[Script Info]
Title: 
[Events]
Format: Layer, Start, End, Style, Name, MarginL, MarginR, MarginV, Effect, Text
Dialogue: 0,0:00:00.00,0:00:00.82,Default,,0000,0000,0000,,.
Dialogue: 0,0:00:00.82,0:00:04.57,Default,,0000,0000,0000,,Jak już zobaczyliśmy w poprzednich filmach, jeśli mamy
Dialogue: 0,0:00:04.57,0:00:07.40,Default,,0000,0000,0000,,liniowe, jednorodne równanie różniczkowe o stałych współczynnikach
Dialogue: 0,0:00:07.40,0:00:12.57,Default,,0000,0000,0000,,postaci A razy druga pochodna y,
Dialogue: 0,0:00:12.57,0:00:18.52,Default,,0000,0000,0000,,dodać B razy pierwsza pochodna y, dodać C
Dialogue: 0,0:00:18.52,0:00:20.75,Default,,0000,0000,0000,,razy funkcja y (lub inaczej zerowa pochodna y),
Dialogue: 0,0:00:20.75,0:00:22.91,Default,,0000,0000,0000,,równe 0.
Dialogue: 0,0:00:22.91,0:00:24.24,Default,,0000,0000,0000,,Wówczas równanie charakterystyczne
Dialogue: 0,0:00:24.24,0:00:33.38,Default,,0000,0000,0000,,tego równania różniczkowego jest postaci A razy r do kwadratu,
Dialogue: 0,0:00:33.38,0:00:36.91,Default,,0000,0000,0000,,dodać B razy r dodać C, równa się 0.
Dialogue: 0,0:00:36.91,0:00:38.93,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli wszystkie rozwiązania tego równania
Dialogue: 0,0:00:38.93,0:00:40.55,Default,,0000,0000,0000,,są rzeczywiste, powiedzmy, że mamy dwa rzeczywiste rozwiązania...
Dialogue: 0,0:00:40.55,0:00:41.54,Default,,0000,0000,0000,,Zapiszmy to.
Dialogue: 0,0:00:41.54,0:00:46.71,Default,,0000,0000,0000,,Jedna z możliwości jest taka, że mamy dwa rozwiązania
Dialogue: 0,0:00:46.71,0:00:50.45,Default,,0000,0000,0000,,rzeczywiste- r1 oraz r2.
Dialogue: 0,0:00:50.45,0:00:53.71,Default,,0000,0000,0000,,Wówczas znamy rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego.
Dialogue: 0,0:00:53.71,0:00:56.73,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli tego nie pamiętacie lub nie czujecie się z tym oswojeni,
Dialogue: 0,0:00:56.73,0:01:01.10,Default,,0000,0000,0000,,obejrzyjcie jeszcze raz poprzednie filmy.
Dialogue: 0,0:01:01.10,0:01:05.65,Default,,0000,0000,0000,,W każdym razie rozwiązaniem ogólnym będzie y równe:
Dialogue: 0,0:01:05.65,0:01:12.57,Default,,0000,0000,0000,,stała c1 razy e do potęgi r1 razy x, dodać inna stała c2 razy
Dialogue: 0,0:01:12.57,0:01:14.62,Default,,0000,0000,0000,,e do potęgi r2 razy x.
Dialogue: 0,0:01:14.62,0:01:16.57,Default,,0000,0000,0000,,Robiliśmy to już w kilku poprzednich filmach,
Dialogue: 0,0:01:16.57,0:01:19.20,Default,,0000,0000,0000,,rozwiązaliśmy też kilka przykładów.
Dialogue: 0,0:01:19.20,0:01:21.84,Default,,0000,0000,0000,,Zastanówmy się teraz, co się stanie, jeśli równanie
Dialogue: 0,0:01:21.84,0:01:24.11,Default,,0000,0000,0000,,charakterystyczne nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych,
Dialogue: 0,0:01:24.11,0:01:25.98,Default,,0000,0000,0000,,a jedynie zespolone?
Dialogue: 0,0:01:25.98,0:01:27.09,Default,,0000,0000,0000,,Przypomnijmy sobie szybko,
Dialogue: 0,0:01:27.09,0:01:27.98,Default,,0000,0000,0000,,co to znaczy.
Dialogue: 0,0:01:27.98,0:01:31.38,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli chcemy znaleźć pierwiastki tego równania,
Dialogue: 0,0:01:31.38,0:01:34.13,Default,,0000,0000,0000,,ale jesteśmy na tyle leniwi, że chcemy zrobić to nie wymyślając,
Dialogue: 0,0:01:34.13,0:01:36.64,Default,,0000,0000,0000,,jak rozbić to równanie na iloczyn nawiasów,
Dialogue: 0,0:01:36.64,0:01:38.05,Default,,0000,0000,0000,,korzystamy z tego, że jest to równanie kwadratowe.
Dialogue: 0,0:01:38.05,0:01:45.14,Default,,0000,0000,0000,,Wiemy, że pierwiastkami tego równania charakterystycznego są liczby
Dialogue: 0,0:01:45.14,0:01:53.77,Default,,0000,0000,0000,,-B plus/minus pierwiastek
Dialogue: 0,0:01:53.77,0:01:56.20,Default,,0000,0000,0000,,z B do kwadratu odjąć 4AC.
Dialogue: 0,0:01:56.20,0:02:00.85,Default,,0000,0000,0000,,.
Dialogue: 0,0:02:00.85,0:02:05.82,Default,,0000,0000,0000,,Wszystko to dzielimy przez 2A.
Dialogue: 0,0:02:05.82,0:02:08.09,Default,,0000,0000,0000,,Co więc mamy na myśli mówiąc o pierwiastkach zespolonych?
Dialogue: 0,0:02:08.09,0:02:11.46,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC
Dialogue: 0,0:02:11.46,0:02:14.30,Default,,0000,0000,0000,,jest liczbą ujemną,
Dialogue: 0,0:02:14.30,0:02:16.34,Default,,0000,0000,0000,,to będziemy mieli pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej.
Dialogue: 0,0:02:16.34,0:02:20.14,Default,,0000,0000,0000,,Będzie to więc liczba urojona,
Dialogue: 0,0:02:20.14,0:02:22.45,Default,,0000,0000,0000,,a całe wyrażenie będzie liczbą zespoloną.
Dialogue: 0,0:02:22.45,0:02:24.93,Default,,0000,0000,0000,,Będziemy mieć część rzeczywistą i część urojoną.
Dialogue: 0,0:02:24.93,0:02:28.27,Default,,0000,0000,0000,,Te dwa pierwiastki będą oczywiście
Dialogue: 0,0:02:28.27,0:02:29.07,Default,,0000,0000,0000,,sprzężone ze sobą.
Dialogue: 0,0:02:29.07,0:02:31.26,Default,,0000,0000,0000,,Możemy to zapisać używając części rzeczywistej i urojonej.
Dialogue: 0,0:02:31.26,0:02:34.35,Default,,0000,0000,0000,,Pierwiastki równania będą równe
Dialogue: 0,0:02:34.35,0:02:44.49,Default,,0000,0000,0000,,-B przez 2A, plus/minus pierwiastek
Dialogue: 0,0:02:44.49,0:02:50.36,Default,,0000,0000,0000,,z B do kwadratu odjąć 4AC, podzielić przez 2A.
Dialogue: 0,0:02:50.36,0:02:53.41,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC jest ujemne,
Dialogue: 0,0:02:53.41,0:02:55.67,Default,,0000,0000,0000,,to będzie liczba urojona.
Dialogue: 0,0:02:55.67,0:02:59.19,Default,,0000,0000,0000,,Zastanówmy się, jak w naszym przypadku
Dialogue: 0,0:02:59.19,0:03:00.98,Default,,0000,0000,0000,,będą wyglądały pierwiastki.
Dialogue: 0,0:03:00.98,0:03:03.77,Default,,0000,0000,0000,,Wróćmy do samego początku.
Dialogue: 0,0:03:03.77,0:03:05.81,Default,,0000,0000,0000,,Pierwiastkami naszego równania
Dialogue: 0,0:03:05.81,0:03:06.61,Default,,0000,0000,0000,,nie będą liczby rzeczywiste.
Dialogue: 0,0:03:06.61,0:03:09.67,Default,,0000,0000,0000,,Pierwiastki możemy natomiast zapisać jako dwie
Dialogue: 0,0:03:09.67,0:03:10.79,Default,,0000,0000,0000,,sprzężone ze sobą liczby zespolone.
Dialogue: 0,0:03:10.79,0:03:13.61,Default,,0000,0000,0000,,.
Dialogue: 0,0:03:13.61,0:03:17.87,Default,,0000,0000,0000,,Tym razem mamy więc
Dialogue: 0,0:03:17.87,0:03:23.71,Default,,0000,0000,0000,,dwa zespolone pierwiastki,
Dialogue: 0,0:03:23.71,0:03:27.38,Default,,0000,0000,0000,,które będą postaci:
Dialogue: 0,0:03:27.38,0:03:31.71,Default,,0000,0000,0000,,pewna liczba rzeczywista lambda,
Dialogue: 0,0:03:31.71,0:03:34.25,Default,,0000,0000,0000,,Często zamiast lambdy
Dialogue: 0,0:03:34.25,0:03:37.30,Default,,0000,0000,0000,,używa się litery mi,
Dialogue: 0,0:03:37.30,0:03:42.46,Default,,0000,0000,0000,,ale to naprawdę nie ma znaczenia.
Dialogue: 0,0:03:42.46,0:03:46.83,Default,,0000,0000,0000,,A więc lambda, plus/minus
Dialogue: 0,0:03:46.83,0:03:51.83,Default,,0000,0000,0000,,pewna liczba urojona.
Dialogue: 0,0:03:51.83,0:03:55.64,Default,,0000,0000,0000,,Nazwijmy ją mi.
Dialogue: 0,0:03:55.64,0:03:57.90,Default,,0000,0000,0000,,Nie staram się być oryginalny,
Dialogue: 0,0:03:57.90,0:04:01.15,Default,,0000,0000,0000,,takich oznaczeń używa się w książkach
Dialogue: 0,0:04:01.15,0:04:02.10,Default,,0000,0000,0000,,o równaniach różniczkowych.
Dialogue: 0,0:04:02.10,0:04:05.39,Default,,0000,0000,0000,,A więc mi razy i.
Dialogue: 0,0:04:05.39,0:04:07.86,Default,,0000,0000,0000,,To są pierwiastki zespolone
Dialogue: 0,0:04:07.86,0:04:08.72,Default,,0000,0000,0000,,naszego równania.
Dialogue: 0,0:04:08.72,0:04:12.44,Default,,0000,0000,0000,,Są sprzężone, bo raz dodajemy mi razy i, a raz odejmujemy.
Dialogue: 0,0:04:12.44,0:04:17.13,Default,,0000,0000,0000,,Takie będą te dwa pierwiastki, jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC
Dialogue: 0,0:04:17.13,0:04:18.97,Default,,0000,0000,0000,,jest ujemne.
Dialogue: 0,0:04:18.97,0:04:23.10,Default,,0000,0000,0000,,Co się stanie, jeśli te dwa pierwiastki
Dialogue: 0,0:04:23.10,0:04:25.63,Default,,0000,0000,0000,,wstawimy do rozwiązania ogólnego naszego równania różniczkowego?
Dialogue: 0,0:04:25.63,0:04:29.76,Default,,0000,0000,0000,,Jak już wiemy,
Dialogue: 0,0:04:29.76,0:04:33.46,Default,,0000,0000,0000,,rozwiązanie ogólne
Dialogue: 0,0:04:33.46,0:04:39.38,Default,,0000,0000,0000,,będzie postaci: y równa się stała c1 razy
Dialogue: 0,0:04:39.38,0:04:42.22,Default,,0000,0000,0000,,e do potęgi
Dialogue: 0,0:04:42.22,0:04:49.77,Default,,0000,0000,0000,,lambda dodać mi razy i,
Dialogue: 0,0:04:49.77,0:04:58.92,Default,,0000,0000,0000,,wszystko to mnożymy przez x, dodać stała c2 razy
Dialogue: 0,0:04:58.92,0:05:06.89,Default,,0000,0000,0000,,e do potęgi lambda odjąć mi razy i, wszystko przemnożone przez x.
Dialogue: 0,0:05:06.89,0:05:09.22,Default,,0000,0000,0000,,Sprawdźmy, czy uda nam się
Dialogue: 0,0:05:09.22,0:05:12.90,Default,,0000,0000,0000,,jakoś to uprościć.
Dialogue: 0,0:05:12.90,0:05:14.60,Default,,0000,0000,0000,,Zobaczmy,
Dialogue: 0,0:05:14.60,0:05:16.46,Default,,0000,0000,0000,,co możemy zrobić z tym wyrażeniem.
Dialogue: 0,0:05:16.46,0:05:20.08,Default,,0000,0000,0000,,Pomnóżmy nawiasy w wykładnikach przez x.
Dialogue: 0,0:05:20.08,0:05:21.94,Default,,0000,0000,0000,,Nic trudnego.
Dialogue: 0,0:05:21.94,0:05:23.78,Default,,0000,0000,0000,,.
Dialogue: 0,0:05:23.78,0:05:30.73,Default,,0000,0000,0000,,A więc y jest równe c1 razy
Dialogue: 0,0:05:30.73,0:05:41.45,Default,,0000,0000,0000,,e do potęgi lambda razy x, dodać mi razy x razy i. Dodajemy teraz
Dialogue: 0,0:05:41.45,0:05:50.23,Default,,0000,0000,0000,,c2 razy e do potęgi lambda razy x, odjąć mi razy x razy i.
Dialogue: 0,0:05:50.23,0:05:53.96,Default,,0000,0000,0000,,Po prostu pomnożyliśmy przez x.
Dialogue: 0,0:05:53.96,0:05:55.77,Default,,0000,0000,0000,,Co dalej?
Dialogue: 0,0:05:55.77,0:06:00.55,Default,,0000,0000,0000,,Ponieważ mamy dodawanie w wykładniku, to nasze wyrażenie
Dialogue: 0,0:06:00.55,0:06:12.02,Default,,0000,0000,0000,,jest równe: c1 razy e do potęgi lambda razy x, razy
Dialogue: 0,0:06:12.02,0:06:16.49,Default,,0000,0000,0000,,e do potęgi mi razy x razy i, zgadzacie się?
Dialogue: 0,0:06:16.49,0:06:18.30,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli mnożymy dwa wyrażenia o tej samej podstawie potęgi,
Dialogue: 0,0:06:18.30,0:06:20.75,Default,,0000,0000,0000,,możemy po prostu dodać wykładniki.
Dialogue: 0,0:06:20.75,0:06:33.17,Default,,0000,0000,0000,,Dodać c2 razy e do potęgi lambda razy x, razy e do potęgi minus mi razy x razy i.
Dialogue: 0,0:06:33.17,0:06:36.39,Default,,0000,0000,0000,,W obu tych wyrażeniach występuje e do potęgi lambda razy x,
Dialogue: 0,0:06:36.39,0:06:38.15,Default,,0000,0000,0000,,więc możemy je wyłączyć przed nawias.
Dialogue: 0,0:06:38.15,0:06:43.38,Default,,0000,0000,0000,,Więc nasze wyrażenie
Dialogue: 0,0:06:43.38,0:06:45.28,Default,,0000,0000,0000,,będzie równe:
Dialogue: 0,0:06:45.28,0:07:00.61,Default,,0000,0000,0000,,e do potęgi lambda razy x, mnożymy to przez c1 razy e do potęgi mi razy x razy i,
Dialogue: 0,0:07:00.61,0:07:11.43,Default,,0000,0000,0000,,dodać c2 razy e do potęgi minus mi razy x razy i.
Dialogue: 0,0:07:11.43,0:07:13.54,Default,,0000,0000,0000,,Co teraz możemy zrobić?
Dialogue: 0,0:07:13.54,0:07:15.24,Default,,0000,0000,0000,,Tu dopiero zaczyna się zabawa.
Dialogue: 0,0:07:15.24,0:07:18.09,Default,,0000,0000,0000,,Jeśli oglądaliście filmy o rachunku różniczkowym i całkowym,
Dialogue: 0,0:07:18.09,0:07:22.16,Default,,0000,0000,0000,,w szczególności te, gdzie omawialiśmy rozwijanie funkcji w szereg, pamiętacie zapewne, że
Dialogue: 0,0:07:22.16,0:07:25.26,Default,,0000,0000,0000,,doszliśmy do czegoś, co moim zdaniem jest
Dialogue: 0,0:07:25.26,0:07:28.07,Default,,0000,0000,0000,,najbardziej niesamowitą rzeczą w rachunku różniczkowym i całkowym, a może
Dialogue: 0,0:07:28.07,0:07:30.04,Default,,0000,0000,0000,,nawet w całej matematyce.
Dialogue: 0,0:07:30.04,0:07:33.18,Default,,0000,0000,0000,,Mam nadzieję, że docenicie,
Dialogue: 0,0:07:33.18,0:07:35.68,Default,,0000,0000,0000,,jak przydatne to się zaraz okaże.
Dialogue: 0,0:07:35.68,0:07:41.49,Default,,0000,0000,0000,,Mamy tu dwa wyrażenia, w których występuje
Dialogue: 0,0:07:41.49,0:07:42.96,Default,,0000,0000,0000,,coś razy e do potęgi coś razy i.
Dialogue: 0,0:07:42.96,0:07:46.41,Default,,0000,0000,0000,,Wcześniej poznalilśmy już wzór Eulera.
Dialogue: 0,0:07:46.41,0:07:47.34,Default,,0000,0000,0000,,Co to takiego?
Dialogue: 0,0:07:47.34,0:07:50.16,Default,,0000,0000,0000,,Zapiszę to na fioletowo.
Dialogue: 0,0:07:50.16,0:07:58.11,Default,,0000,0000,0000,,e do potęgi i razy x jest równe
Dialogue: 0,0:07:58.11,0:08:06.07,Default,,0000,0000,0000,,cosinus x dodać i razy sinus x.
Dialogue: 0,0:08:06.07,0:08:08.61,Default,,0000,0000,0000,,Niesamowite jest to, że
Dialogue: 0,0:08:08.61,0:08:15.12,Default,,0000,0000,0000,,jeśli podstawimy pi zamiast x,
Dialogue: 0,0:08:15.12,0:08:20.21,Default,,0000,0000,0000,,to otrzymamy, że e do potęgi i razy pi jest równe -1.
Dialogue: 0,0:08:20.21,0:08:22.07,Default,,0000,0000,0000,,To dlatego, że sinus pi jest równy 0.
Dialogue: 0,0:08:22.07,0:08:25.70,Default,,0000,0000,0000,,To mi się wydaje naprawdę niesamowite.
Dialogue: 0,0:08:25.70,0:08:29.00,Default,,0000,0000,0000,,Możemy też zapisać, że e do potęgi i razy 2pi równa się 1.
Dialogue: 0,0:08:29.00,0:08:30.66,Default,,0000,0000,0000,,To też jest fantastyczne.
Dialogue: 0,0:08:30.66,0:08:34.75,Default,,0000,0000,0000,,W jednym równaniu mamy wszystkie
Dialogue: 0,0:08:34.75,0:08:35.70,Default,,0000,0000,0000,,najważniejsze liczby w matematyce.
Dialogue: 0,0:08:35.70,0:08:38.06,Default,,0000,0000,0000,,To naprawdę wspaniałe, ale wróćmy na ziemię
Dialogue: 0,0:08:38.06,0:08:39.08,Default,,0000,0000,0000,,i zastosujmy ten wzór w praktyce.
Dialogue: 0,0:08:39.08,0:08:43.01,Default,,0000,0000,0000,,Zobaczmy, czy możemy użyć tego wzoru, aby uprościć nasze wyrażenie.
Dialogue: 0,0:08:43.01,0:08:46.57,Default,,0000,0000,0000,,Ta definicja jest bardzo ważna
Dialogue: 0,0:08:46.57,0:08:49.68,Default,,0000,0000,0000,,i sensowna, jeśli na przykład rozwijamy w szereg potęgowy,
Dialogue: 0,0:08:49.68,0:08:51.41,Default,,0000,0000,0000,,czy szereg Maclaurina
Dialogue: 0,0:08:51.41,0:09:01.15,Default,,0000,0000,0000,,funkcję e do potęgi i razy x, to rzeczywiście wygląda
Dialogue: 0,0:09:01.15,0:09:05.97,Default,,0000,0000,0000,,jak rozwinięcie cosinus x dodać i razy rozwinięcie sinus x.
Dialogue: 0,0:09:05.97,0:09:07.47,Default,,0000,0000,0000,,Jednak nie będziemy się w to teraz zagłębiać.
Dialogue: 0,0:09:07.47,0:09:09.36,Default,,0000,0000,0000,,Jest to w sześciu czy siedmiu innych filmach.
Dialogue: 0,0:09:09.36,0:09:12.11,Default,,0000,0000,0000,,Użyjmy tego wzoru, by uprościć nasze wyrażenie.
Dialogue: 0,0:09:12.11,0:09:22.64,Default,,0000,0000,0000,,Zapiszmy je jako: y równa się e do potęgi lambda razy x,
Dialogue: 0,0:09:22.64,0:09:25.99,Default,,0000,0000,0000,,mnożone przez c1 razy...
Dialogue: 0,0:09:25.99,0:09:31.28,Default,,0000,0000,0000,,Mamy tu mi razy x razy i, więc do wzoru zamiast x
Dialogue: 0,0:09:31.28,0:09:32.13,Default,,0000,0000,0000,,wstawiamy mi razy x.
Dialogue: 0,0:09:32.13,0:09:37.89,Default,,0000,0000,0000,,piszemy, że jest to równe
Dialogue: 0,0:09:37.89,0:09:48.76,Default,,0000,0000,0000,,cosinus mi razy x, dodać i razy sinus mi razy x.
Dialogue: 0,0:09:48.76,0:09:55.71,Default,,0000,0000,0000,,Dodajemy c2 razy
Dialogue: 0,0:09:55.71,0:10:12.36,Default,,0000,0000,0000,,cosinus minus mi razy x, dodać i razy sinus minus mi razy x.
Dialogue: 0,0:10:12.36,0:10:15.38,Default,,0000,0000,0000,,Sprawdźmy, czy możemy to bardziej uprościć.
Dialogue: 0,0:10:15.38,0:10:19.14,Default,,0000,0000,0000,,Wymnóżmy nawiasy przez stałe c1 i c2.
Dialogue: 0,0:10:19.14,0:10:22.86,Default,,0000,0000,0000,,Chociaż niestety
Dialogue: 0,0:10:22.86,0:10:24.43,Default,,0000,0000,0000,,kończy nam się czas. Dokończymy
Dialogue: 0,0:10:24.43,0:10:25.20,Default,,0000,0000,0000,,to w następnym filmie.
Dialogue: 0,0:10:25.20,0:10:26.76,Default,,0000,0000,0000,,Do zobaczenia wkrótce!
Dialogue: 0,0:10:26.76,0:10:26.90,Default,,0000,0000,0000,,.