WEBVTT

00:00:06.531 --> 00:00:07.715
1920'lerde,

00:00:07.715 --> 00:00:10.208
Alman matematikçi David Hilbert

00:00:10.208 --> 00:00:12.461
sonsuzluk kavramını anlamamızın

00:00:12.461 --> 00:00:14.215
ne kadar zor olduğunu bize göstermek için

00:00:14.215 --> 00:00:18.170
ünlü bir düşünce deneyi tasarladı.

00:00:18.170 --> 00:00:21.683
Sonsuz sayıda odası olan bir otel

00:00:21.683 --> 00:00:24.291
ve çok çalışkan bir gece müdürü hayal edin.

00:00:24.291 --> 00:00:27.547
Bir gece, sonsuz otel sonsuz sayıda konukla

00:00:27.547 --> 00:00:31.110
tamamen dolu, bütün odalar ayırtılmıştır.

00:00:31.110 --> 00:00:32.419
Otele bir adam girer

00:00:32.419 --> 00:00:33.934
ve bir oda ister.

00:00:33.934 --> 00:00:35.468
Gece müdürü, adamı geri çevirmek yerine

00:00:35.468 --> 00:00:37.910
ona bir oda açmaya karar verir.

00:00:37.910 --> 00:00:38.689
Nasıl mı?

00:00:38.689 --> 00:00:41.659
Kolay, 1 numaralı odadaki konuktan

00:00:41.659 --> 00:00:43.325
2 numaralı odaya taşınmasını,

00:00:43.325 --> 00:00:46.080
2 numaralı odadakinden 3'e taşınmasını rica eder,

00:00:46.080 --> 00:00:47.162
ve böyle devam eder.

00:00:47.162 --> 00:00:49.862
Bütün konuklar "n" oda numarasından

00:00:49.862 --> 00:00:52.203
"n+1" oda numarasına taşınır.

00:00:52.203 --> 00:00:54.412
Zaten sonsuz sayıda oda olduğu için

00:00:54.412 --> 00:00:57.033
oteldeki her konuk için yeni bir oda vardır.

00:00:57.033 --> 00:00:59.784
Böylece yeni müşteri için 1 numaralı oda boşalır.

00:00:59.784 --> 00:01:01.029
Bu işlem her sınırlı sayıda

00:01:01.029 --> 00:01:03.535
yeni müşteri için tekrarlanabilir.

00:01:03.535 --> 00:01:05.389
Eğer, diyelim ki, bir tur otobüsü otele

00:01:05.389 --> 00:01:07.553
oda isteyen 40 yeni kişi getirse,

00:01:07.553 --> 00:01:09.666
otelde olan bütün konuklar sadece

00:01:09.666 --> 00:01:11.004
"n" numaralı odadan

00:01:11.004 --> 00:01:13.662
"n+40" numaralı odaya taşınırlar,

00:01:13.662 --> 00:01:16.790
böylece ilk 40 odayı boşaltmış olurlar.

00:01:16.790 --> 00:01:19.195
Ama şimdi sonsuz büyüklükte bir otobüs

00:01:19.195 --> 00:01:21.768
sayısal olarak sonsuz yolcuyla

00:01:21.768 --> 00:01:23.697
oda tutmak için otele yanaşır.

00:01:23.697 --> 00:01:25.920
"Sayısal olarak sonsuz" anahtar kelimelerdir.

00:01:25.920 --> 00:01:28.225
Şimdi, sonsuz yolculu sonsuz otobüs

00:01:28.225 --> 00:01:30.542
ilk bakışta gece müdürünün kafasını karıştırır

00:01:30.542 --> 00:01:32.034
ama gece müdürü her yeni kişiyi

00:01:32.034 --> 00:01:33.373
yerleştirmek için bir yol olduğunu fark eder.

00:01:33.373 --> 00:01:34.994
1 numaralı odadaki konuktan

00:01:34.994 --> 00:01:36.415
2 numaralı odaya geçmesini rica eder.

00:01:36.415 --> 00:01:38.551
Sonra 2 numaralı odadaki konuktan

00:01:38.551 --> 00:01:40.459
4 numaralı odaya geçmesini,

00:01:40.459 --> 00:01:41.540
3 numaralı odadaki konuktan

00:01:41.540 --> 00:01:42.833
6 numaraya geçmesini ister,

00:01:42.833 --> 00:01:44.129
ve böyle devam eder.

00:01:44.129 --> 00:01:47.337
Her mevcut konuk "n" numaralı odadan

00:01:47.337 --> 00:01:50.533
"2n" numaralı odaya taşınır,

00:01:50.533 --> 00:01:54.084
böylece sadece sonsuz çift sayılı odaları doldururlar.

00:01:54.084 --> 00:01:55.953
Bu sayede gece müdürü

00:01:55.953 --> 00:01:58.891
sonsuz çoklukta bütün tek sayılı odaları boşaltmış

00:01:58.891 --> 00:02:00.309
ve bu odalara da

00:02:00.309 --> 00:02:02.828
sonsuz otobüsten inen insanları yerleştirmiştir.

00:02:02.828 --> 00:02:05.111
Herkes mutludur ve otelin işleri de

00:02:05.111 --> 00:02:06.899
her zamankinden daha tıkırındadır.

00:02:06.899 --> 00:02:08.403
Yani, aslında tamamen her zamankiyle

00:02:08.403 --> 00:02:10.440
aynı miktarda kazanmaktadırlar,

00:02:10.440 --> 00:02:12.923
zaten bir gecede hesaba sonsuz dolar yatmaktadır.

00:02:13.723 --> 00:02:16.379
Bu inanılmaz otelin şanı yayılır.

00:02:16.379 --> 00:02:18.568
Uzaktan yakından insanlar akın eder.

00:02:18.568 --> 00:02:20.866
Bir gece, inanılmaz bir şey gerçekleşir.

00:02:20.866 --> 00:02:23.431
Gece müdürü dışarı bakar ve

00:02:23.431 --> 00:02:25.061
sayısal olarak sonsuz yolcu taşıyan

00:02:25.061 --> 00:02:27.541
sonsuz büyüklükte otobüslerden

00:02:27.541 --> 00:02:30.353
sonsuz bir sıra görür.

00:02:30.353 --> 00:02:31.410
Ne yapabilir?

00:02:31.410 --> 00:02:32.913
Eğer hepsine birer oda bulamazsa

00:02:32.913 --> 00:02:34.231
otel sonsuz miktarda

00:02:34.231 --> 00:02:35.982
para kaybedecektir

00:02:35.982 --> 00:02:37.979
ve kendisi kesin işini kaybedecektir.

00:02:37.979 --> 00:02:39.083
Neyse ki

00:02:39.083 --> 00:02:41.814
M.Ö. 300 yılı civarında

00:02:41.814 --> 00:02:44.750
Öklid'in sonsuz sayıda asal sayı olduğunu

00:02:44.750 --> 00:02:47.215
kanıtladığını hatırlıyordur.

00:02:47.215 --> 00:02:49.684
Sonsuz sayıda otobüs dolusu

00:02:49.684 --> 00:02:51.005
sonsuz sayıda yorgun yolcuya

00:02:51.005 --> 00:02:52.309
sonsuz sayıda yatak bulmak gibi

00:02:52.309 --> 00:02:54.315
neredeyse imkansız bir görevi tamamlamak için

00:02:54.315 --> 00:02:56.607
gece müdürü bütün mevcut konukları

00:02:56.607 --> 00:02:59.066
ilk asal sayı olan 2'nin

00:02:59.066 --> 00:03:01.891
mevcut oda sayılarıyla üssüne yükselterek çıkan sayılı odaya yerleştirir.

00:03:01.891 --> 00:03:04.559
Yani, 7 numaralı odanın mevcut sakini

00:03:04.559 --> 00:03:07.565
2^7 numaralı odaya,

00:03:07.565 --> 00:03:09.930
yani 128 numaralı odaya gider.

00:03:09.930 --> 00:03:11.643
Sonra, gece müdürü

00:03:11.643 --> 00:03:13.781
sonsuz otobüslerin ilkindeki insanları

00:03:13.781 --> 00:03:15.830
bir sonraki asal olan 3'ü

00:03:15.830 --> 00:03:18.315
otobüsteki koltuk sayılarıyla üssüne yükselterek

00:03:18.315 --> 00:03:21.752
sonuçta çıkan sayılı odalara yerleştirir.

00:03:21.752 --> 00:03:25.283
Mesela, ilk otobüste 7 numaralı koltukta oturan kişi

00:03:25.283 --> 00:03:28.384
3^7 numaralı odaya gider,

00:03:28.384 --> 00:03:31.634
yani 2,187 numaralı oda.

00:03:31.634 --> 00:03:34.093
Bu ilk otobüsteki herkes için devam eder.

00:03:34.093 --> 00:03:35.765
İkinci otobüsteki yolcular

00:03:35.765 --> 00:03:39.434
bir sonraki asal olan 5'in üslerine yerleştirilir.

00:03:39.434 --> 00:03:41.517
Bir sonraki otobüs, 7'nin üslerine.

00:03:41.517 --> 00:03:42.945
Her otobüs bunu takip eder:

00:03:42.945 --> 00:03:43.767
11'in üsleri,

00:03:43.767 --> 00:03:44.770
13'ün üsleri,

00:03:44.770 --> 00:03:47.190
17'nin üsleri, vs.

00:03:47.190 --> 00:03:48.318
Bu sayıların her biri çarpan olarak

00:03:48.318 --> 00:03:50.992
sadece 1 ve asal sayılarının

00:03:50.992 --> 00:03:53.237
doğal sayı olan üslerine sahip olduğu için,

00:03:53.237 --> 00:03:55.410
çakışan hiçbir oda numarası yoktur..

00:03:55.410 --> 00:03:58.363
Bütün otobüslerin yolcuları farklı asal sayılara

00:03:58.363 --> 00:04:00.870
dayanan farklı yerleştirme düzenleriyle

00:04:00.870 --> 00:04:03.510
odalarına dağılır.

00:04:03.510 --> 00:04:05.578
Bu şekilde, gece müdürü her otobüsteki

00:04:05.578 --> 00:04:07.870
her yolcuyu ağırlayabilir.

00:04:07.870 --> 00:04:10.806
Buna rağmen, bir sürü oda boş kalacaktır

00:04:10.806 --> 00:04:11.897
Örneğin, 6 numaralı oda,

00:04:11.897 --> 00:04:15.119
çünkü 6 hiç bir asal sayının üssü değildir.

00:04:15.119 --> 00:04:17.537
Şans eseri, patronları matematikte o kadar iyi değil,

00:04:17.537 --> 00:04:19.178
yani işi güvende.

00:04:19.178 --> 00:04:22.031
Gece müdürünün stratejilerinin mümkün olmasının tek sebebi,

00:04:22.031 --> 00:04:23.983
Sonsuz Otel her ne kadar

00:04:23.983 --> 00:04:26.204
mantıksal bir kabus olsa da,

00:04:26.204 --> 00:04:29.981
sadece sonsuzluğun en alt katmanıyla ilgileniyor.

00:04:29.981 --> 00:04:31.746
Esas olarak, doğal sayıların

00:04:31.746 --> 00:04:33.537
sayılabilir sonsuzluğu bu,

00:04:33.537 --> 00:04:36.618
1, 2 ,3, 4 ve devamı.

00:04:36.618 --> 00:04:40.537
Georg Canter sonsuzluğun bu seviyesini alef-sıfır diye isimlendirmiştir.

00:04:40.537 --> 00:04:42.665
Oda sayıları ve otobüslerdeki koltuk sayıları için

00:04:42.665 --> 00:04:44.787
doğal sayılar kullanılır.

00:04:45.633 --> 00:04:48.176
Eğer sonsuzluğun daha yüksek düzenleriyle uğraşıyor olsaydık,

00:04:48.176 --> 00:04:49.727
örneğin gerçek sayıların kullanıldığı sonsuzluk,

00:04:49.727 --> 00:04:51.097
sistematik olarak her sayıyı dahil edecek

00:04:51.097 --> 00:04:52.564
bir yöntemimiz olmadığı için

00:04:52.564 --> 00:04:53.850
bu yapılandırılmış stratejiler

00:04:53.850 --> 00:04:56.570
artık mümkün olmazdı.

00:04:56.570 --> 00:04:58.922
Gerçek Sayılı Sonsuz Otel'in

00:04:58.922 --> 00:05:00.929
bodrum katta negatif sayılı odaları,

00:05:00.929 --> 00:05:02.388
kesirli odaları vardır,

00:05:02.388 --> 00:05:04.508
yani 1/2 numaralı odadaki her zaman 1 numaralı

00:05:04.508 --> 00:05:07.205
odadaki adamdan daha az yeri olduğundan şüphelenir.

00:05:07.205 --> 00:05:10.332
Kök 2 veya pi gibi numaralı

00:05:10.332 --> 00:05:11.462
karekök odalarda

00:05:11.462 --> 00:05:14.349
konuklar ikram tatlı bekler.

00:05:14.349 --> 00:05:15.869
Hangi özsaygısı olan gece müdürü

00:05:15.869 --> 00:05:17.172
sonsuz bir maaşa rağmen

00:05:17.172 --> 00:05:19.490
orada çalışmak ister ki?

00:05:19.490 --> 00:05:20.797
Fakat asla boş odası olmayan

00:05:20.797 --> 00:05:22.261
ve her zaman yer bulabileceğiniz

00:05:22.261 --> 00:05:23.881
Hilbert'in Sonsuz Oteli'nde,

00:05:23.881 --> 00:05:26.950
her vakit çalışkan ve belki de fazla misafirperver

00:05:26.950 --> 00:05:28.720
gece müdürünün karşılaştığı durumlar

00:05:28.720 --> 00:05:29.804
bize nispeten sonlu akıllarımızın

00:05:29.804 --> 00:05:31.150
sonsuzluk kadar büyük bir kavramı

00:05:31.150 --> 00:05:33.320
anlamasının ne kadar zor

00:05:33.320 --> 00:05:37.092
olduğunu hatırlatır.

00:05:37.092 --> 00:05:38.695
Belki de güzel bir uykudan sonra

00:05:38.695 --> 00:05:40.427
bu problemlerin çözümünde yardımcı olabilirsiniz.

00:05:40.427 --> 00:05:42.300
Ama doğrusu, sabahın 2'sinde

00:05:42.300 --> 00:05:44.701
odanızı değiştirmemiz gerekebilir.