1920'lerde,
Alman matematikçi David Hilbert
sonsuzluk kavramını anlamamızın
ne kadar zor olduğunu bize göstermek için
ünlü bir düşünce deneyi tasarladı.
Sonsuz sayıda odası olan bir otel
ve çok çalışkan bir gece müdürü hayal edin.
Bir gece, sonsuz otel sonsuz sayıda konukla
tamamen dolu, bütün odalar ayırtılmıştır.
Otele bir adam girer
ve bir oda ister.
Gece müdürü, adamı geri çevirmek yerine
ona bir oda açmaya karar verir.
Nasıl mı?
Kolay, 1 numaralı odadaki konuktan
2 numaralı odaya taşınmasını,
2 numaralı odadakinden 3'e taşınmasını rica eder,
ve böyle devam eder.
Bütün konuklar "n" oda numarasından
"n+1" oda numarasına taşınır.
Zaten sonsuz sayıda oda olduğu için
oteldeki her konuk için yeni bir oda vardır.
Böylece yeni müşteri için 1 numaralı oda boşalır.
Bu işlem her sınırlı sayıda
yeni müşteri için tekrarlanabilir.
Eğer, diyelim ki, bir tur otobüsü otele
oda isteyen 40 yeni kişi getirse,
otelde olan bütün konuklar sadece
"n" numaralı odadan
"n+40" numaralı odaya taşınırlar,
böylece ilk 40 odayı boşaltmış olurlar.
Ama şimdi sonsuz büyüklükte bir otobüs
sayısal olarak sonsuz yolcuyla
oda tutmak için otele yanaşır.
"Sayısal olarak sonsuz" anahtar kelimelerdir.
Şimdi, sonsuz yolculu sonsuz otobüs
ilk bakışta gece müdürünün kafasını karıştırır
ama gece müdürü her yeni kişiyi
yerleştirmek için bir yol olduğunu fark eder.
1 numaralı odadaki konuktan
2 numaralı odaya geçmesini rica eder.
Sonra 2 numaralı odadaki konuktan
4 numaralı odaya geçmesini,
3 numaralı odadaki konuktan
6 numaraya geçmesini ister,
ve böyle devam eder.
Her mevcut konuk "n" numaralı odadan
"2n" numaralı odaya taşınır,
böylece sadece sonsuz çift sayılı odaları doldururlar.
Bu sayede gece müdürü
sonsuz çoklukta bütün tek sayılı odaları boşaltmış
ve bu odalara da
sonsuz otobüsten inen insanları yerleştirmiştir.
Herkes mutludur ve otelin işleri de
her zamankinden daha tıkırındadır.
Yani, aslında tamamen her zamankiyle
aynı miktarda kazanmaktadırlar,
zaten bir gecede hesaba sonsuz dolar yatmaktadır.
Bu inanılmaz otelin şanı yayılır.
Uzaktan yakından insanlar akın eder.
Bir gece, inanılmaz bir şey gerçekleşir.
Gece müdürü dışarı bakar ve
sayısal olarak sonsuz yolcu taşıyan
sonsuz büyüklükte otobüslerden
sonsuz bir sıra görür.
Ne yapabilir?
Eğer hepsine birer oda bulamazsa
otel sonsuz miktarda
para kaybedecektir
ve kendisi kesin işini kaybedecektir.
Neyse ki
M.Ö. 300 yılı civarında
Öklid'in sonsuz sayıda asal sayı olduğunu
kanıtladığını hatırlıyordur.
Sonsuz sayıda otobüs dolusu
sonsuz sayıda yorgun yolcuya
sonsuz sayıda yatak bulmak gibi
neredeyse imkansız bir görevi tamamlamak için
gece müdürü bütün mevcut konukları
ilk asal sayı olan 2'nin
mevcut oda sayılarıyla üssüne yükselterek çıkan sayılı odaya yerleştirir.
Yani, 7 numaralı odanın mevcut sakini
2^7 numaralı odaya,
yani 128 numaralı odaya gider.
Sonra, gece müdürü
sonsuz otobüslerin ilkindeki insanları
bir sonraki asal olan 3'ü
otobüsteki koltuk sayılarıyla üssüne yükselterek
sonuçta çıkan sayılı odalara yerleştirir.
Mesela, ilk otobüste 7 numaralı koltukta oturan kişi
3^7 numaralı odaya gider,
yani 2,187 numaralı oda.
Bu ilk otobüsteki herkes için devam eder.
İkinci otobüsteki yolcular
bir sonraki asal olan 5'in üslerine yerleştirilir.
Bir sonraki otobüs, 7'nin üslerine.
Her otobüs bunu takip eder:
11'in üsleri,
13'ün üsleri,
17'nin üsleri, vs.
Bu sayıların her biri çarpan olarak
sadece 1 ve asal sayılarının
doğal sayı olan üslerine sahip olduğu için,
çakışan hiçbir oda numarası yoktur..
Bütün otobüslerin yolcuları farklı asal sayılara
dayanan farklı yerleştirme düzenleriyle
odalarına dağılır.
Bu şekilde, gece müdürü her otobüsteki
her yolcuyu ağırlayabilir.
Buna rağmen, bir sürü oda boş kalacaktır
Örneğin, 6 numaralı oda,
çünkü 6 hiç bir asal sayının üssü değildir.
Şans eseri, patronları matematikte o kadar iyi değil,
yani işi güvende.
Gece müdürünün stratejilerinin mümkün olmasının tek sebebi,
Sonsuz Otel her ne kadar
mantıksal bir kabus olsa da,
sadece sonsuzluğun en alt katmanıyla ilgileniyor.
Esas olarak, doğal sayıların
sayılabilir sonsuzluğu bu,
1, 2 ,3, 4 ve devamı.
Georg Canter sonsuzluğun bu seviyesini alef-sıfır diye isimlendirmiştir.
Oda sayıları ve otobüslerdeki koltuk sayıları için
doğal sayılar kullanılır.
Eğer sonsuzluğun daha yüksek düzenleriyle uğraşıyor olsaydık,
örneğin gerçek sayıların kullanıldığı sonsuzluk,
sistematik olarak her sayıyı dahil edecek
bir yöntemimiz olmadığı için
bu yapılandırılmış stratejiler
artık mümkün olmazdı.
Gerçek Sayılı Sonsuz Otel'in
bodrum katta negatif sayılı odaları,
kesirli odaları vardır,
yani 1/2 numaralı odadaki her zaman 1 numaralı
odadaki adamdan daha az yeri olduğundan şüphelenir.
Kök 2 veya pi gibi numaralı
karekök odalarda
konuklar ikram tatlı bekler.
Hangi özsaygısı olan gece müdürü
sonsuz bir maaşa rağmen
orada çalışmak ister ki?
Fakat asla boş odası olmayan
ve her zaman yer bulabileceğiniz
Hilbert'in Sonsuz Oteli'nde,
her vakit çalışkan ve belki de fazla misafirperver
gece müdürünün karşılaştığı durumlar
bize nispeten sonlu akıllarımızın
sonsuzluk kadar büyük bir kavramı
anlamasının ne kadar zor
olduğunu hatırlatır.
Belki de güzel bir uykudan sonra
bu problemlerin çözümünde yardımcı olabilirsiniz.
Ama doğrusu, sabahın 2'sinde
odanızı değiştirmemiz gerekebilir.