0:00:06.531,0:00:07.715
1920'lerde,

0:00:07.715,0:00:10.208
Alman matematikçi David Hilbert

0:00:10.208,0:00:12.461
sonsuzluk kavramını anlamamızın

0:00:12.461,0:00:14.215
ne kadar zor olduğunu bize göstermek için

0:00:14.215,0:00:18.170
ünlü bir düşünce deneyi tasarladı.

0:00:18.170,0:00:21.683
Sonsuz sayıda odası olan bir otel

0:00:21.683,0:00:24.291
ve çok çalışkan bir gece müdürü hayal edin.

0:00:24.291,0:00:27.547
Bir gece, sonsuz otel sonsuz sayıda konukla

0:00:27.547,0:00:31.110
tamamen dolu, bütün odalar ayırtılmıştır.

0:00:31.110,0:00:32.419
Otele bir adam girer

0:00:32.419,0:00:33.934
ve bir oda ister.

0:00:33.934,0:00:35.468
Gece müdürü, adamı geri çevirmek yerine

0:00:35.468,0:00:37.910
ona bir oda açmaya karar verir.

0:00:37.910,0:00:38.689
Nasıl mı?

0:00:38.689,0:00:41.659
Kolay, 1 numaralı odadaki konuktan

0:00:41.659,0:00:43.325
2 numaralı odaya taşınmasını,

0:00:43.325,0:00:46.080
2 numaralı odadakinden 3'e taşınmasını rica eder,

0:00:46.080,0:00:47.162
ve böyle devam eder.

0:00:47.162,0:00:49.862
Bütün konuklar "n" oda numarasından

0:00:49.862,0:00:52.203
"n+1" oda numarasına taşınır.

0:00:52.203,0:00:54.412
Zaten sonsuz sayıda oda olduğu için

0:00:54.412,0:00:57.033
oteldeki her konuk için yeni bir oda vardır.

0:00:57.033,0:00:59.784
Böylece yeni müşteri için 1 numaralı oda boşalır.

0:00:59.784,0:01:01.029
Bu işlem her sınırlı sayıda

0:01:01.029,0:01:03.535
yeni müşteri için tekrarlanabilir.

0:01:03.535,0:01:05.389
Eğer, diyelim ki, bir tur otobüsü otele

0:01:05.389,0:01:07.553
oda isteyen 40 yeni kişi getirse,

0:01:07.553,0:01:09.666
otelde olan bütün konuklar sadece

0:01:09.666,0:01:11.004
"n" numaralı odadan

0:01:11.004,0:01:13.662
"n+40" numaralı odaya taşınırlar,

0:01:13.662,0:01:16.790
böylece ilk 40 odayı boşaltmış olurlar.

0:01:16.790,0:01:19.195
Ama şimdi sonsuz büyüklükte bir otobüs

0:01:19.195,0:01:21.768
sayısal olarak sonsuz yolcuyla

0:01:21.768,0:01:23.697
oda tutmak için otele yanaşır.

0:01:23.697,0:01:25.920
"Sayısal olarak sonsuz" anahtar kelimelerdir.

0:01:25.920,0:01:28.225
Şimdi, sonsuz yolculu sonsuz otobüs

0:01:28.225,0:01:30.542
ilk bakışta gece müdürünün kafasını karıştırır

0:01:30.542,0:01:32.034
ama gece müdürü her yeni kişiyi

0:01:32.034,0:01:33.373
yerleştirmek için bir yol olduğunu fark eder.

0:01:33.373,0:01:34.994
1 numaralı odadaki konuktan

0:01:34.994,0:01:36.415
2 numaralı odaya geçmesini rica eder.

0:01:36.415,0:01:38.551
Sonra 2 numaralı odadaki konuktan

0:01:38.551,0:01:40.459
4 numaralı odaya geçmesini,

0:01:40.459,0:01:41.540
3 numaralı odadaki konuktan

0:01:41.540,0:01:42.833
6 numaraya geçmesini ister,

0:01:42.833,0:01:44.129
ve böyle devam eder.

0:01:44.129,0:01:47.337
Her mevcut konuk "n" numaralı odadan

0:01:47.337,0:01:50.533
"2n" numaralı odaya taşınır,

0:01:50.533,0:01:54.084
böylece sadece sonsuz çift sayılı odaları doldururlar.

0:01:54.084,0:01:55.953
Bu sayede gece müdürü

0:01:55.953,0:01:58.891
sonsuz çoklukta bütün tek sayılı odaları boşaltmış

0:01:58.891,0:02:00.309
ve bu odalara da

0:02:00.309,0:02:02.828
sonsuz otobüsten inen insanları yerleştirmiştir.

0:02:02.828,0:02:05.111
Herkes mutludur ve otelin işleri de

0:02:05.111,0:02:06.899
her zamankinden daha tıkırındadır.

0:02:06.899,0:02:08.403
Yani, aslında tamamen her zamankiyle

0:02:08.403,0:02:10.440
aynı miktarda kazanmaktadırlar,

0:02:10.440,0:02:12.923
zaten bir gecede hesaba sonsuz dolar yatmaktadır.

0:02:13.723,0:02:16.379
Bu inanılmaz otelin şanı yayılır.

0:02:16.379,0:02:18.568
Uzaktan yakından insanlar akın eder.

0:02:18.568,0:02:20.866
Bir gece, inanılmaz bir şey gerçekleşir.

0:02:20.866,0:02:23.431
Gece müdürü dışarı bakar ve

0:02:23.431,0:02:25.061
sayısal olarak sonsuz yolcu taşıyan

0:02:25.061,0:02:27.541
sonsuz büyüklükte otobüslerden

0:02:27.541,0:02:30.353
sonsuz bir sıra görür.

0:02:30.353,0:02:31.410
Ne yapabilir?

0:02:31.410,0:02:32.913
Eğer hepsine birer oda bulamazsa

0:02:32.913,0:02:34.231
otel sonsuz miktarda

0:02:34.231,0:02:35.982
para kaybedecektir

0:02:35.982,0:02:37.979
ve kendisi kesin işini kaybedecektir.

0:02:37.979,0:02:39.083
Neyse ki

0:02:39.083,0:02:41.814
M.Ö. 300 yılı civarında

0:02:41.814,0:02:44.750
Öklid'in sonsuz sayıda asal sayı olduğunu

0:02:44.750,0:02:47.215
kanıtladığını hatırlıyordur.

0:02:47.215,0:02:49.684
Sonsuz sayıda otobüs dolusu

0:02:49.684,0:02:51.005
sonsuz sayıda yorgun yolcuya

0:02:51.005,0:02:52.309
sonsuz sayıda yatak bulmak gibi

0:02:52.309,0:02:54.315
neredeyse imkansız bir görevi tamamlamak için

0:02:54.315,0:02:56.607
gece müdürü bütün mevcut konukları

0:02:56.607,0:02:59.066
ilk asal sayı olan 2'nin

0:02:59.066,0:03:01.891
mevcut oda sayılarıyla üssüne yükselterek çıkan sayılı odaya yerleştirir.

0:03:01.891,0:03:04.559
Yani, 7 numaralı odanın mevcut sakini

0:03:04.559,0:03:07.565
2^7 numaralı odaya,

0:03:07.565,0:03:09.930
yani 128 numaralı odaya gider.

0:03:09.930,0:03:11.643
Sonra, gece müdürü

0:03:11.643,0:03:13.781
sonsuz otobüslerin ilkindeki insanları

0:03:13.781,0:03:15.830
bir sonraki asal olan 3'ü

0:03:15.830,0:03:18.315
otobüsteki koltuk sayılarıyla üssüne yükselterek

0:03:18.315,0:03:21.752
sonuçta çıkan sayılı odalara yerleştirir.

0:03:21.752,0:03:25.283
Mesela, ilk otobüste 7 numaralı koltukta oturan kişi

0:03:25.283,0:03:28.384
3^7 numaralı odaya gider,

0:03:28.384,0:03:31.634
yani 2,187 numaralı oda.

0:03:31.634,0:03:34.093
Bu ilk otobüsteki herkes için devam eder.

0:03:34.093,0:03:35.765
İkinci otobüsteki yolcular

0:03:35.765,0:03:39.434
bir sonraki asal olan 5'in üslerine yerleştirilir.

0:03:39.434,0:03:41.517
Bir sonraki otobüs, 7'nin üslerine.

0:03:41.517,0:03:42.945
Her otobüs bunu takip eder:

0:03:42.945,0:03:43.767
11'in üsleri,

0:03:43.767,0:03:44.770
13'ün üsleri,

0:03:44.770,0:03:47.190
17'nin üsleri, vs.

0:03:47.190,0:03:48.318
Bu sayıların her biri çarpan olarak

0:03:48.318,0:03:50.992
sadece 1 ve asal sayılarının

0:03:50.992,0:03:53.237
doğal sayı olan üslerine sahip olduğu için,

0:03:53.237,0:03:55.410
çakışan hiçbir oda numarası yoktur..

0:03:55.410,0:03:58.363
Bütün otobüslerin yolcuları farklı asal sayılara

0:03:58.363,0:04:00.870
dayanan farklı yerleştirme düzenleriyle

0:04:00.870,0:04:03.510
odalarına dağılır.

0:04:03.510,0:04:05.578
Bu şekilde, gece müdürü her otobüsteki

0:04:05.578,0:04:07.870
her yolcuyu ağırlayabilir.

0:04:07.870,0:04:10.806
Buna rağmen, bir sürü oda boş kalacaktır

0:04:10.806,0:04:11.897
Örneğin, 6 numaralı oda,

0:04:11.897,0:04:15.119
çünkü 6 hiç bir asal sayının üssü değildir.

0:04:15.119,0:04:17.537
Şans eseri, patronları matematikte o kadar iyi değil,

0:04:17.537,0:04:19.178
yani işi güvende.

0:04:19.178,0:04:22.031
Gece müdürünün stratejilerinin mümkün olmasının tek sebebi,

0:04:22.031,0:04:23.983
Sonsuz Otel her ne kadar

0:04:23.983,0:04:26.204
mantıksal bir kabus olsa da,

0:04:26.204,0:04:29.981
sadece sonsuzluğun en alt katmanıyla ilgileniyor.

0:04:29.981,0:04:31.746
Esas olarak, doğal sayıların

0:04:31.746,0:04:33.537
sayılabilir sonsuzluğu bu,

0:04:33.537,0:04:36.618
1, 2 ,3, 4 ve devamı.

0:04:36.618,0:04:40.537
Georg Canter sonsuzluğun bu seviyesini alef-sıfır diye isimlendirmiştir.

0:04:40.537,0:04:42.665
Oda sayıları ve otobüslerdeki koltuk sayıları için

0:04:42.665,0:04:44.787
doğal sayılar kullanılır.

0:04:45.633,0:04:48.176
Eğer sonsuzluğun daha yüksek düzenleriyle uğraşıyor olsaydık,

0:04:48.176,0:04:49.727
örneğin gerçek sayıların kullanıldığı sonsuzluk,

0:04:49.727,0:04:51.097
sistematik olarak her sayıyı dahil edecek

0:04:51.097,0:04:52.564
bir yöntemimiz olmadığı için

0:04:52.564,0:04:53.850
bu yapılandırılmış stratejiler

0:04:53.850,0:04:56.570
artık mümkün olmazdı.

0:04:56.570,0:04:58.922
Gerçek Sayılı Sonsuz Otel'in

0:04:58.922,0:05:00.929
bodrum katta negatif sayılı odaları,

0:05:00.929,0:05:02.388
kesirli odaları vardır,

0:05:02.388,0:05:04.508
yani 1/2 numaralı odadaki her zaman 1 numaralı

0:05:04.508,0:05:07.205
odadaki adamdan daha az yeri olduğundan şüphelenir.

0:05:07.205,0:05:10.332
Kök 2 veya pi gibi numaralı

0:05:10.332,0:05:11.462
karekök odalarda

0:05:11.462,0:05:14.349
konuklar ikram tatlı bekler.

0:05:14.349,0:05:15.869
Hangi özsaygısı olan gece müdürü

0:05:15.869,0:05:17.172
sonsuz bir maaşa rağmen

0:05:17.172,0:05:19.490
orada çalışmak ister ki?

0:05:19.490,0:05:20.797
Fakat asla boş odası olmayan

0:05:20.797,0:05:22.261
ve her zaman yer bulabileceğiniz

0:05:22.261,0:05:23.881
Hilbert'in Sonsuz Oteli'nde,

0:05:23.881,0:05:26.950
her vakit çalışkan ve belki de fazla misafirperver

0:05:26.950,0:05:28.720
gece müdürünün karşılaştığı durumlar

0:05:28.720,0:05:29.804
bize nispeten sonlu akıllarımızın

0:05:29.804,0:05:31.150
sonsuzluk kadar büyük bir kavramı

0:05:31.150,0:05:33.320
anlamasının ne kadar zor

0:05:33.320,0:05:37.092
olduğunu hatırlatır.

0:05:37.092,0:05:38.695
Belki de güzel bir uykudan sonra

0:05:38.695,0:05:40.427
bu problemlerin çözümünde yardımcı olabilirsiniz.

0:05:40.427,0:05:42.300
Ama doğrusu, sabahın 2'sinde

0:05:42.300,0:05:44.701
odanızı değiştirmemiz gerekebilir.