1
00:00:06,531 --> 00:00:07,715
1920'lerde,

2
00:00:07,715 --> 00:00:10,208
Alman matematikçi David Hilbert

3
00:00:10,208 --> 00:00:12,461
sonsuzluk kavramını anlamamızın

4
00:00:12,461 --> 00:00:14,215
ne kadar zor olduğunu bize göstermek için

5
00:00:14,215 --> 00:00:18,170
ünlü bir düşünce deneyi tasarladı.

6
00:00:18,170 --> 00:00:21,683
Sonsuz sayıda odası olan bir otel

7
00:00:21,683 --> 00:00:24,291
ve çok çalışkan bir gece müdürü hayal edin.

8
00:00:24,291 --> 00:00:27,547
Bir gece, sonsuz otel sonsuz sayıda konukla

9
00:00:27,547 --> 00:00:31,110
tamamen dolu, bütün odalar ayırtılmıştır.

10
00:00:31,110 --> 00:00:32,419
Otele bir adam girer

11
00:00:32,419 --> 00:00:33,934
ve bir oda ister.

12
00:00:33,934 --> 00:00:35,468
Gece müdürü, adamı geri çevirmek yerine

13
00:00:35,468 --> 00:00:37,910
ona bir oda açmaya karar verir.

14
00:00:37,910 --> 00:00:38,689
Nasıl mı?

15
00:00:38,689 --> 00:00:41,659
Kolay, 1 numaralı odadaki konuktan

16
00:00:41,659 --> 00:00:43,325
2 numaralı odaya taşınmasını,

17
00:00:43,325 --> 00:00:46,080
2 numaralı odadakinden 3'e taşınmasını rica eder,

18
00:00:46,080 --> 00:00:47,162
ve böyle devam eder.

19
00:00:47,162 --> 00:00:49,862
Bütün konuklar "n" oda numarasından

20
00:00:49,862 --> 00:00:52,203
"n+1" oda numarasına taşınır.

21
00:00:52,203 --> 00:00:54,412
Zaten sonsuz sayıda oda olduğu için

22
00:00:54,412 --> 00:00:57,033
oteldeki her konuk için yeni bir oda vardır.

23
00:00:57,033 --> 00:00:59,784
Böylece yeni müşteri için 1 numaralı oda boşalır.

24
00:00:59,784 --> 00:01:01,029
Bu işlem her sınırlı sayıda

25
00:01:01,029 --> 00:01:03,535
yeni müşteri için tekrarlanabilir.

26
00:01:03,535 --> 00:01:05,389
Eğer, diyelim ki, bir tur otobüsü otele

27
00:01:05,389 --> 00:01:07,553
oda isteyen 40 yeni kişi getirse,

28
00:01:07,553 --> 00:01:09,666
otelde olan bütün konuklar sadece

29
00:01:09,666 --> 00:01:11,004
"n" numaralı odadan

30
00:01:11,004 --> 00:01:13,662
"n+40" numaralı odaya taşınırlar,

31
00:01:13,662 --> 00:01:16,790
böylece ilk 40 odayı boşaltmış olurlar.

32
00:01:16,790 --> 00:01:19,195
Ama şimdi sonsuz büyüklükte bir otobüs

33
00:01:19,195 --> 00:01:21,768
sayısal olarak sonsuz yolcuyla

34
00:01:21,768 --> 00:01:23,697
oda tutmak için otele yanaşır.

35
00:01:23,697 --> 00:01:25,920
"Sayısal olarak sonsuz" anahtar kelimelerdir.

36
00:01:25,920 --> 00:01:28,225
Şimdi, sonsuz yolculu sonsuz otobüs

37
00:01:28,225 --> 00:01:30,542
ilk bakışta gece müdürünün kafasını karıştırır

38
00:01:30,542 --> 00:01:32,034
ama gece müdürü her yeni kişiyi

39
00:01:32,034 --> 00:01:33,373
yerleştirmek için bir yol olduğunu fark eder.

40
00:01:33,373 --> 00:01:34,994
1 numaralı odadaki konuktan

41
00:01:34,994 --> 00:01:36,415
2 numaralı odaya geçmesini rica eder.

42
00:01:36,415 --> 00:01:38,551
Sonra 2 numaralı odadaki konuktan

43
00:01:38,551 --> 00:01:40,459
4 numaralı odaya geçmesini,

44
00:01:40,459 --> 00:01:41,540
3 numaralı odadaki konuktan

45
00:01:41,540 --> 00:01:42,833
6 numaraya geçmesini ister,

46
00:01:42,833 --> 00:01:44,129
ve böyle devam eder.

47
00:01:44,129 --> 00:01:47,337
Her mevcut konuk "n" numaralı odadan

48
00:01:47,337 --> 00:01:50,533
"2n" numaralı odaya taşınır,

49
00:01:50,533 --> 00:01:54,084
böylece sadece sonsuz çift sayılı odaları doldururlar.

50
00:01:54,084 --> 00:01:55,953
Bu sayede gece müdürü

51
00:01:55,953 --> 00:01:58,891
sonsuz çoklukta bütün tek sayılı odaları boşaltmış

52
00:01:58,891 --> 00:02:00,309
ve bu odalara da

53
00:02:00,309 --> 00:02:02,828
sonsuz otobüsten inen insanları yerleştirmiştir.

54
00:02:02,828 --> 00:02:05,111
Herkes mutludur ve otelin işleri de

55
00:02:05,111 --> 00:02:06,899
her zamankinden daha tıkırındadır.

56
00:02:06,899 --> 00:02:08,403
Yani, aslında tamamen her zamankiyle

57
00:02:08,403 --> 00:02:10,440
aynı miktarda kazanmaktadırlar,

58
00:02:10,440 --> 00:02:12,923
zaten bir gecede hesaba sonsuz dolar yatmaktadır.

59
00:02:13,723 --> 00:02:16,379
Bu inanılmaz otelin şanı yayılır.

60
00:02:16,379 --> 00:02:18,568
Uzaktan yakından insanlar akın eder.

61
00:02:18,568 --> 00:02:20,866
Bir gece, inanılmaz bir şey gerçekleşir.

62
00:02:20,866 --> 00:02:23,431
Gece müdürü dışarı bakar ve

63
00:02:23,431 --> 00:02:25,061
sayısal olarak sonsuz yolcu taşıyan

64
00:02:25,061 --> 00:02:27,541
sonsuz büyüklükte otobüslerden

65
00:02:27,541 --> 00:02:30,353
sonsuz bir sıra görür.

66
00:02:30,353 --> 00:02:31,410
Ne yapabilir?

67
00:02:31,410 --> 00:02:32,913
Eğer hepsine birer oda bulamazsa

68
00:02:32,913 --> 00:02:34,231
otel sonsuz miktarda

69
00:02:34,231 --> 00:02:35,982
para kaybedecektir

70
00:02:35,982 --> 00:02:37,979
ve kendisi kesin işini kaybedecektir.

71
00:02:37,979 --> 00:02:39,083
Neyse ki

72
00:02:39,083 --> 00:02:41,814
M.Ö. 300 yılı civarında

73
00:02:41,814 --> 00:02:44,750
Öklid'in sonsuz sayıda asal sayı olduğunu

74
00:02:44,750 --> 00:02:47,215
kanıtladığını hatırlıyordur.

75
00:02:47,215 --> 00:02:49,684
Sonsuz sayıda otobüs dolusu

76
00:02:49,684 --> 00:02:51,005
sonsuz sayıda yorgun yolcuya

77
00:02:51,005 --> 00:02:52,309
sonsuz sayıda yatak bulmak gibi

78
00:02:52,309 --> 00:02:54,315
neredeyse imkansız bir görevi tamamlamak için

79
00:02:54,315 --> 00:02:56,607
gece müdürü bütün mevcut konukları

80
00:02:56,607 --> 00:02:59,066
ilk asal sayı olan 2'nin

81
00:02:59,066 --> 00:03:01,891
mevcut oda sayılarıyla üssüne yükselterek çıkan sayılı odaya yerleştirir.

82
00:03:01,891 --> 00:03:04,559
Yani, 7 numaralı odanın mevcut sakini

83
00:03:04,559 --> 00:03:07,565
2^7 numaralı odaya,

84
00:03:07,565 --> 00:03:09,930
yani 128 numaralı odaya gider.

85
00:03:09,930 --> 00:03:11,643
Sonra, gece müdürü

86
00:03:11,643 --> 00:03:13,781
sonsuz otobüslerin ilkindeki insanları

87
00:03:13,781 --> 00:03:15,830
bir sonraki asal olan 3'ü

88
00:03:15,830 --> 00:03:18,315
otobüsteki koltuk sayılarıyla üssüne yükselterek

89
00:03:18,315 --> 00:03:21,752
sonuçta çıkan sayılı odalara yerleştirir.

90
00:03:21,752 --> 00:03:25,283
Mesela, ilk otobüste 7 numaralı koltukta oturan kişi

91
00:03:25,283 --> 00:03:28,384
3^7 numaralı odaya gider,

92
00:03:28,384 --> 00:03:31,634
yani 2,187 numaralı oda.

93
00:03:31,634 --> 00:03:34,093
Bu ilk otobüsteki herkes için devam eder.

94
00:03:34,093 --> 00:03:35,765
İkinci otobüsteki yolcular

95
00:03:35,765 --> 00:03:39,434
bir sonraki asal olan 5'in üslerine yerleştirilir.

96
00:03:39,434 --> 00:03:41,517
Bir sonraki otobüs, 7'nin üslerine.

97
00:03:41,517 --> 00:03:42,945
Her otobüs bunu takip eder:

98
00:03:42,945 --> 00:03:43,767
11'in üsleri,

99
00:03:43,767 --> 00:03:44,770
13'ün üsleri,

100
00:03:44,770 --> 00:03:47,190
17'nin üsleri, vs.

101
00:03:47,190 --> 00:03:48,318
Bu sayıların her biri çarpan olarak

102
00:03:48,318 --> 00:03:50,992
sadece 1 ve asal sayılarının

103
00:03:50,992 --> 00:03:53,237
doğal sayı olan üslerine sahip olduğu için,

104
00:03:53,237 --> 00:03:55,410
çakışan hiçbir oda numarası yoktur..

105
00:03:55,410 --> 00:03:58,363
Bütün otobüslerin yolcuları farklı asal sayılara

106
00:03:58,363 --> 00:04:00,870
dayanan farklı yerleştirme düzenleriyle

107
00:04:00,870 --> 00:04:03,510
odalarına dağılır.

108
00:04:03,510 --> 00:04:05,578
Bu şekilde, gece müdürü her otobüsteki

109
00:04:05,578 --> 00:04:07,870
her yolcuyu ağırlayabilir.

110
00:04:07,870 --> 00:04:10,806
Buna rağmen, bir sürü oda boş kalacaktır

111
00:04:10,806 --> 00:04:11,897
Örneğin, 6 numaralı oda,

112
00:04:11,897 --> 00:04:15,119
çünkü 6 hiç bir asal sayının üssü değildir.

113
00:04:15,119 --> 00:04:17,537
Şans eseri, patronları matematikte o kadar iyi değil,

114
00:04:17,537 --> 00:04:19,178
yani işi güvende.

115
00:04:19,178 --> 00:04:22,031
Gece müdürünün stratejilerinin mümkün olmasının tek sebebi,

116
00:04:22,031 --> 00:04:23,983
Sonsuz Otel her ne kadar

117
00:04:23,983 --> 00:04:26,204
mantıksal bir kabus olsa da,

118
00:04:26,204 --> 00:04:29,981
sadece sonsuzluğun en alt katmanıyla ilgileniyor.

119
00:04:29,981 --> 00:04:31,746
Esas olarak, doğal sayıların

120
00:04:31,746 --> 00:04:33,537
sayılabilir sonsuzluğu bu,

121
00:04:33,537 --> 00:04:36,618
1, 2 ,3, 4 ve devamı.

122
00:04:36,618 --> 00:04:40,537
Georg Canter sonsuzluğun bu seviyesini alef-sıfır diye isimlendirmiştir.

123
00:04:40,537 --> 00:04:42,665
Oda sayıları ve otobüslerdeki koltuk sayıları için

124
00:04:42,665 --> 00:04:44,787
doğal sayılar kullanılır.

125
00:04:45,633 --> 00:04:48,176
Eğer sonsuzluğun daha yüksek düzenleriyle uğraşıyor olsaydık,

126
00:04:48,176 --> 00:04:49,727
örneğin gerçek sayıların kullanıldığı sonsuzluk,

127
00:04:49,727 --> 00:04:51,097
sistematik olarak her sayıyı dahil edecek

128
00:04:51,097 --> 00:04:52,564
bir yöntemimiz olmadığı için

129
00:04:52,564 --> 00:04:53,850
bu yapılandırılmış stratejiler

130
00:04:53,850 --> 00:04:56,570
artık mümkün olmazdı.

131
00:04:56,570 --> 00:04:58,922
Gerçek Sayılı Sonsuz Otel'in

132
00:04:58,922 --> 00:05:00,929
bodrum katta negatif sayılı odaları,

133
00:05:00,929 --> 00:05:02,388
kesirli odaları vardır,

134
00:05:02,388 --> 00:05:04,508
yani 1/2 numaralı odadaki her zaman 1 numaralı

135
00:05:04,508 --> 00:05:07,205
odadaki adamdan daha az yeri olduğundan şüphelenir.

136
00:05:07,205 --> 00:05:10,332
Kök 2 veya pi gibi numaralı

137
00:05:10,332 --> 00:05:11,462
karekök odalarda

138
00:05:11,462 --> 00:05:14,349
konuklar ikram tatlı bekler.

139
00:05:14,349 --> 00:05:15,869
Hangi özsaygısı olan gece müdürü

140
00:05:15,869 --> 00:05:17,172
sonsuz bir maaşa rağmen

141
00:05:17,172 --> 00:05:19,490
orada çalışmak ister ki?

142
00:05:19,490 --> 00:05:20,797
Fakat asla boş odası olmayan

143
00:05:20,797 --> 00:05:22,261
ve her zaman yer bulabileceğiniz

144
00:05:22,261 --> 00:05:23,881
Hilbert'in Sonsuz Oteli'nde,

145
00:05:23,881 --> 00:05:26,950
her vakit çalışkan ve belki de fazla misafirperver

146
00:05:26,950 --> 00:05:28,720
gece müdürünün karşılaştığı durumlar

147
00:05:28,720 --> 00:05:29,804
bize nispeten sonlu akıllarımızın

148
00:05:29,804 --> 00:05:31,150
sonsuzluk kadar büyük bir kavramı

149
00:05:31,150 --> 00:05:33,320
anlamasının ne kadar zor

150
00:05:33,320 --> 00:05:37,092
olduğunu hatırlatır.

151
00:05:37,092 --> 00:05:38,695
Belki de güzel bir uykudan sonra

152
00:05:38,695 --> 00:05:40,427
bu problemlerin çözümünde yardımcı olabilirsiniz.

153
00:05:40,427 --> 00:05:42,300
Ama doğrusu, sabahın 2'sinde

154
00:05:42,300 --> 00:05:44,701
odanızı değiştirmemiz gerekebilir.