Дадена ни е функцията f(х) = е^х.
За да добием представа за нея,
ще скицирам грубо графиката
на f(х) = е^х.
Ще изглежда горе-долу така.
Това е е^х
Искам да намерим
приближението на
f(х) = е^х с помощта
на ред на Тейлър.
Искам да направим това
обаче не за х = 0,
искам да го направим за х = 3,
просто една произволна стойност.
Значи ще го направим за х = 3.
Това е х = 3, ето тук.
Това е f(3), което
е равно на е^3.
Това тук е е на трета степен.
Когато развиваме реда
на Тейлър,
ако имаме полином от нулева степен,
който апроксимира функцията,
най-доброто, което можем да направим,
е да вземем константна функция,
която преминава точно през е^3.
Ако правим апроксимация
от първа степен,
значи имаме член от първа степен,
тогава това ще бъде
допирателна.
И като добавяме още
членове от по-висока степен,
можем евентуално да
постигнем крива, която
е все по-близка до кривата
на функцията.
В бъдеще ще говорим повече
как изследваме за сходимост,
колко добре сме направили
приближението и всичко от сорта.
След всичко казано дотук,
да приложим формулата,
която, надявам се, ти е
вече позната от предходното видео.
Редът на Тейлър за функцията
f(х) = е^х
представлява полином.
Колко е f(с)?
Ако х е равно на 3, тогава
в този случай
стойността на нашето с е 3.
Ако с = 3, f(3) = е^3.
Значи става е^3 плюс...
колко е производната f'(с)?
f'(х) е равно на е^х.
Намираме производната на
е^х, която е е^х.
Това е едно от най-хубавите
неща относно е^х.
Значи това е също и f'(х).
Това е равно всъщност и
на n-тата производна на f(х).
Мога да продължа да намирам
производните на това,
и ще получаваме винаги е^х.
Значи f'(х) е е^х.
Изчисляваме това за х = 3,
и получаваме е^3 отново,
по (х – 3), с е 3,
плюс втората производна.
Функцията отново е e^х.
Изчисляваме за 3, и
получаваме е^3 върху 2!,
по (х – 3) на втора степен.
И можем да продължим.
Третата производна е
отново e^x.
Изчисляваме това за 3.
В този случай с е равно на 3.
Получаваме е^3 върху 3!
по (х – 3)^3.
Можем да продължим по
същия начин, но
смятам, че разбираш
принципа.
Но това, което е още
по-интересно
от простото развиване
на полинома,
е да видим, че като добавяме
още и още членове,
той започва да се приближава
все по-добре до е^х.
Нашето приближение става
все по-добро все по-далеч
от точката х = 3.
За да видим това, аз използвах
инструмента WolframAlpha,
който е на сайта wolframalpha.com.
Мисля, че въведох ред
на Тейлър
за функцията е^х за х = 3.
Софтуерът разбра какво
ми трябва и ми даде
всичко това ето тук.
И всъщност изчисли реда на Тейлър.
Можеш да видиш, че
е идентичен
с това, което получихме тук,
е^3 плюс е^3(х –3).
Имаме е^3 + е^3(х – 3) + 1/2.
Те всъщност са
изчислили факториела.
Вместо 3! са написали 6.
И тук са дали много членове.
Но това, което е още
по-интересно, е че те
са начертали всеки от тези полиноми
с все повече и повече членове.
В оранжево имаме е^х.
Това е f(х) = е^х.
После ни казват: степен
на апроксимация,
показана с n на брой точки.
Значи степента на апроксимация,
това тук е случаят, в който
имаме полином от първа степен,
това е буквално –
полином от първа степен
са тези два члена ето тук.
Понеже това е нулева степен,
това е първа степен.
Имаме х^1 ето тук.
Ако трябва да начертаем това –
ако това е нашият полином,
тук е кодирано с една точка.
Това е тази крива,
с една точка, ето тук,
поставили я са точно ето тук.
Виждаме, че това е просто
една допирателна права
за х = 3.
Това тук е х = 3,
това е допирателна права.
Ако добавим още един член,
ще получим полином от втора степен,
защото добавяме х^2.
Ако разкрием скобите тук, ще
получим член от втора степен,
и после ще имаме
друг член, съдържащ х,
но степента на полинома
сега е втора степен.
Да видим сега крива с две точки.
Трябва да е ето тази.
Да видим, две точки.
Тук има една, две точки.
Имаме две точки, идва насам.
Графиката е парабола.
Това е полином от втора
степен, който после идва ето така.
Но обърни внимание, че това е по-точно
приближение, особено около х = 3,
по-близко е до
графиката на функцията.
Тази крива следва графиката
на функцията малко по-дълго.
Ако добавим още един член –
ще използвам нов цвят,
който не съм използвал досега.
Добавяме нов член и става
полином от трета степен.
Ако комбинираме тези,
ако това е нашият полином,
който трябва да начертаем,
да потърсим тук
кривата с три точки.
Една, две, три.
Това е тази крива.
На полином от трета степен
съответства тази крива ето тук.
Забележи, че тази крива
започва да се приближава
към х още по-бързо от
тази на полинома от втора степен.
И я следва малко по-дълго.
И се получава ето това.
Добавяме още един член от
четвърта степен.
Сега имаме всичко това
плюс всичко това тук.
Ако това е нашият полином,
сега съответстващата му
крива е ето тази.
Забележи, че всеки път,
когато добавяме член,
приближението става
все по-точно и по-точно
спрямо кривата e^х и в области,
по-отдалечени от х = 3.
И ако добавим още един член,
получаваме този полином.
Надявам се, че това
е достатъчно, за да се убедиш,
че се приближаваме все повече и повече,
колкото повече членове добавяме.
Така че можеш да си представиш
дяволски доброто приближение,
което ще получим, когато
прибавим безкраен брой членове.