60. 0:03:54.160,0:03:56.850 Για να πάμε λοιπόν από το 12 στο 60 πρέπει να πολλαπλασιάσουμε τον παρονομαστή με το 5... 0:03:56.850,0:04:00.110 άρα πρέπει να πολλαπλασιάσουμε... 0:04:00.110,0:04:02.930 και τον αριθμητή με το 5...5 x 1= 5. 0:04:02.930,0:04:05.900 5/60 είναι το ίδιο με 1/12. 0:04:05.900,0:04:08.200 Για να πάμε από το 5 στο 60 στον παρονομαστή... 0:04:08.200,0:04:10.490 πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 12... 0:04:10.490,0:04:11.580 άρα πρέπει να κάνουμε το ίδιο και στον αριθμητή. 0:04:11.580,0:04:15.150 12 x 2 = 24. 0:04:15.150,0:04:18.740 Το τελευταίο, για να πάμε από το 15 στο 60 πρέπει να πολλαπλασιάσουμε με το 4... 0:04:18.740,0:04:20.339 άρα πρέπει να κάνουμε το ίδιο και στον αριθμητή. 0:04:20.339,0:04:27.120 4 x 3 = 12. 0:04:27.120,0:04:29.020 Και τώρα έχουμε κοινό παρονομαστή. 0:04:29.020,0:04:33.460 Είμαστε έτοιμοι να προσθέσουμε. 0:04:33.460,0:04:34.380 Ας το κάνουμε λοιπόν. 0:04:34.380,0:04:40.970 Αυτό θα είναι λοιπόν 18 + και μετά έχουμε το κλάσμα μας με παρονομαστή το 60... 0:04:40.970,0:04:45.450 και αριθμητή το 5 + 24 + 12. 0:04:45.450,0:04:52.320 5 + 24 = 29, 29 + 12... για να δούμε... 29 +10 μας κάνει 39... 0:04:52.320,0:04:55.420 39 + 2 μας κάνει 41. 0:04:55.420,0:04:57.940 Άρα ο αριθμητής είναι 41. 0:04:57.940,0:05:01.800 Και όσο μπορώ να δω, 0:05:01.800,0:05:04.030 το 41 και το 60 δεν έχουν κοινούς παράγοντες. 0:05:04.030,0:05:06.230 Το 41 μάλιστα μου φαίνεται πρώτος αριθμός. 0:05:06.230,0:05:12.220 Άρα, η τελική απάντηση είναι 18 και 41/60.