1 00:00:00,000 --> 00:00:00,820 . 2 00:00:00,820 --> 00:00:04,570 Jak już zobaczyliśmy w poprzednich filmach, jeśli mamy 3 00:00:04,570 --> 00:00:07,400 liniowe, jednorodne równanie różniczkowe o stałych współczynnikach 4 00:00:07,400 --> 00:00:12,570 postaci A razy druga pochodna y, 5 00:00:12,570 --> 00:00:18,520 dodać B razy pierwsza pochodna y, dodać C 6 00:00:18,520 --> 00:00:20,750 razy funkcja y (lub inaczej zerowa pochodna y), 7 00:00:20,750 --> 00:00:22,910 równe 0. 8 00:00:22,910 --> 00:00:24,240 Wówczas równanie charakterystyczne 9 00:00:24,240 --> 00:00:33,380 tego równania różniczkowego jest postaci A razy r do kwadratu, 10 00:00:33,380 --> 00:00:36,910 dodać B razy r dodać C, równa się 0. 11 00:00:36,910 --> 00:00:38,930 Jeśli wszystkie rozwiązania tego równania 12 00:00:38,930 --> 00:00:40,550 są rzeczywiste, powiedzmy, że mamy dwa rzeczywiste rozwiązania... 13 00:00:40,550 --> 00:00:41,540 Zapiszmy to. 14 00:00:41,540 --> 00:00:46,710 Jedna z możliwości jest taka, że mamy dwa rozwiązania 15 00:00:46,710 --> 00:00:50,450 rzeczywiste- r1 oraz r2. 16 00:00:50,450 --> 00:00:53,710 Wówczas znamy rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego. 17 00:00:53,710 --> 00:00:56,730 Jeśli tego nie pamiętacie lub nie czujecie się z tym oswojeni, 18 00:00:56,730 --> 00:01:01,100 obejrzyjcie jeszcze raz poprzednie filmy. 19 00:01:01,100 --> 00:01:05,650 W każdym razie rozwiązaniem ogólnym będzie y równe: 20 00:01:05,650 --> 00:01:12,570 stała c1 razy e do potęgi r1 razy x, dodać inna stała c2 razy 21 00:01:12,570 --> 00:01:14,620 e do potęgi r2 razy x. 22 00:01:14,620 --> 00:01:16,570 Robiliśmy to już w kilku poprzednich filmach, 23 00:01:16,570 --> 00:01:19,200 rozwiązaliśmy też kilka przykładów. 24 00:01:19,200 --> 00:01:21,840 Zastanówmy się teraz, co się stanie, jeśli równanie 25 00:01:21,840 --> 00:01:24,110 charakterystyczne nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych, 26 00:01:24,110 --> 00:01:25,980 a jedynie zespolone? 27 00:01:25,980 --> 00:01:27,090 Przypomnijmy sobie szybko, 28 00:01:27,090 --> 00:01:27,980 co to znaczy. 29 00:01:27,980 --> 00:01:31,380 Jeśli chcemy znaleźć pierwiastki tego równania, 30 00:01:31,380 --> 00:01:34,130 ale jesteśmy na tyle leniwi, że chcemy zrobić to nie wymyślając, 31 00:01:34,130 --> 00:01:36,640 jak rozbić to równanie na iloczyn nawiasów, 32 00:01:36,640 --> 00:01:38,050 korzystamy z tego, że jest to równanie kwadratowe. 33 00:01:38,050 --> 00:01:45,140 Wiemy, że pierwiastkami tego równania charakterystycznego są liczby 34 00:01:45,140 --> 00:01:53,770 -B plus/minus pierwiastek 35 00:01:53,770 --> 00:01:56,195 z B do kwadratu odjąć 4AC. 36 00:01:56,195 --> 00:02:00,850 . 37 00:02:00,850 --> 00:02:05,820 Wszystko to dzielimy przez 2A. 38 00:02:05,820 --> 00:02:08,090 Co więc mamy na myśli mówiąc o pierwiastkach zespolonych? 39 00:02:08,090 --> 00:02:11,460 Jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC 40 00:02:11,460 --> 00:02:14,300 jest liczbą ujemną, 41 00:02:14,300 --> 00:02:16,340 to będziemy mieli pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej. 42 00:02:16,340 --> 00:02:20,140 Będzie to więc liczba urojona, 43 00:02:20,140 --> 00:02:22,450 a całe wyrażenie będzie liczbą zespoloną. 44 00:02:22,450 --> 00:02:24,930 Będziemy mieć część rzeczywistą i część urojoną. 45 00:02:24,930 --> 00:02:28,270 Te dwa pierwiastki będą oczywiście 46 00:02:28,270 --> 00:02:29,070 sprzężone ze sobą. 47 00:02:29,070 --> 00:02:31,260 Możemy to zapisać używając części rzeczywistej i urojonej. 48 00:02:31,260 --> 00:02:34,350 Pierwiastki równania będą równe 49 00:02:34,350 --> 00:02:44,490 -B przez 2A, plus/minus pierwiastek 50 00:02:44,490 --> 00:02:50,360 z B do kwadratu odjąć 4AC, podzielić przez 2A. 51 00:02:50,360 --> 00:02:53,410 Jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC jest ujemne, 52 00:02:53,410 --> 00:02:55,670 to będzie liczba urojona. 53 00:02:55,670 --> 00:02:59,190 Zastanówmy się, jak w naszym przypadku 54 00:02:59,190 --> 00:03:00,980 będą wyglądały pierwiastki. 55 00:03:00,980 --> 00:03:03,770 Wróćmy do samego początku. 56 00:03:03,770 --> 00:03:05,810 Pierwiastkami naszego równania 57 00:03:05,810 --> 00:03:06,610 nie będą liczby rzeczywiste. 58 00:03:06,610 --> 00:03:09,670 Pierwiastki możemy natomiast zapisać jako dwie 59 00:03:09,670 --> 00:03:10,790 sprzężone ze sobą liczby zespolone. 60 00:03:10,790 --> 00:03:13,610 . 61 00:03:13,610 --> 00:03:17,870 Tym razem mamy więc 62 00:03:17,870 --> 00:03:23,710 dwa zespolone pierwiastki, 63 00:03:23,710 --> 00:03:27,385 które będą postaci: 64 00:03:27,385 --> 00:03:31,710 pewna liczba rzeczywista lambda, 65 00:03:31,710 --> 00:03:34,250 Często zamiast lambdy 66 00:03:34,250 --> 00:03:37,300 używa się litery mi, 67 00:03:37,300 --> 00:03:42,460 ale to naprawdę nie ma znaczenia. 68 00:03:42,460 --> 00:03:46,830 A więc lambda, plus/minus 69 00:03:46,830 --> 00:03:51,830 pewna liczba urojona. 70 00:03:51,830 --> 00:03:55,640 Nazwijmy ją mi. 71 00:03:55,640 --> 00:03:57,900 Nie staram się być oryginalny, 72 00:03:57,900 --> 00:04:01,150 takich oznaczeń używa się w książkach 73 00:04:01,150 --> 00:04:02,100 o równaniach różniczkowych. 74 00:04:02,100 --> 00:04:05,390 A więc mi razy i. 75 00:04:05,390 --> 00:04:07,860 To są pierwiastki zespolone 76 00:04:07,860 --> 00:04:08,720 naszego równania. 77 00:04:08,720 --> 00:04:12,440 Są sprzężone, bo raz dodajemy mi razy i, a raz odejmujemy. 78 00:04:12,440 --> 00:04:17,130 Takie będą te dwa pierwiastki, jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC 79 00:04:17,130 --> 00:04:18,970 jest ujemne. 80 00:04:18,970 --> 00:04:23,100 Co się stanie, jeśli te dwa pierwiastki 81 00:04:23,100 --> 00:04:25,630 wstawimy do rozwiązania ogólnego naszego równania różniczkowego? 82 00:04:25,630 --> 00:04:29,760 Jak już wiemy, 83 00:04:29,760 --> 00:04:33,460 rozwiązanie ogólne 84 00:04:33,460 --> 00:04:39,380 będzie postaci: y równa się stała c1 razy 85 00:04:39,380 --> 00:04:42,220 e do potęgi 86 00:04:42,220 --> 00:04:49,770 lambda dodać mi razy i, 87 00:04:49,770 --> 00:04:58,920 wszystko to mnożymy przez x, dodać stała c2 razy 88 00:04:58,920 --> 00:05:06,890 e do potęgi lambda odjąć mi razy i, wszystko przemnożone przez x. 89 00:05:06,890 --> 00:05:09,220 Sprawdźmy, czy uda nam się 90 00:05:09,220 --> 00:05:12,900 jakoś to uprościć. 91 00:05:12,900 --> 00:05:14,600 Zobaczmy, 92 00:05:14,600 --> 00:05:16,460 co możemy zrobić z tym wyrażeniem. 93 00:05:16,460 --> 00:05:20,080 Pomnóżmy nawiasy w wykładnikach przez x. 94 00:05:20,080 --> 00:05:21,940 Nic trudnego. 95 00:05:21,940 --> 00:05:23,780 . 96 00:05:23,780 --> 00:05:30,730 A więc y jest równe c1 razy 97 00:05:30,730 --> 00:05:41,450 e do potęgi lambda razy x, dodać mi razy x razy i. Dodajemy teraz 98 00:05:41,450 --> 00:05:50,230 c2 razy e do potęgi lambda razy x, odjąć mi razy x razy i. 99 00:05:50,230 --> 00:05:53,960 Po prostu pomnożyliśmy przez x. 100 00:05:53,960 --> 00:05:55,770 Co dalej? 101 00:05:55,770 --> 00:06:00,550 Ponieważ mamy dodawanie w wykładniku, to nasze wyrażenie 102 00:06:00,550 --> 00:06:12,020 jest równe: c1 razy e do potęgi lambda razy x, razy 103 00:06:12,020 --> 00:06:16,490 e do potęgi mi razy x razy i, zgadzacie się? 104 00:06:16,490 --> 00:06:18,300 Jeśli mnożymy dwa wyrażenia o tej samej podstawie potęgi, 105 00:06:18,300 --> 00:06:20,750 możemy po prostu dodać wykładniki. 106 00:06:20,750 --> 00:06:33,173 Dodać c2 razy e do potęgi lambda razy x, razy e do potęgi minus mi razy x razy i. 107 00:06:33,173 --> 00:06:36,390 W obu tych wyrażeniach występuje e do potęgi lambda razy x, 108 00:06:36,390 --> 00:06:38,150 więc możemy je wyłączyć przed nawias. 109 00:06:38,150 --> 00:06:43,380 Więc nasze wyrażenie 110 00:06:43,380 --> 00:06:45,280 będzie równe: 111 00:06:45,280 --> 00:07:00,610 e do potęgi lambda razy x, mnożymy to przez c1 razy e do potęgi mi razy x razy i, 112 00:07:00,610 --> 00:07:11,430 dodać c2 razy e do potęgi minus mi razy x razy i. 113 00:07:11,430 --> 00:07:13,540 Co teraz możemy zrobić? 114 00:07:13,540 --> 00:07:15,240 Tu dopiero zaczyna się zabawa. 115 00:07:15,240 --> 00:07:18,090 Jeśli oglądaliście filmy o rachunku różniczkowym i całkowym, 116 00:07:18,090 --> 00:07:22,160 w szczególności te, gdzie omawialiśmy rozwijanie funkcji w szereg, pamiętacie zapewne, że 117 00:07:22,160 --> 00:07:25,260 doszliśmy do czegoś, co moim zdaniem jest 118 00:07:25,260 --> 00:07:28,070 najbardziej niesamowitą rzeczą w rachunku różniczkowym i całkowym, a może 119 00:07:28,070 --> 00:07:30,040 nawet w całej matematyce. 120 00:07:30,040 --> 00:07:33,180 Mam nadzieję, że docenicie, 121 00:07:33,180 --> 00:07:35,680 jak przydatne to się zaraz okaże. 122 00:07:35,680 --> 00:07:41,490 Mamy tu dwa wyrażenia, w których występuje 123 00:07:41,490 --> 00:07:42,960 coś razy e do potęgi coś razy i. 124 00:07:42,960 --> 00:07:46,410 Wcześniej poznalilśmy już wzór Eulera. 125 00:07:46,410 --> 00:07:47,340 Co to takiego? 126 00:07:47,340 --> 00:07:50,160 Zapiszę to na fioletowo. 127 00:07:50,160 --> 00:07:58,110 e do potęgi i razy x jest równe 128 00:07:58,110 --> 00:08:06,070 cosinus x dodać i razy sinus x. 129 00:08:06,070 --> 00:08:08,610 Niesamowite jest to, że 130 00:08:08,610 --> 00:08:15,120 jeśli podstawimy pi zamiast x, 131 00:08:15,120 --> 00:08:20,210 to otrzymamy, że e do potęgi i razy pi jest równe -1. 132 00:08:20,210 --> 00:08:22,070 To dlatego, że sinus pi jest równy 0. 133 00:08:22,070 --> 00:08:25,700 To mi się wydaje naprawdę niesamowite. 134 00:08:25,700 --> 00:08:29,000 Możemy też zapisać, że e do potęgi i razy 2pi równa się 1. 135 00:08:29,000 --> 00:08:30,660 To też jest fantastyczne. 136 00:08:30,660 --> 00:08:34,750 W jednym równaniu mamy wszystkie 137 00:08:34,750 --> 00:08:35,700 najważniejsze liczby w matematyce. 138 00:08:35,700 --> 00:08:38,059 To naprawdę wspaniałe, ale wróćmy na ziemię 139 00:08:38,059 --> 00:08:39,080 i zastosujmy ten wzór w praktyce. 140 00:08:39,080 --> 00:08:43,010 Zobaczmy, czy możemy użyć tego wzoru, aby uprościć nasze wyrażenie. 141 00:08:43,010 --> 00:08:46,570 Ta definicja jest bardzo ważna 142 00:08:46,570 --> 00:08:49,680 i sensowna, jeśli na przykład rozwijamy w szereg potęgowy, 143 00:08:49,680 --> 00:08:51,410 czy szereg Maclaurina 144 00:08:51,410 --> 00:09:01,150 funkcję e do potęgi i razy x, to rzeczywiście wygląda 145 00:09:01,150 --> 00:09:05,970 jak rozwinięcie cosinus x dodać i razy rozwinięcie sinus x. 146 00:09:05,970 --> 00:09:07,470 Jednak nie będziemy się w to teraz zagłębiać. 147 00:09:07,470 --> 00:09:09,360 Jest to w sześciu czy siedmiu innych filmach. 148 00:09:09,360 --> 00:09:12,110 Użyjmy tego wzoru, by uprościć nasze wyrażenie. 149 00:09:12,110 --> 00:09:22,640 Zapiszmy je jako: y równa się e do potęgi lambda razy x, 150 00:09:22,640 --> 00:09:25,990 mnożone przez c1 razy... 151 00:09:25,990 --> 00:09:31,285 Mamy tu mi razy x razy i, więc do wzoru zamiast x 152 00:09:31,285 --> 00:09:32,130 wstawiamy mi razy x. 153 00:09:32,130 --> 00:09:37,890 piszemy, że jest to równe 154 00:09:37,890 --> 00:09:48,760 cosinus mi razy x, dodać i razy sinus mi razy x. 155 00:09:48,760 --> 00:09:55,710 Dodajemy c2 razy 156 00:09:55,710 --> 00:10:12,355 cosinus minus mi razy x, dodać i razy sinus minus mi razy x. 157 00:10:12,355 --> 00:10:15,380 Sprawdźmy, czy możemy to bardziej uprościć. 158 00:10:15,380 --> 00:10:19,140 Wymnóżmy nawiasy przez stałe c1 i c2. 159 00:10:19,140 --> 00:10:22,860 Chociaż niestety 160 00:10:22,860 --> 00:10:24,430 kończy nam się czas. Dokończymy 161 00:10:24,430 --> 00:10:25,200 to w następnym filmie. 162 00:10:25,200 --> 00:10:26,760 Do zobaczenia wkrótce! 163 00:10:26,760 --> 00:10:26,900 .