1
00:00:00,750 --> 00:00:05,890
Дадена ни е функцията f(х) = е^х.

2
00:00:05,890 --> 00:00:08,245
За да добием представа за нея,

3
00:00:08,245 --> 00:00:13,140
ще скицирам грубо графиката
на f(х) = е^х.

4
00:00:13,140 --> 00:00:18,340
Ще изглежда горе-долу така.

5
00:00:18,520 --> 00:00:20,690
Това е е^х

6
00:00:20,690 --> 00:00:23,380
Искам да намерим
приближението на

7
00:00:23,380 --> 00:00:30,860
f(х) = е^х с помощта
на ред на Тейлър.

8
00:00:30,920 --> 00:00:33,440
Искам да направим това
обаче не за х = 0,

9
00:00:33,440 --> 00:00:37,050
искам да го направим за х = 3,

10
00:00:37,050 --> 00:00:39,562
просто една произволна стойност.

11
00:00:39,562 --> 00:00:41,520
Значи ще го направим за х = 3.

12
00:00:41,520 --> 00:00:44,700
Това е х = 3, ето тук.

13
00:00:44,860 --> 00:00:48,640
Това е f(3), което
е равно на е^3.

14
00:00:48,780 --> 00:00:52,080
Това тук е е на трета степен.

15
00:00:52,080 --> 00:00:54,520
Когато развиваме реда 
на Тейлър,

16
00:00:54,520 --> 00:00:59,120
ако имаме полином от нулева степен,
който апроксимира функцията,

17
00:00:59,120 --> 00:01:02,630
най-доброто, което можем да направим,
е да вземем константна функция,

18
00:01:02,630 --> 00:01:05,379
която преминава точно през е^3.

19
00:01:05,379 --> 00:01:09,920
Ако правим апроксимация
от първа степен,

20
00:01:09,920 --> 00:01:11,750
значи имаме член от първа степен,

21
00:01:11,750 --> 00:01:14,610
тогава това ще бъде 
допирателна.

22
00:01:14,610 --> 00:01:16,360
И като добавяме още
членове от по-висока степен,

23
00:01:16,360 --> 00:01:19,090
можем евентуално да
постигнем крива, която

24
00:01:19,090 --> 00:01:21,912
е все по-близка до кривата 
на функцията.

25
00:01:21,920 --> 00:01:25,920
В бъдеще ще говорим повече
как изследваме за сходимост,

26
00:01:25,940 --> 00:01:28,620
колко добре сме направили
приближението и всичко от сорта.

27
00:01:28,630 --> 00:01:30,762
След всичко казано дотук,
да приложим формулата,

28
00:01:30,762 --> 00:01:34,800
която, надявам се, ти е
вече позната от предходното видео.

29
00:01:34,800 --> 00:01:38,160
Редът на Тейлър за функцията 
f(х) = е^х

30
00:01:38,170 --> 00:01:42,560
представлява полином.

31
00:01:42,560 --> 00:01:44,590
Колко е f(с)?

32
00:01:44,590 --> 00:01:46,410
Ако х е равно на 3, тогава

33
00:01:46,410 --> 00:01:49,230
в този случай
стойността на нашето с е 3.

34
00:01:49,230 --> 00:01:53,360
Ако с = 3, f(3) = е^3.

35
00:01:53,360 --> 00:01:57,620
Значи става е^3 плюс...
колко е производната f'(с)?

36
00:01:57,620 --> 00:02:00,984
f'(х) е равно на е^х.

37
00:02:00,984 --> 00:02:03,400
Намираме производната на
е^х, която е е^х.

38
00:02:03,400 --> 00:02:06,470
Това е едно от най-хубавите
неща относно е^х.

39
00:02:06,470 --> 00:02:08,460
Значи това е също и f'(х).

40
00:02:08,460 --> 00:02:12,142
Това е равно всъщност и
на n-тата производна на f(х).

41
00:02:12,142 --> 00:02:13,850
Мога да продължа да намирам
производните на това,

42
00:02:13,850 --> 00:02:15,840
и ще получаваме винаги е^х.

43
00:02:15,840 --> 00:02:18,390
Значи f'(х) е е^х.

44
00:02:18,390 --> 00:02:23,300
Изчисляваме това за х = 3,
и получаваме е^3 отново,

45
00:02:23,300 --> 00:02:29,700
по (х – 3), с е 3,
плюс втората производна.

46
00:02:29,700 --> 00:02:31,140
Функцията отново е e^х.

47
00:02:31,140 --> 00:02:34,910
Изчисляваме за 3, и 
получаваме е^3 върху 2!,

48
00:02:34,910 --> 00:02:39,830
по (х – 3) на втора степен.

49
00:02:39,830 --> 00:02:41,100
И можем да продължим.

50
00:02:41,100 --> 00:02:43,090
Третата производна е
отново e^x.

51
00:02:43,090 --> 00:02:46,330
Изчисляваме това за 3.
В този случай с е равно на 3.

52
00:02:46,330 --> 00:02:49,840
Получаваме е^3 върху 3!

53
00:02:49,840 --> 00:02:52,560
по (х – 3)^3.

54
00:02:52,560 --> 00:02:54,170
Можем да продължим по
същия начин, но

55
00:02:54,170 --> 00:02:55,840
смятам, че разбираш
принципа.

56
00:02:55,840 --> 00:02:58,590
Но това, което е още 
по-интересно

57
00:02:58,590 --> 00:03:01,180
от простото развиване 
на полинома,

58
00:03:01,180 --> 00:03:04,800
е да видим, че като добавяме
още и още членове,

59
00:03:04,800 --> 00:03:08,120
той започва да се приближава
все по-добре до е^х.

60
00:03:08,240 --> 00:03:11,560
Нашето приближение става
все по-добро все по-далеч

61
00:03:11,560 --> 00:03:13,900
от точката х = 3.

62
00:03:13,900 --> 00:03:16,520
За да видим това, аз използвах 
инструмента WolframAlpha,

63
00:03:16,520 --> 00:03:19,700
който е на сайта wolframalpha.com.

64
00:03:19,700 --> 00:03:24,270
Мисля, че въведох ред
на Тейлър

65
00:03:24,270 --> 00:03:26,700
за функцията е^х за х = 3.

66
00:03:26,700 --> 00:03:28,640
Софтуерът разбра какво
ми трябва и ми даде

67
00:03:28,640 --> 00:03:30,290
всичко това ето тук.

68
00:03:30,290 --> 00:03:31,735
И всъщност изчисли реда на Тейлър.

69
00:03:31,735 --> 00:03:33,370
Можеш да видиш, че
е идентичен

70
00:03:33,370 --> 00:03:37,900
с това, което получихме тук,
е^3 плюс е^3(х –3).

71
00:03:38,020 --> 00:03:41,700
Имаме е^3 + е^3(х – 3) + 1/2.

72
00:03:41,780 --> 00:03:43,660
Те всъщност са
изчислили факториела.

73
00:03:43,669 --> 00:03:45,835
Вместо 3! са написали 6.

74
00:03:45,835 --> 00:03:47,660
И тук са дали много членове.

75
00:03:47,660 --> 00:03:49,910
Но това, което е още
по-интересно, е че те

76
00:03:49,910 --> 00:03:55,600
са начертали всеки от тези полиноми 
с все повече и повече членове.

77
00:03:55,600 --> 00:03:58,050
В оранжево имаме е^х.

78
00:03:58,050 --> 00:04:01,390
Това е f(х) = е^х.

79
00:04:01,390 --> 00:04:05,070
После ни казват: степен
на апроксимация,

80
00:04:05,070 --> 00:04:07,330
показана с n на брой точки.

81
00:04:07,330 --> 00:04:10,140
Значи степента на апроксимация,

82
00:04:10,140 --> 00:04:14,160
това тук е случаят, в който
имаме полином от първа степен,

83
00:04:14,160 --> 00:04:16,740
това е буквално –
полином от първа степен

84
00:04:16,740 --> 00:04:18,860
са тези два члена ето тук.

85
00:04:18,860 --> 00:04:21,430
Понеже това е нулева степен,
това е първа степен.

86
00:04:21,430 --> 00:04:25,260
Имаме х^1 ето тук.

87
00:04:25,260 --> 00:04:28,030
Ако трябва да начертаем това –
ако това е нашият полином,

88
00:04:28,030 --> 00:04:29,900
тук е кодирано с една точка.

89
00:04:29,900 --> 00:04:33,580
Това е тази крива, 
с една точка, ето тук,

90
00:04:33,580 --> 00:04:36,440
поставили я са точно ето тук.

91
00:04:36,440 --> 00:04:38,770
Виждаме, че това е просто
една допирателна права

92
00:04:38,770 --> 00:04:41,520
за х = 3.

93
00:04:41,520 --> 00:04:45,300
Това тук е х = 3,
това е допирателна права.

94
00:04:45,300 --> 00:04:49,140
Ако добавим още един член,
ще получим полином от втора степен,

95
00:04:49,140 --> 00:04:52,070
защото добавяме х^2.

96
00:04:52,070 --> 00:04:54,330
Ако разкрием скобите тук, ще
получим член от втора степен,

97
00:04:54,330 --> 00:04:55,830
и после ще имаме 
друг член, съдържащ х,

98
00:04:55,830 --> 00:04:58,840
но степента на полинома
сега е втора степен.

99
00:04:58,840 --> 00:05:00,330
Да видим сега крива с две точки.

100
00:05:00,330 --> 00:05:02,890
Трябва да е ето тази.

101
00:05:02,890 --> 00:05:05,720
Да видим, две точки.

102
00:05:05,880 --> 00:05:08,180
Тук има една, две точки.

103
00:05:08,190 --> 00:05:12,140
Имаме две точки, идва насам.

104
00:05:12,140 --> 00:05:13,620
Графиката е парабола.

105
00:05:13,620 --> 00:05:16,780
Това е полином от втора
степен, който после идва ето така.

106
00:05:16,940 --> 00:05:21,400
Но обърни внимание, че това е по-точно
приближение, особено около х = 3,

107
00:05:21,400 --> 00:05:23,170
по-близко е до
графиката на функцията.

108
00:05:23,170 --> 00:05:25,860
Тази крива следва графиката
на функцията малко по-дълго.

109
00:05:25,860 --> 00:05:31,030
Ако добавим още един член –
ще използвам нов цвят,

110
00:05:31,030 --> 00:05:32,640
който не съм използвал досега.

111
00:05:32,640 --> 00:05:35,560
Добавяме нов член и става
полином от трета степен.

112
00:05:35,640 --> 00:05:37,060
Ако комбинираме тези,

113
00:05:37,060 --> 00:05:40,030
ако това е нашият полином,
който трябва да начертаем,

114
00:05:40,030 --> 00:05:42,320
да потърсим тук 
кривата с три точки.

115
00:05:42,320 --> 00:05:43,790
Една, две, три.

116
00:05:43,790 --> 00:05:45,520
Това е тази крива.

117
00:05:45,520 --> 00:05:50,240
На полином от трета степен 
съответства тази крива ето тук.

118
00:05:50,240 --> 00:05:51,970
Забележи, че тази крива
започва да се приближава

119
00:05:51,970 --> 00:05:54,750
към х още по-бързо от
тази на полинома от втора степен.

120
00:05:54,750 --> 00:06:00,600
И я следва малко по-дълго.

121
00:06:00,820 --> 00:06:03,090
И се получава ето това.

122
00:06:03,090 --> 00:06:06,700
Добавяме още един член от
четвърта степен.

123
00:06:06,780 --> 00:06:09,640
Сега имаме всичко това
плюс всичко това тук.

124
00:06:09,642 --> 00:06:11,100
Ако това е нашият полином,

125
00:06:11,100 --> 00:06:13,810
сега съответстващата му
крива е ето тази.

126
00:06:13,810 --> 00:06:15,600
Забележи, че всеки път,
когато добавяме член,

127
00:06:15,600 --> 00:06:18,000
приближението става
все по-точно и по-точно

128
00:06:18,000 --> 00:06:22,260
спрямо кривата e^х и в области,
по-отдалечени от х = 3.

129
00:06:22,260 --> 00:06:25,206
И ако добавим още един член,
получаваме този полином.

130
00:06:25,206 --> 00:06:26,580
Надявам се, че това
е достатъчно, за да се убедиш,

131
00:06:26,580 --> 00:06:29,440
че се приближаваме все повече и повече, 
колкото повече членове добавяме.

132
00:06:29,440 --> 00:06:32,180
Така че можеш да си представиш
дяволски доброто приближение,

133
00:06:32,180 --> 00:06:37,750
което ще получим, когато
прибавим безкраен брой членове.