WEBVTT 00:00:00.000 --> 00:00:00.820 . 00:00:00.820 --> 00:00:04.570 Jak już zobaczyliśmy w poprzednich filmach, jeśli mamy 00:00:04.570 --> 00:00:07.400 liniowe, jednorodne równanie różniczkowe o stałych współczynnikach 00:00:07.400 --> 00:00:12.570 postaci A razy druga pochodna y, 00:00:12.570 --> 00:00:18.520 dodać B razy pierwsza pochodna y, dodać C 00:00:18.520 --> 00:00:20.750 razy funkcja y (lub inaczej zerowa pochodna y), 00:00:20.750 --> 00:00:22.910 równe 0. 00:00:22.910 --> 00:00:24.240 Wówczas równanie charakterystyczne 00:00:24.240 --> 00:00:33.380 tego równania różniczkowego jest postaci A razy r do kwadratu, 00:00:33.380 --> 00:00:36.910 dodać B razy r dodać C, równa się 0. 00:00:36.910 --> 00:00:38.930 Jeśli wszystkie rozwiązania tego równania 00:00:38.930 --> 00:00:40.550 są rzeczywiste, powiedzmy, że mamy dwa rzeczywiste rozwiązania... 00:00:40.550 --> 00:00:41.540 Zapiszmy to. 00:00:41.540 --> 00:00:46.710 Jedna z możliwości jest taka, że mamy dwa rozwiązania 00:00:46.710 --> 00:00:50.450 rzeczywiste- r1 oraz r2. 00:00:50.450 --> 00:00:53.710 Wówczas znamy rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego. 00:00:53.710 --> 00:00:56.730 Jeśli tego nie pamiętacie lub nie czujecie się z tym oswojeni, 00:00:56.730 --> 00:01:01.100 obejrzyjcie jeszcze raz poprzednie filmy. 00:01:01.100 --> 00:01:05.650 W każdym razie rozwiązaniem ogólnym będzie y równe: 00:01:05.650 --> 00:01:12.570 stała c1 razy e do potęgi r1 razy x, dodać inna stała c2 razy 00:01:12.570 --> 00:01:14.620 e do potęgi r2 razy x. 00:01:14.620 --> 00:01:16.570 Robiliśmy to już w kilku poprzednich filmach, 00:01:16.570 --> 00:01:19.200 rozwiązaliśmy też kilka przykładów. 00:01:19.200 --> 00:01:21.840 Zastanówmy się teraz, co się stanie, jeśli równanie 00:01:21.840 --> 00:01:24.110 charakterystyczne nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych, 00:01:24.110 --> 00:01:25.980 a jedynie zespolone? 00:01:25.980 --> 00:01:27.090 Przypomnijmy sobie szybko, 00:01:27.090 --> 00:01:27.980 co to znaczy. 00:01:27.980 --> 00:01:31.380 Jeśli chcemy znaleźć pierwiastki tego równania, 00:01:31.380 --> 00:01:34.130 ale jesteśmy na tyle leniwi, że chcemy zrobić to nie wymyślając, 00:01:34.130 --> 00:01:36.640 jak rozbić to równanie na iloczyn nawiasów, 00:01:36.640 --> 00:01:38.050 korzystamy z tego, że jest to równanie kwadratowe. 00:01:38.050 --> 00:01:45.140 Wiemy, że pierwiastkami tego równania charakterystycznego są liczby 00:01:45.140 --> 00:01:53.770 -B plus/minus pierwiastek 00:01:53.770 --> 00:01:56.195 z B do kwadratu odjąć 4AC. 00:01:56.195 --> 00:02:00.850 . 00:02:00.850 --> 00:02:05.820 Wszystko to dzielimy przez 2A. 00:02:05.820 --> 00:02:08.090 Co więc mamy na myśli mówiąc o pierwiastkach zespolonych? 00:02:08.090 --> 00:02:11.460 Jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC 00:02:11.460 --> 00:02:14.300 jest liczbą ujemną, 00:02:14.300 --> 00:02:16.340 to będziemy mieli pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. 00:02:16.340 --> 00:02:20.140 Będzie to więc liczba urojona, 00:02:20.140 --> 00:02:22.450 a całe wyrażenie będzie liczbą zespoloną. 00:02:22.450 --> 00:02:24.930 Będziemy mieć część rzeczywistą i część urojoną. 00:02:24.930 --> 00:02:28.270 Te dwa pierwiastki będą oczywiście 00:02:28.270 --> 00:02:29.070 sprzężone ze sobą. 00:02:29.070 --> 00:02:31.260 Możemy to zapisać używając części rzeczywistej i urojonej. 00:02:31.260 --> 00:02:34.350 Pierwiastki równania będą równe 00:02:34.350 --> 00:02:44.490 -B przez 2A, plus/minus pierwiastek 00:02:44.490 --> 00:02:50.360 z B do kwadratu odjąć 4AC, podzielić przez 2A. 00:02:50.360 --> 00:02:53.410 Jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC jest ujemne, 00:02:53.410 --> 00:02:55.670 to będzie liczba urojona. 00:02:55.670 --> 00:02:59.190 Zastanówmy się, jak w naszym przypadku 00:02:59.190 --> 00:03:00.980 będą wyglądały pierwiastki. 00:03:00.980 --> 00:03:03.770 Wróćmy do samego początku. 00:03:03.770 --> 00:03:05.810 Pierwiastkami naszego równania 00:03:05.810 --> 00:03:06.610 nie będą liczby rzeczywiste. 00:03:06.610 --> 00:03:09.670 Pierwiastki możemy natomiast zapisać jako dwie 00:03:09.670 --> 00:03:10.790 sprzężone ze sobą liczby zespolone. 00:03:10.790 --> 00:03:13.610 . 00:03:13.610 --> 00:03:17.870 Tym razem mamy więc 00:03:17.870 --> 00:03:23.710 dwa zespolone pierwiastki, 00:03:23.710 --> 00:03:27.385 które będą postaci: 00:03:27.385 --> 00:03:31.710 pewna liczba rzeczywista lambda, 00:03:31.710 --> 00:03:34.250 Często zamiast lambdy 00:03:34.250 --> 00:03:37.300 używa się litery mi, 00:03:37.300 --> 00:03:42.460 ale to naprawdę nie ma znaczenia. 00:03:42.460 --> 00:03:46.830 A więc lambda, plus/minus 00:03:46.830 --> 00:03:51.830 pewna liczba urojona. 00:03:51.830 --> 00:03:55.640 Nazwijmy ją mi. 00:03:55.640 --> 00:03:57.900 Nie staram się być oryginalny, 00:03:57.900 --> 00:04:01.150 takich oznaczeń używa się w książkach 00:04:01.150 --> 00:04:02.100 o równaniach różniczkowych. 00:04:02.100 --> 00:04:05.390 A więc mi razy i. 00:04:05.390 --> 00:04:07.860 To są pierwiastki zespolone 00:04:07.860 --> 00:04:08.720 naszego równania. 00:04:08.720 --> 00:04:12.440 Są sprzężone, bo raz dodajemy mi razy i, a raz odejmujemy. 00:04:12.440 --> 00:04:17.130 Takie będą te dwa pierwiastki, jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC 00:04:17.130 --> 00:04:18.970 jest ujemne. 00:04:18.970 --> 00:04:23.100 Co się stanie, jeśli te dwa pierwiastki 00:04:23.100 --> 00:04:25.630 wstawimy do rozwiązania ogólnego naszego równania różniczkowego? 00:04:25.630 --> 00:04:29.760 Jak już wiemy, 00:04:29.760 --> 00:04:33.460 rozwiązanie ogólne 00:04:33.460 --> 00:04:39.380 będzie postaci: y równa się stała c1 razy 00:04:39.380 --> 00:04:42.220 e do potęgi 00:04:42.220 --> 00:04:49.770 lambda dodać mi razy i, 00:04:49.770 --> 00:04:58.920 wszystko to mnożymy przez x, dodać stała c2 razy 00:04:58.920 --> 00:05:06.890 e do potęgi lambda odjąć mi razy i, wszystko przemnożone przez x. 00:05:06.890 --> 00:05:09.220 Sprawdźmy, czy uda nam się 00:05:09.220 --> 00:05:12.900 jakoś to uprościć. 00:05:12.900 --> 00:05:14.600 Zobaczmy, 00:05:14.600 --> 00:05:16.460 co możemy zrobić z tym wyrażeniem. 00:05:16.460 --> 00:05:20.080 Pomnóżmy nawiasy w wykładnikach przez x. 00:05:20.080 --> 00:05:21.940 Nic trudnego. 00:05:21.940 --> 00:05:23.780 . 00:05:23.780 --> 00:05:30.730 A więc y jest równe c1 razy 00:05:30.730 --> 00:05:41.450 e do potęgi lambda razy x, dodać mi razy x razy i. Dodajemy teraz 00:05:41.450 --> 00:05:50.230 c2 razy e do potęgi lambda razy x, odjąć mi razy x razy i. 00:05:50.230 --> 00:05:53.960 Po prostu pomnożyliśmy przez x. 00:05:53.960 --> 00:05:55.770 Co dalej? 00:05:55.770 --> 00:06:00.550 Ponieważ mamy dodawanie w wykładniku, to nasze wyrażenie 00:06:00.550 --> 00:06:12.020 jest równe: c1 razy e do potęgi lambda razy x, razy 00:06:12.020 --> 00:06:16.490 e do potęgi mi razy x razy i, zgadzacie się? 00:06:16.490 --> 00:06:18.300 Jeśli mnożymy dwa wyrażenia o tej samej podstawie potęgi, 00:06:18.300 --> 00:06:20.750 możemy po prostu dodać wykładniki. 00:06:20.750 --> 00:06:33.173 Dodać c2 razy e do potęgi lambda razy x, razy e do potęgi minus mi razy x razy i. 00:06:33.173 --> 00:06:36.390 W obu tych wyrażeniach występuje e do potęgi lambda razy x, 00:06:36.390 --> 00:06:38.150 więc możemy je wyłączyć przed nawias. 00:06:38.150 --> 00:06:43.380 Więc nasze wyrażenie 00:06:43.380 --> 00:06:45.280 będzie równe: 00:06:45.280 --> 00:07:00.610 e do potęgi lambda razy x, mnożymy to przez c1 razy e do potęgi mi razy x razy i, 00:07:00.610 --> 00:07:11.430 dodać c2 razy e do potęgi minus mi razy x razy i. 00:07:11.430 --> 00:07:13.540 Co teraz możemy zrobić? 00:07:13.540 --> 00:07:15.240 Tu dopiero zaczyna się zabawa. 00:07:15.240 --> 00:07:18.090 Jeśli oglądaliście filmy o rachunku różniczkowym i całkowym, 00:07:18.090 --> 00:07:22.160 w szczególności te, gdzie omawialiśmy rozwijanie funkcji w szereg, pamiętacie zapewne, że 00:07:22.160 --> 00:07:25.260 doszliśmy do czegoś, co moim zdaniem jest 00:07:25.260 --> 00:07:28.070 najbardziej niesamowitą rzeczą w rachunku różniczkowym i całkowym, a może 00:07:28.070 --> 00:07:30.040 nawet w całej matematyce. 00:07:30.040 --> 00:07:33.180 Mam nadzieję, że docenicie, 00:07:33.180 --> 00:07:35.680 jak przydatne to się zaraz okaże. 00:07:35.680 --> 00:07:41.490 Mamy tu dwa wyrażenia, w których występuje 00:07:41.490 --> 00:07:42.960 coś razy e do potęgi coś razy i. 00:07:42.960 --> 00:07:46.410 Wcześniej poznalilśmy już wzór Eulera. 00:07:46.410 --> 00:07:47.340 Co to takiego? 00:07:47.340 --> 00:07:50.160 Zapiszę to na fioletowo. 00:07:50.160 --> 00:07:58.110 e do potęgi i razy x jest równe 00:07:58.110 --> 00:08:06.070 cosinus x dodać i razy sinus x. 00:08:06.070 --> 00:08:08.610 Niesamowite jest to, że 00:08:08.610 --> 00:08:15.120 jeśli podstawimy pi zamiast x, 00:08:15.120 --> 00:08:20.210 to otrzymamy, że e do potęgi i razy pi jest równe -1. 00:08:20.210 --> 00:08:22.070 To dlatego, że sinus pi jest równy 0. 00:08:22.070 --> 00:08:25.700 To mi się wydaje naprawdę niesamowite. 00:08:25.700 --> 00:08:29.000 Możemy też zapisać, że e do potęgi i razy 2pi równa się 1. 00:08:29.000 --> 00:08:30.660 To też jest fantastyczne. 00:08:30.660 --> 00:08:34.750 W jednym równaniu mamy wszystkie 00:08:34.750 --> 00:08:35.700 najważniejsze liczby w matematyce. 00:08:35.700 --> 00:08:38.059 To naprawdę wspaniałe, ale wróćmy na ziemię 00:08:38.059 --> 00:08:39.080 i zastosujmy ten wzór w praktyce. 00:08:39.080 --> 00:08:43.010 Zobaczmy, czy możemy użyć tego wzoru, aby uprościć nasze wyrażenie. 00:08:43.010 --> 00:08:46.570 Ta definicja jest bardzo ważna 00:08:46.570 --> 00:08:49.680 i sensowna, jeśli na przykład rozwijamy w szereg potęgowy, 00:08:49.680 --> 00:08:51.410 czy szereg Maclaurina 00:08:51.410 --> 00:09:01.150 funkcję e do potęgi i razy x, to rzeczywiście wygląda 00:09:01.150 --> 00:09:05.970 jak rozwinięcie cosinus x dodać i razy rozwinięcie sinus x. 00:09:05.970 --> 00:09:07.470 Jednak nie będziemy się w to teraz zagłębiać. 00:09:07.470 --> 00:09:09.360 Jest to w sześciu czy siedmiu innych filmach. 00:09:09.360 --> 00:09:12.110 Użyjmy tego wzoru, by uprościć nasze wyrażenie. 00:09:12.110 --> 00:09:22.640 Zapiszmy je jako: y równa się e do potęgi lambda razy x, 00:09:22.640 --> 00:09:25.990 mnożone przez c1 razy... 00:09:25.990 --> 00:09:31.285 Mamy tu mi razy x razy i, więc do wzoru zamiast x 00:09:31.285 --> 00:09:32.130 wstawiamy mi razy x. 00:09:32.130 --> 00:09:37.890 piszemy, że jest to równe 00:09:37.890 --> 00:09:48.760 cosinus mi razy x, dodać i razy sinus mi razy x. 00:09:48.760 --> 00:09:55.710 Dodajemy c2 razy 00:09:55.710 --> 00:10:12.355 cosinus minus mi razy x, dodać i razy sinus minus mi razy x. 00:10:12.355 --> 00:10:15.380 Sprawdźmy, czy możemy to bardziej uprościć. 00:10:15.380 --> 00:10:19.140 Wymnóżmy nawiasy przez stałe c1 i c2. 00:10:19.140 --> 00:10:22.860 Chociaż niestety 00:10:22.860 --> 00:10:24.430 kończy nam się czas. Dokończymy 00:10:24.430 --> 00:10:25.200 to w następnym filmie. 00:10:25.200 --> 00:10:26.760 Do zobaczenia wkrótce! 00:10:26.760 --> 00:10:26.900 .