0:00:00.000,0:00:00.820
.

0:00:00.820,0:00:04.570
Jak już zobaczyliśmy w poprzednich filmach, jeśli mamy

0:00:04.570,0:00:07.400
liniowe, jednorodne równanie różniczkowe o stałych współczynnikach

0:00:07.400,0:00:12.570
postaci A razy druga pochodna y,

0:00:12.570,0:00:18.520
dodać B razy pierwsza pochodna y, dodać C

0:00:18.520,0:00:20.750
razy funkcja y (lub inaczej zerowa pochodna y),

0:00:20.750,0:00:22.910
równe 0.

0:00:22.910,0:00:24.240
Wówczas równanie charakterystyczne

0:00:24.240,0:00:33.380
tego równania różniczkowego jest postaci A razy r do kwadratu,

0:00:33.380,0:00:36.910
dodać B razy r dodać C, równa się 0.

0:00:36.910,0:00:38.930
Jeśli wszystkie rozwiązania tego równania

0:00:38.930,0:00:40.550
są rzeczywiste, powiedzmy, że mamy dwa rzeczywiste rozwiązania...

0:00:40.550,0:00:41.540
Zapiszmy to.

0:00:41.540,0:00:46.710
Jedna z możliwości jest taka, że mamy dwa rozwiązania

0:00:46.710,0:00:50.450
rzeczywiste- r1 oraz r2.

0:00:50.450,0:00:53.710
Wówczas znamy rozwiązanie ogólne tego równania różniczkowego.

0:00:53.710,0:00:56.730
Jeśli tego nie pamiętacie lub nie czujecie się z tym oswojeni,

0:00:56.730,0:01:01.100
obejrzyjcie jeszcze raz poprzednie filmy.

0:01:01.100,0:01:05.650
W każdym razie rozwiązaniem ogólnym będzie y równe:

0:01:05.650,0:01:12.570
stała c1 razy e do potęgi r1 razy x, dodać inna stała c2 razy

0:01:12.570,0:01:14.620
e do potęgi r2 razy x.

0:01:14.620,0:01:16.570
Robiliśmy to już w kilku poprzednich filmach,

0:01:16.570,0:01:19.200
rozwiązaliśmy też kilka przykładów.

0:01:19.200,0:01:21.840
Zastanówmy się teraz, co się stanie, jeśli równanie

0:01:21.840,0:01:24.110
charakterystyczne nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych,

0:01:24.110,0:01:25.980
a jedynie zespolone?

0:01:25.980,0:01:27.090
Przypomnijmy sobie szybko,

0:01:27.090,0:01:27.980
co to znaczy.

0:01:27.980,0:01:31.380
Jeśli chcemy znaleźć pierwiastki tego równania,

0:01:31.380,0:01:34.130
ale jesteśmy na tyle leniwi, że chcemy zrobić to nie wymyślając,

0:01:34.130,0:01:36.640
jak rozbić to równanie na iloczyn nawiasów,

0:01:36.640,0:01:38.050
korzystamy z tego, że jest to równanie kwadratowe.

0:01:38.050,0:01:45.140
Wiemy, że pierwiastkami tego równania charakterystycznego są liczby

0:01:45.140,0:01:53.770
-B plus/minus pierwiastek

0:01:53.770,0:01:56.195
z B do kwadratu odjąć 4AC.

0:01:56.195,0:02:00.850
.

0:02:00.850,0:02:05.820
Wszystko to dzielimy przez 2A.

0:02:05.820,0:02:08.090
Co więc mamy na myśli mówiąc o pierwiastkach zespolonych?

0:02:08.090,0:02:11.460
Jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC

0:02:11.460,0:02:14.300
jest liczbą ujemną,

0:02:14.300,0:02:16.340
to będziemy mieli pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej.

0:02:16.340,0:02:20.140
Będzie to więc liczba urojona,

0:02:20.140,0:02:22.450
a całe wyrażenie będzie liczbą zespoloną.

0:02:22.450,0:02:24.930
Będziemy mieć część rzeczywistą i część urojoną.

0:02:24.930,0:02:28.270
Te dwa pierwiastki będą oczywiście

0:02:28.270,0:02:29.070
sprzężone ze sobą.

0:02:29.070,0:02:31.260
Możemy to zapisać używając części rzeczywistej i urojonej.

0:02:31.260,0:02:34.350
Pierwiastki równania będą równe

0:02:34.350,0:02:44.490
-B przez 2A, plus/minus pierwiastek

0:02:44.490,0:02:50.360
z B do kwadratu odjąć 4AC, podzielić przez 2A.

0:02:50.360,0:02:53.410
Jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC jest ujemne,

0:02:53.410,0:02:55.670
to będzie liczba urojona.

0:02:55.670,0:02:59.190
Zastanówmy się, jak w naszym przypadku

0:02:59.190,0:03:00.980
będą wyglądały pierwiastki.

0:03:00.980,0:03:03.770
Wróćmy do samego początku.

0:03:03.770,0:03:05.810
Pierwiastkami naszego równania

0:03:05.810,0:03:06.610
nie będą liczby rzeczywiste.

0:03:06.610,0:03:09.670
Pierwiastki możemy natomiast zapisać jako dwie

0:03:09.670,0:03:10.790
sprzężone ze sobą liczby zespolone.

0:03:10.790,0:03:13.610
.

0:03:13.610,0:03:17.870
Tym razem mamy więc

0:03:17.870,0:03:23.710
dwa zespolone pierwiastki,

0:03:23.710,0:03:27.385
które będą postaci:

0:03:27.385,0:03:31.710
pewna liczba rzeczywista lambda,

0:03:31.710,0:03:34.250
Często zamiast lambdy

0:03:34.250,0:03:37.300
używa się litery mi,

0:03:37.300,0:03:42.460
ale to naprawdę nie ma znaczenia.

0:03:42.460,0:03:46.830
A więc lambda, plus/minus

0:03:46.830,0:03:51.830
pewna liczba urojona.

0:03:51.830,0:03:55.640
Nazwijmy ją mi.

0:03:55.640,0:03:57.900
Nie staram się być oryginalny,

0:03:57.900,0:04:01.150
takich oznaczeń używa się w książkach

0:04:01.150,0:04:02.100
o równaniach różniczkowych.

0:04:02.100,0:04:05.390
A więc mi razy i.

0:04:05.390,0:04:07.860
To są pierwiastki zespolone

0:04:07.860,0:04:08.720
naszego równania.

0:04:08.720,0:04:12.440
Są sprzężone, bo raz dodajemy mi razy i, a raz odejmujemy.

0:04:12.440,0:04:17.130
Takie będą te dwa pierwiastki, jeśli wyrażenie B do kwadratu odjąć 4AC

0:04:17.130,0:04:18.970
jest ujemne.

0:04:18.970,0:04:23.100
Co się stanie, jeśli te dwa pierwiastki

0:04:23.100,0:04:25.630
wstawimy do rozwiązania ogólnego naszego równania różniczkowego?

0:04:25.630,0:04:29.760
Jak już wiemy,

0:04:29.760,0:04:33.460
rozwiązanie ogólne

0:04:33.460,0:04:39.380
będzie postaci: y równa się stała c1 razy

0:04:39.380,0:04:42.220
e do potęgi

0:04:42.220,0:04:49.770
lambda dodać mi razy i,

0:04:49.770,0:04:58.920
wszystko to mnożymy przez x, dodać stała c2 razy

0:04:58.920,0:05:06.890
e do potęgi lambda odjąć mi razy i, wszystko przemnożone przez x.

0:05:06.890,0:05:09.220
Sprawdźmy, czy uda nam się

0:05:09.220,0:05:12.900
jakoś to uprościć.

0:05:12.900,0:05:14.600
Zobaczmy,

0:05:14.600,0:05:16.460
co możemy zrobić z tym wyrażeniem.

0:05:16.460,0:05:20.080
Pomnóżmy nawiasy w wykładnikach przez x.

0:05:20.080,0:05:21.940
Nic trudnego.

0:05:21.940,0:05:23.780
.

0:05:23.780,0:05:30.730
A więc y jest równe c1 razy

0:05:30.730,0:05:41.450
e do potęgi lambda razy x, dodać mi razy x razy i. Dodajemy teraz

0:05:41.450,0:05:50.230
c2 razy e do potęgi lambda razy x, odjąć mi razy x razy i.

0:05:50.230,0:05:53.960
Po prostu pomnożyliśmy przez x.

0:05:53.960,0:05:55.770
Co dalej?

0:05:55.770,0:06:00.550
Ponieważ mamy dodawanie w wykładniku, to nasze wyrażenie

0:06:00.550,0:06:12.020
jest równe: c1 razy e do potęgi lambda razy x, razy

0:06:12.020,0:06:16.490
e do potęgi mi razy x razy i, zgadzacie się?

0:06:16.490,0:06:18.300
Jeśli mnożymy dwa wyrażenia o tej samej podstawie potęgi,

0:06:18.300,0:06:20.750
możemy po prostu dodać wykładniki.

0:06:20.750,0:06:33.173
Dodać c2 razy e do potęgi lambda razy x, razy e do potęgi minus mi razy x razy i.

0:06:33.173,0:06:36.390
W obu tych wyrażeniach występuje e do potęgi lambda razy x,

0:06:36.390,0:06:38.150
więc możemy je wyłączyć przed nawias.

0:06:38.150,0:06:43.380
Więc nasze wyrażenie

0:06:43.380,0:06:45.280
będzie równe:

0:06:45.280,0:07:00.610
e do potęgi lambda razy x, mnożymy to przez c1 razy e do potęgi mi razy x razy i,

0:07:00.610,0:07:11.430
dodać c2 razy e do potęgi minus mi razy x razy i.

0:07:11.430,0:07:13.540
Co teraz możemy zrobić?

0:07:13.540,0:07:15.240
Tu dopiero zaczyna się zabawa.

0:07:15.240,0:07:18.090
Jeśli oglądaliście filmy o rachunku różniczkowym i całkowym,

0:07:18.090,0:07:22.160
w szczególności te, gdzie omawialiśmy rozwijanie funkcji w szereg, pamiętacie zapewne, że

0:07:22.160,0:07:25.260
doszliśmy do czegoś, co moim zdaniem jest

0:07:25.260,0:07:28.070
najbardziej niesamowitą rzeczą w rachunku różniczkowym i całkowym, a może

0:07:28.070,0:07:30.040
nawet w całej matematyce.

0:07:30.040,0:07:33.180
Mam nadzieję, że docenicie,

0:07:33.180,0:07:35.680
jak przydatne to się zaraz okaże.

0:07:35.680,0:07:41.490
Mamy tu dwa wyrażenia, w których występuje

0:07:41.490,0:07:42.960
coś razy e do potęgi coś razy i.

0:07:42.960,0:07:46.410
Wcześniej poznalilśmy już wzór Eulera.

0:07:46.410,0:07:47.340
Co to takiego?

0:07:47.340,0:07:50.160
Zapiszę to na fioletowo.

0:07:50.160,0:07:58.110
e do potęgi i razy x jest równe

0:07:58.110,0:08:06.070
cosinus x dodać i razy sinus x.

0:08:06.070,0:08:08.610
Niesamowite jest to, że

0:08:08.610,0:08:15.120
jeśli podstawimy pi zamiast x,

0:08:15.120,0:08:20.210
to otrzymamy, że e do potęgi i razy pi jest równe -1.

0:08:20.210,0:08:22.070
To dlatego, że sinus pi jest równy 0.

0:08:22.070,0:08:25.700
To mi się wydaje naprawdę niesamowite.

0:08:25.700,0:08:29.000
Możemy też zapisać, że e do potęgi i razy 2pi równa się 1.

0:08:29.000,0:08:30.660
To też jest fantastyczne.

0:08:30.660,0:08:34.750
W jednym równaniu mamy wszystkie

0:08:34.750,0:08:35.700
najważniejsze liczby w matematyce.

0:08:35.700,0:08:38.059
To naprawdę wspaniałe, ale wróćmy na ziemię

0:08:38.059,0:08:39.080
i zastosujmy ten wzór w praktyce.

0:08:39.080,0:08:43.010
Zobaczmy, czy możemy użyć tego wzoru, aby uprościć nasze wyrażenie.

0:08:43.010,0:08:46.570
Ta definicja jest bardzo ważna

0:08:46.570,0:08:49.680
i sensowna, jeśli na przykład rozwijamy w szereg potęgowy,

0:08:49.680,0:08:51.410
czy szereg Maclaurina

0:08:51.410,0:09:01.150
funkcję e do potęgi i razy x, to rzeczywiście wygląda

0:09:01.150,0:09:05.970
jak rozwinięcie cosinus x dodać i razy rozwinięcie sinus x.

0:09:05.970,0:09:07.470
Jednak nie będziemy się w to teraz zagłębiać.

0:09:07.470,0:09:09.360
Jest to w sześciu czy siedmiu innych filmach.

0:09:09.360,0:09:12.110
Użyjmy tego wzoru, by uprościć nasze wyrażenie.

0:09:12.110,0:09:22.640
Zapiszmy je jako: y równa się e do potęgi lambda razy x,

0:09:22.640,0:09:25.990
mnożone przez c1 razy...

0:09:25.990,0:09:31.285
Mamy tu mi razy x razy i, więc do wzoru zamiast x

0:09:31.285,0:09:32.130
wstawiamy mi razy x.

0:09:32.130,0:09:37.890
piszemy, że jest to równe

0:09:37.890,0:09:48.760
cosinus mi razy x, dodać i razy sinus mi razy x.

0:09:48.760,0:09:55.710
Dodajemy c2 razy

0:09:55.710,0:10:12.355
cosinus minus mi razy x, dodać i razy sinus minus mi razy x.

0:10:12.355,0:10:15.380
Sprawdźmy, czy możemy to bardziej uprościć.

0:10:15.380,0:10:19.140
Wymnóżmy nawiasy przez stałe c1 i c2.

0:10:19.140,0:10:22.860
Chociaż niestety

0:10:22.860,0:10:24.430
kończy nam się czas. Dokończymy

0:10:24.430,0:10:25.200
to w następnym filmie.

0:10:25.200,0:10:26.760
Do zobaczenia wkrótce!

0:10:26.760,0:10:26.900
.