.
I den her video skal vi se på ligedannede trekanter.
.
Hvad betyder ligedannet?
Ligedannet betyder, at to figurer ligner hinanden,
uden at være helt ens.
.
Ligedannede trekanter er trekanter,
der har alle de samme vinkler.
Lad os tegne 2 ligedannede trekanter.
De ligner hinanden meget,
men de har forskellige størrelser.
.
Her er den ene. Lad os tegne den anden.
Vi tegner den lidt mindre for at vise,
at de ikke nødvendigvis har samme størrelse.
De har dog samme form.
Ligedannede trekanter er trekanter,
der er forskellige størrelser
eller er drejet på forskellige måder,
men alle vinklerne er ens, så de har samme form.
Et eksempel
er vores 2 trekanter her.
Den her vinkel er lig med den her vinkel,
og den her vinkel er lig med den her vinkel.
Lad os se på det.
Vi ved allerede,
at de her 2 vinkler er lig med hinanden. Hvorfor?
Hvis 2 vinkler er ens,
må de tredje vinkler også være ens.
Vinklerne i en trekant er nemlig sammenlagt 180 grader.
Hvis den her er x, og den her er y,
må den sidste være 180 minus x minus y.
Måske er det lidt småt.
Det samme gælder her.
Hvis det her er x, og det her er y,
må det her være 180 minus x minus y.
Hvis 2 vinkler er ens i 2 trekanter,
må de tredje vinkler altså også være ens.
De her vinkler er identiske.
Hvis alle vinklerne er ens,
er trekanterne ligedannede.
Hvilke nyttige ting kan vi gøre nu,
hvor vi ved, at trekanterne er ligedannede?
Vi kan bruge den viden til
at regne nogle af sidelængderne ud.
Selvom siderne ikke er lige lange,
er sideforholdene mellem de ensliggende sider det samme.
Det var måske lidt forvirrende.
Lad os se på et eksempel.
Lad os sige, at den her side er 5.
Vi finder på nogle tilfældige tal.
Den her side er 6.
Den her side er 7.
Vi ved,
at den her side er 2.
Forholdet mellem de
ensliggende sider er ens.
De 2 trekanter har helt forskellige sidelængder,
men de har nogle ensliggende sider.
De her sider er eksempelvis ensliggende.
Hvordan ved vi det?
I det her tilfælde
ligger de helt ens.
Vi er dog helt sikre,
fordi de ligger modsat de samme vinkler.
Den modsatte vinkel her er y,
og det samme gælder her.
Hele trekanten er lidt lille,
men forhåbentlig kan man se, hvad der foregår.
De er ensliggende sider.
De her blå sider
er også ensliggende.
Hvorfor?
Det er ikke fordi, de begge er øverst til venstre.
Vi kunne jo eksempelvis dreje trekanten.
Det er fordi, de er modsat den samme vinkel.
Sådan kan man altid finde ensliggende sider.
Det er godt at have i baghovedet,
især i trigonometri.
Hvad fortæller det os?
Forholdene mellem ensliggende sider
er altid ens.
Lad os sige, at vi vil finde længden
af den her side i den lille trekant.
Vi kan gøre det på flere måder.
Forholdet mellem de her 2 sider,
altså x til 7, er lig med forholdet mellem de her 2 sider,
altså 2 til 5.
Nu kan vi løse ligningen.
Man kan ikke gøre sådan her med
alle trekanter.
Det virker kun for ligedannede trekanter.
Vi kan isolere x. Vi ganger begge sider med 7.
Nu får vi, x er lig med 14 over 5.
14 over 5 er lidt mindre end 3.
Det er cirka 2,8.
x er cirka lig med 2,8.
Vi kan bruge samme metode til at finde den gule side.
De 2 trekanter er ligedannede,
og når vi kender alle siderne i den ene trekant
og 1 side i den anden trekant, kan vi finde resten af siderne.
Måske var det lidt forvirrende.
Lad os kalde den her side for y.
Hvis en trekants side er nævneren
på den ene side af lighedstegnet, er den ensliggende side nævneren
på den anden side af lighedstegnet.
Når den ene trekantside er tælleren på venstre side,
skal den ensliggende side i den anden trekant
være i tælleren på højre side af lighedstegnet.
.
Vi skal være sikre på,
at vi har helt styr på tællerne og nævnerne.
Hvis man bytter rundt, går det helt galt.
Nu kan vi isolere y. y er lig med 12 over 5.
Lad os nu bruge vores viden om ligedannede
trekanter til at løse nogle opgaver.
Lad os bruge noget af det geometri, vi allerede kender.
Her er 2 parallelle linjer,
og så har vi sådan en linje her.
Linjerne er parallelle.
Den her linje er parallel med den her linje.
Lad os sige,
at den her side har længden 5.
Lad os bruge en ny farve.
Den her længde er 8.
Vi vil finde længden af den her side.
Vi skal vist lige
kende en side mere.
Den her side er 6.
Vi skal finde den lilla side her.
Hvordan gør vi det?
Inden vi begynder at kigge på sideforholdene,
skal vi bevise,
at det er ligedannede trekanter.
Hvordan kan vi bevise det?
Lad os se, om nogle af vinklerne
er lig med hinanden.
Her er der en vinkel.
Er den vinkel lig med en af de 3
vinkler i den her trekant?
Ja, det er den.
Den er modsat den her vinkel,
så den må være lig med den her vinkel.
Vi ved, at dens modstående side
er den ensliggende side.
Vi kender ikke den hers længde,
men den er ensliggende med den her side på 8.
Vi mangler vist noget information.
Vi mangler den her side.
.
Den her side er 4.
Tilbage til opgaven.
Vi har fundet ud af, at de her 2 vinkler er ens.
Det her er den her vinkels ensliggende side.
Kan vi finde ud af, om nogle af de andre vinkler er ens?
Lad os sige, at vi kender størrelsen på den her vinkel.
Vi laver to buer her.
Er der en vinkel,
der er lig med den her vinkel?
Ja, det er der.
Vi ved, at de her linjer er parallelle,
så vi kan bruge vores viden om indvendige vekselvinkler
til at finde ens vinkler.
Vi er vist ved
at løbe tør for tid.
Vi fortsætter med opgaven i del 2 af videoen.
.